맥주-람베르트 법칙

맥주-람베르트 법칙은 빛을 흡수하는 화학종의 농도를 결정하기 위한 화학 분석 측정에 일반적으로 적용됩니다. 그것은 흔히 맥주의 법칙이라고 불립니다. 부거-람베르트 법칙(Bouguer-Lambert law)은 물리학에서 빛의 소멸이나 감쇠를 빛이 통과하는 물질의 특성과 연관시키는 경험적 법칙입니다. 그것은 천문학적 멸종에 처음 사용되었습니다. 기본적인 소멸 법칙(물리적 상태가 일정하게 유지되는 한, 그 과정은 방사선의 강도와 방사성 물질의 양에 있어서 선형적입니다)은 때때로 맥주-부거-람베르트 법칙 또는 부거-비어-람베르트 법칙 또는 단순히 소멸 법칙이라고 불립니다. 소멸 법칙은 물리 광학에서 광자, 중성자 또는 희박 기체의 감쇠를 이해하는 데에도 사용됩니다. 수리물리학에서 이 법칙은 BGK 방정식의 해로 발생합니다.

역사

부거-람베르트 법칙: 이 법칙은 피에르 부게르가 1729년 이전에 관찰한 내용을 바탕으로 합니다.^[1] 그것은 종종 요한 하인리히 랑베르에 의한 것으로 여겨지는데, 그는 1760년에 그의 포토메트리아에서 부게르의 에싸이 드 라루미에르(Claude Jombert, Paris, 1729)의 에싸이 드 라루미에르(Essaid d'optique surla gradation de la lumière)를 인용하기도 했습니다.^[2] 램버트는 빛의 세기가 매질 속에서 전파될 때의 손실은 세기와 경로 길이에 정비례한다는 법칙을 오늘날 사용되는 수학적 형태로 표현했습니다.

Lambert는 흡수체로 이동하는 $빛$ 의 세기 I이 미분 방정식에 의해 주어질 것이라고 가정하면서 $-\mathrm {d} I=\mu I\mathrm {d} x,$ 했습니다 $-\mathrm {d} I=\mu I\mathrm {d} x,$ - $-\mathrm {d} I=\mu I\mathrm {d} x,$ I = $-\mathrm {d} I=\mu I\mathrm {d} x,$ $-\mathrm {d} I=\mu I\mathrm {d} x,$ d x, {\displaystyle -\mathrm $-\mathrm {d} I=\mu I\mathrm {d} x,$ {d} I =\mu I\mathrm {d} x}, 이는 Bouguer의 관찰과 양립할 수 있습니다. 비례 상수 $μ$ 는 종종 신체의 "광학 밀도"라고 불립니다. 체로 들어가는 거리 $d$ 에서 강도를 구하기 위해 ${\textstyle \ln(I_{0}/I)=\int _{0}^{d}\mu \mathrm {d} x.}$ 하면 ${\textstyle \ln(I_{0}/I)=\int _{0}^{d}\mu \mathrm {d} x.}$ ⁡ ( ${\textstyle \ln(I_{0}/I)=\int _{0}^{d}\mu \mathrm {d} x.}$ 0 / I) = ∫ 0 $d μ$ d x $. {\textstyle$ \ln(I_{0}/I) =\int _{0}^{d}\mu \mathrm {d} x.} $\ln(I_{0}/I)=\mu d,$ 동질 매체의 경우, 이는 ln ⁡ (I 0 / I) = μd, {\displaystyle \ln(I_{0}/I) =\mu d, $}$ 지수 $\ln(I_{0}/I)=\mu d,$ 감쇠 법칙을 따릅니다. $I=I_{0}e^{-\mu d}.$ $I_{0}e^{-\mud}.$ $}$ ^[3]

맥주의 법칙: 훨씬 후인 1852년, 독일의 과학자 아우구스트 비어는 또 다른 감쇠 관계를 연구했습니다. 그의 고전적인 논문에 대한 소개에서,^[4] 그는 "색을 띤 물질을 조사하는 동안 빛을 흡수하는 것은 종종 실험의 대상이 되었습니다. 그러나 항상 다양한 색의 상대적인 감소 또는 결정체의 경우, 흡수와 편광 방향 사이의 관계 특정 광선이 흡수 매체를 통해 전파되는 동안 받는 흡수의 절대적인 크기와 관련하여 사용할 수 있는 정보는 없습니다." 다양한 염의 착색 수용액에서 붉은 빛의 흡수를 연구함으로써, 그는 "농축된 용액의 투과율은 희석된 용액의 투과율 측정으로부터 유도될 수 있다"고 결론지었습니다. ${\lambda }$ 는 ${\lambda }$ "λ ${\$ displaystyle ${\lambda }$ {\lambda ^{2}}가 감소 계수(분수)라면, 이 계수(분수)는 이 두께의 두 배에 $\lambda ^{2}$ λ 2 ${\$ displaystyle $\$ lambda ^{2}"를 가질 것입니다. 더 나아가 비어는 "우리는 흡수 계수를 흡수 물질의 단위 길이를 통과할 때 광선이 받는 진폭의 감소를 나타내는 계수로 취할 것입니다. 이론에 따르면, 그리고 제가 실험으로 검증한 바와 같이 λ = μ D ${\displaystyle$ \lambda =\mu^{D}}, 여기서 μ {\displaystyle \mu }는 흡수 계수이고 D는 실험에서 통과하는 흡수 물질의 길이입니다." 이것이 바로 맥주의 법칙이라고 부를 수 있는 관계입니다. 비어-람베르트 법칙의 방식으로 비어가 방정식에서 농도와 경로 길이를 대칭 변수로 보았다는 증거는 없습니다.^[5]

맥주-램버트 법칙: 맥주-람베르트 법칙의 현대적인 공식은 부게르와 맥주의 관찰을 람베르트의 수학적 형태로 결합합니다. 이것은 투과율의 음의 데카데크 로그로 표현되는 흡광도와 감쇠 종의 농도 및 재료 샘플의 두께 모두와 상관관계가 있습니다.^[6] 로버트 루터와 안드레아스 니콜로풀로스가 1913년에 최초의 현대적인 공식을 발표했습니다.^[7]

응용분야에서 Bouguer와 Beer의 차이점

맥주-람베르트 법칙에서 부게르와 맥주의 관찰은 비슷한 형태를 가지고 있지만, 그들의 관찰 영역은 매우 달랐습니다. 두 실험자 모두 직접 전송된 빛을 우선적으로 감지하는 광 센서를 사용하여 입사 빔을 잘 시준했습니다.

맥주는 구체적으로 솔루션을 살펴봤습니다. 용액은 균질하며 분석 분광법에서 일반적으로 사용되는 파장의 빛(자외선, 가시광선, 적외선)을 산란시키지 않습니다(진입 및 출강 시 제외). 용액 내에서 빛줄기의 감쇠는 오직 흡수에 의한 것으로 가정됩니다. Beer Lambert 법칙이 성립하는 데 필요한 조건을 근사하기 위해, 종종 순수 용매로 구성된 $(I_{R})$ 기준 샘플 $(I_{R})$ ${\displaystyle(I_{R})}$ 을 통과하는 투과광의 세기를 측정하고, 샘플 $(I_{S})$ ${\displaystyle(I_{S})}$ 을 통과하는 투과광의 세기와 비교하여 $(I_{S})$ 샘플의 흡광도는 다음과 같이 ${\log {{\bigl (}I_{R}/I_{S}{\big )}}}$ 됩니다. ${\log {{\bigl (}I_{R}/I_{S}{\big )}}}$ ⁡( ${\log {{\bigl (}I_{R}/I_{S}{\big )}}}$ $\log(I_{R}/I_{S})=A=\varepsilon \ell c$ / $IS$ ) {\ $displaystyle$ {\ $bigl(}I_{$ R}/I_{S}{\big)}}}. 이 경우 일반적인 수학식(아래 참조)이 적용됩니다. 로그 ⁡(IR / IS) = A = ε ℓ c {\displaystyle \log(I_ ${$ R}/I_{S}) = $A=\varepsilon \ell c}$

부게르는 빛이 이동하는 거리에 비해 감지기의 크기가 매우 작은 천문 현상을 보았습니다. 이 경우 입자에 의해 산란된 빛은 앞이나 뒤 방향으로 모두 검출기에 닿지 않습니다. 검출기에 대한 강도 손실은 흡수와 산란으로 인해 발생합니다. 결과적으로 총 손실을 흡수가 아닌 감쇠라고 합니다. 단일 측정으로는 둘을 분리할 수 없지만 개념적으로는 감쇠 계수에서 각각의 기여도를 분리할 수 있습니다. $I_{0}$ $I_{0}$ ${\$ 가 $I_{0}$ 여행 시작 시의 빛의 세기이고 $I_{d}$ {\ $displaystyle I_{d}$ 가 $I_{d}$ 거리 $d$ ${\displaystyle$ d $}$ 를 이동한 후 감지된 빛의 세기, 전송된 분율 $d$ $T {\displaystyle$ T $T$ 가 제공합니다: $T={\frac {I_{d}}{I_{0}}}=\exp(-\mu d)$ = $T={\frac {I_{d}}{I_{0}}}=\exp(-\mu d)$ = $exp$ ⁡ ( - μd ) {\displaystyle T = ${\frac$ {I_{d}} { $I_{0$ }} $=$ \ $exp$ (-\ $mud)},$ 여기서 $\mu$ $\mu$ 를 감쇄 상수 또는 계수라고 합니다. 전송되는 빛의 양은 거리에 따라 기하급수적으로 떨어지고 있습니다. 위 식을 자연로그를 취하면 - $-\ln(T)=\ln {\frac {I_{0}}{I_{d}}}=\mu d$ ⁡ ( $T$ = $ln$ ⁡ I 0 Id = μd {\displaystyle -\ln(T) =\ln {\frac {I_{0}}이 나옵니다. $I_{d$ }}} $=$ \ $mud$ $}.$ 산란 매체의 경우 상수를 종종 μ $=$ μs + μa {\displaystyle \mu $=$ \mu _{s}+\mu _{a}}의 두 부분으로 나누어 산란 계수 μs {\displaystyle \mu _{s}}와 흡수 계수 μa {\displaystyle \mu _{a}}로 분리합니다.

흡수율, 단면 및 계수 단위

기본적인 소멸 법칙은 물리적인 상태가 일정하게 유지된다면, 소멸 과정은 방사선의 강도와 방사성 물질의 양에 있어서 선형적이라고^[9] 말합니다. (농도도 길이도 기본 파라미터가 아닙니다.) 입자를 포함한 매질이 광선을 감쇠시키는 정도를 결정하는 두 가지 요소가 있습니다. 광선이 만나는 입자의 수와 각 입자가 빛을 소멸시키는 정도입니다.^[10]

흡수(비어)의 경우, 이 후기의 양을 흡수율[ $\epsilon$ ϵ ${\$ displaystyle $\epsilon$ \epsilon}]이라고 하며, 이는 "몸에 흡수된 입사 방사선의 비율을 결정하는 몸의 특성"으로 정의됩니다. 맥주-람베르트 법칙 $[\log(I_{0}/I)=A=\epsilon \ell c]$ [ $[\log(I_{0}/I)=A=\epsilon \ell c]$ ⁡ ( $[\log(I_{0}/I)=A=\epsilon \ell c]$ 0 / $[\log(I_{0}/I)=A=\epsilon \ell c]$ ) = $[\log(I_{0}/I)=A=\epsilon \ell c]$ = ϵ ℓ $[\log(I_{0}/I)=A=\epsilon \ell c]$ c] ${\displaystyle$ [\log(I_{0} / I) $=$ A $=$ \epsilon $\ell c]}$ 는 빔이 만나는 입자의 수를 측정하기 위해 농도와 길이를 사용합니다. 우리가 시준된 빔의 면적을 알면 멀리 있는 입자의 수를 얻을 수 있습니다. 만나는 입자의 수는 아바가드로의 수, 몰농도, 입사빔의 단면적 $[(molecules/mol)(mol/L)(1L/1000cm^{3})(cm^{2})=molecules/cm]$ $[(molecules/mol)(mol/L)(1L/1000cm^{3})(cm^{2})=molecules/cm]$ / $[(molecules/mol)(mol/L)(1L/1000cm^{3})(cm^{2})=molecules/cm]$ ) $[(molecules/mol)(mol/L)(1L/1000cm^{3})(cm^{2})=molecules/cm]$ ( $[(molecules/mol)(mol/L)(1L/1000cm^{3})(cm^{2})=molecules/cm]$ / $[(molecules/mol)(mol/L)(1L/1000cm^{3})(cm^{2})=molecules/cm]$ ) $[(molecules/mol)(mol/L)(1L/1000cm^{3})(cm^{2})=molecules/cm]$ ( $[(molecules/mol)(mol/L)(1L/1000cm^{3})(cm^{2})=molecules/cm]$ L $[(molecules/mol)(mol/L)(1L/1000cm^{3})(cm^{2})=molecules/cm]$ / $[(molecules/mol)(mol/L)(1L/1000cm^{3})(cm^{2})=molecules/cm]$ $[(molecules/mol)(mol/L)(1L/1000cm^{3})(cm^{2})=molecules/cm]$ 3 $[(molecules/mol)(mol/L)(1L/1000cm^{3})(cm^{2})=molecules/cm]$ ) $[(molecules/mol)(mol/L)(1L/1000cm^{3})(cm^{2})=molecules/cm]$ ( $[(molecules/mol)(mol/L)(1L/1000cm^{3})(cm^{2})=molecules/cm]$ ) = $[(molecules/mol)(mol/L)(1L/1000cm^{3})(cm^{2})=molecules/cm]$ cules / cm ] {\displaystyle [(분자 / mol) (mol / L) (1 L / 1000 cm^{3}) (cm^{2}) = molecules / cm]}.

이 관계가 유지되려면 입자가 균일하게 분포되어 있어야 합니다. 실제로는 빔 면적을 상수로 생각하고 분수 [ $I/I_{0}$ / $I/I_{0}$ $I/I_{0}$ ${\$ 는 분자와 분모 모두에서 면적을 가지므로 흡광도 계산에서 빔 면적이 취소됩니다. 흡수율의 단위는 표본이 설명되는 단위와 일치해야 합니다. 예를 들어, 시료를 질량 농도(g/L)와 길이(cm)로 설명하면 흡광도에 대한 단위는 [Lg⁻¹⁻¹ cm]이므로 흡광도에 단위가 없습니다.

흡수와 산란의 합인 "멸종"(Bouguer)의 경우에는 흡수, 산란, 소멸 단면이라는 용어가 자주 사용됩니다.^[12] 샘플에 의해 소멸되는 광의 분율은 소멸 단면(입자당 소멸되는 분율)에 의해 기술될 수 있습니다. 단위 거리에 있는 입자의 수와 그 단위에 있는 거리. 예를 들어, [(fraction소멸/입자) (#입자/미터) (#미터/샘플) =분획소멸/샘플]

수학 공식

Beer-Lambert 법칙의 일반적이고 실용적인 표현은 균일한 농도의 단일 감쇠 종을 포함하는 물리적 물질의 광학 감쇠와 해당 종의 샘플 및 흡수성을 통한 광학 경로 길이와 관련이 있습니다. 이 표현은 다음과 같습니다.

\log(I_{0}/I)=A=\varepsilon \ell c

어디에

A는 흡광도입니다.
$ε$ 는 감쇠종의 몰 감쇠 계수 또는 흡수율입니다.
$ℓ$ 는 광 경로 길이입니다.
$c$ 는 약독화종의 농도입니다.

비어-램버트 법칙의 보다 일반적인 형태는 재료 샘플에서 $N개$ 의 감쇠종에 대하여,

{\begin{aligned}T&=\exp \left(-\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}\int _{0}^{\ell }n_{i}(z)\mathrm {d} z\right)\\[4pt]&=10^{\;\!\wedge }\!\left (-\sum _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}\int _{0}^{\ell}c_{i}(z)\mathrm {d} z\right),\end{aligned}

또는 그와 동등하게

{\begin{aligned}\tau &=\sum _{i=1}^{N}\tau _{i}=\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}\int _{0}^{\ell}n_{i}(z)\,\mathrm {d} z,\[4pt]A&=\sum _{i=1}^{N}A_{i}=\sum _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}\int _{0}^{\ell }c_{i}(z)\,\mathrm {d} z,\end{aligned}}

어디에

$σ$ 는 재료 샘플에서 $감쇠$ 종 i의 감쇠 단면입니다.
$n은 i$ 재료 샘플의 감쇠 종 $i$ 의 수 밀도입니다.
$ε$ 는 재료 샘플에서 감쇠 $종$ i의 몰 감쇠 계수 또는 흡수율입니다.
$c$ 는_i 재료 샘플의 감쇠 종 $i$ 의 양 농도입니다.
$ℓ$ 는 재료 샘플을 통과하는 광선의 경로 길이입니다.

상기 식들에서, 재료 샘플의 투과율 $T$ 는 다음 정의에 의해 그것의 광학적 깊이 τ 및 그것의 흡광도 A와 관련됩니다.

T={\frac {\Phi _{\mathrm {e}}^{\mathrm {t}}}{\Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {i} }}}=e^{-\tau }=10^{-A},

어디에

$세트 {\$ displaystyle \mathrm {\Phi _{e}^{t}}는 해당 재료 샘플이 전달하는 복사 플럭스입니다.
$\mathrm {\Phi _{e}^{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {\Phi _{$ e}^{i}}는 해당 재료 샘플이 수신한 복사 플럭스입니다.

감쇠 단면 및 몰 감쇠 계수는 다음과 관련이 있습니다.

\varepsilon_{i}={\frac {\mathrm {N_{A}}}{\ln {10}}\,\sigma _{i}

그리고 그에 의한 수 밀도와 양 농도

{\begin{aligned}\tau &=\ell \sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}n_{i},\[4pt]A&=\ell \sum _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}c_{i}.\end{align}}

c_{i}={\frac {n_{i}}{\mathrm {N_{A}} }},

여기서

N

은_A 아보가드로 상수입니다. 균일한 감쇠의 경우, 이러한 관계는^[13]

{\begin{aligned}T&=\exp \left(-\ell \sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}n_{i}\right)\\[4pt]&=10^{\;\!\wedge }\!\left (-\ell \sum _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}c_{i}\right)\end{aligned}

또는 이에 준하는

{\begin{aligned}\tau &=\ell \sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}n_{i},\[4pt]A&=\ell \sum _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}c_{i}.\end{align}}

{\begin{aligned}\tau &=\ell \sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}n_{i},\[4pt]A&=\ell \sum _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}c_{i}.\end{align}}

예를 들어, 대기 과학 응용 및 방사선 차폐 이론에서 불균일한 감쇠 사례가 발생합니다.

이 법칙은 매우 높은 농도에서 분해되는 경향이 있으며, 특히 물질이 고도로 산란되면 더욱 그렇습니다. 0.2~0.5 범위의 흡광도는 맥주-람베르트 법칙에서 선형성을 유지하는 데 이상적입니다. 방사선이 특히 강렬할 경우 비선형 광학 공정도 분산을 일으킬 수 있습니다. 그러나 가장 큰 이유는 농도 의존성이 일반적으로 비선형적이고 비어의 법칙이 아래 유도에 의해 나타난 것처럼 특정 조건에서만 유효하기 때문입니다. 강한 발진기 및 고농도에서는 편차가 더 강합니다. 분자가 서로 더 가까우면 상호작용이 시작될 수 있습니다. 이러한 상호작용은 크게 물리적 상호작용과 화학적 상호작용으로 나눌 수 있습니다. 빛과 분자 양자 상태가 상호 혼합될 정도로 상호 작용이 강하지 않는 한(강력한 결합) 물리적 상호 작용은 분자의 편광성을 변경하지 않지만, 전자기 결합을 통해 감쇠 단면이 비첨가적이 되도록 합니다. 대조적으로 화학적 상호작용은 분극성을 변화시키고 따라서 흡수를 변화시킵니다.

감쇄 계수가 있는 식

이 법칙은 감쇠 계수로 표현될 수 있지만, 이 경우에는 부게르-람베르트 법칙이라고 더 잘 불립니다. 재료 샘플의 (나피에리안) 감쇠 계수 $\mu$ $\mu$ 및 데카딕 감쇠 계수 μ $\mu _{10}={\tfrac {\mu }{\ln 10}}$ = $\mu _{10}={\tfrac {\mu }{\ln 10}}$ ⁡ 10 {\ $displaystyle$ \mu _{10} = {\tfrac {\mu }{\ln 10}}는 다음과 같이 수 밀도 및 양 농도와 관련이 있습니다.

{\begin{aligned}\mu (z)&=\sum _{i=1}^{N}\mu _{i}(z)=\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}n_{i}(z),\\[4pt]\mu _{10}(z)&=\sum _{i=1}^{N}\mu _{10,i}(z)=\sum _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}c_{i}(z)\end{aligned}}

각각 감쇠 단면 및 몰 감쇠 계수의 정의에 따라. 그러면 법은

{\begin{aligned}T&=\exp \left(-\int _{0}^{\ell }\mu (z)\mathrm {d} z\right)\\[4pt]&=10^{\;\!\wedge }\!\left (-\int_{0}^{\ell}\mu_{10}(z)\mathrm {d} z\right)\end{aligned}

그리고.

{\begin{aligned}\tau &=\int_{0}^{\ell}\mu(z)\,\mathrm {d} z,\[4pt]A&=\int _{0}^{\ell }\mu _{10}(z)\,\mathrm {d} z.\end{align}}

균일한 감쇠의 경우, 이러한 관계는

T=e^{-\mu \ell} = 10^{-\mu _{10}\ell}

또는 이에 준하는

{\begin{aligned}\tau &=\mu \ell,\[4pt]A&=\mu _{10}\ell .\end{aligned}

대부분의 경우 감쇠 계수는 $z$ ${\displaystyle$ z $}$ 에 따라 변하지 않으며 $z$ 이 경우 적분을 수행할 필요가 없으며 다음과 같이 법칙을 표현할 수 있습니다.

I(z)=I_{0}e^{-\muz}

여기서 감쇠는 일반적으로

\alpha

계수 α

\alpha

{\

displaystyle

\

alpha}(

전자-정공 쌍의 생성) 또는 산란(예를 들어 산란 중심이 입사 파장보다 훨씬 작은 경우 Rayleigh 산란)의 추가입니다.^[14] 또한 일부 시스템의 경우 μ

{\displaystyle

\mu

\mu

1/\lambda

/

1/\lambda

λ {\

displaystyle 1/\

lambda}(비탄성 평균 자유 경로에 대한 1)을 배치할 수 있습니다.

파생

재료 샘플에 광선이 들어간다고 가정합니다. $z$ 를 빔 방향과 평행한 축으로 정의합니다. $재료$ 샘플을 빛의 빔에 수직인 얇은 슬라이스로 분할합니다. 두께 $dz$ 는 z 방향을 따라 볼 때 슬라이스의 한 입자가 같은 슬라이스의 다른 입자를 가릴 수 없을 정도로 충분히 작습니다. 슬라이스에서 나오는 빛의 복사 플럭스는 $\mathrm {d\Phi _{e}} (z)=-\mu (z)\Phi _{\mathrm {e} }(z)\mathrm {d} z,$ 빛의 복사 플럭스에 비해 D $\mathrm {d\Phi _{e}} (z)=-\mu (z)\Phi _{\mathrm {e} }(z)\mathrm {d} z,$ φ e ( $\mathrm {d\Phi _{e}} (z)=-\mu (z)\Phi _{\mathrm {e} }(z)\mathrm {d} z,$ ) = $\mathrm {d\Phi _{e}} (z)=-\mu (z)\Phi _{\mathrm {e} }(z)\mathrm {d} z,$ - μ ( $)$ φ e (z) dz, $\mathrm {d\Phi _{e}} (z)=-\mu (z)\Phi _{\mathrm {e} }(z)\mathrm {d} z,$ {\displaystyle \mathrm {d\Phi _{e}} (z) =-\mu (z)\ $Phi_{\mathrm {e}(z)\mathrm {d}$ z $,}$ 여기서 $\mathrm {d\Phi _{e}} (z)=-\mu (z)\Phi _{\mathrm {e} }(z)\mathrm {d} z,$ $μ$ 는 다음과 같은 1차 선형 일반 미분 방정식을 산출하는 (나피에리안) 감쇠 계수입니다.

{\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathrm {e}}(z)}{\mathrm {d} z}}=-\mu(z)\Phi _{\mathrm {e} }(z).

감쇠는 산란 또는 흡수로 인해 슬라이스의 다른 쪽으로 가지 못한 광자에 의해 발생합니다. 이 미분방정식의 해는 적분계수를 곱함으로써 얻어집니다.

\exp \left(\int_{0}^{z}\mu(z')\mathrm {d} z'\right)

얻기 위해 내내

{\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathrm {e}(z)}{\mathrm {d} z}}\,\exp \left(\int _{0}^{z}\mu(z')\mathrm {d} z'\right)+\mu(z)\Phi _{\mathrm {e} }(z)\,\exp \left(\int _{0}^{z}\mu (z')\mathrm {d} z'\right)=0,

제품 규칙(역방향 applied)으로 인해 간소화됩니다.

{\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} z}}\left[Phi_{\mathrm {e}}(z)\exp \left(\int_{0}^{z}\mu(z')\mathrm {d} z'\right]=0.

실제 두께의 ℓ 소재에 대해 양면을 통합하고 φ을 해결하는 것, 슬라이스에 입사하는 복사 플럭스 φ e = $\mathrm {\Phi _{e}^{i}} =\mathrm {\Phi _{e}} (0)$ φ e ( $0$ ) ${\displaystyle \mathrm$ {\Phi _{e}^{i}} =\mathrm {\Phi _{e} (0)} 및 전송 복사 플럭스 φ e = φ e (ℓ) {\displaystyle \mathrm {\Phi _{e}^{t} =\mathrm {\Phi _{e}} (\ell )} 제공

\mathrm {\Phi _{e}^{t}} =\mathrm {\Phi _{e}^{i}} \exp \left (-\int _{0}^{\ell}\mu (z)\mathrm {d} z\right)

그리고 마지막으로

T=\mathrm {\frac {\Phi _{e}^{t}}{\Phi _{e}^{i}}} =\exp \left(-\int _{0}^{\ell }\mu (z)\mathrm {d} z\right).

데카딕 감쇄 계수 $μ$ 는 (나피에리안) 감쇄 $\mu _{10}={\tfrac {\mu }{\ln 10}},$ 와 $\mu _{10}={\tfrac {\mu }{\ln 10}},$ = μln $\mu _{10}={\tfrac {\mu }{\ln 10}},$ ⁡ 10, ${\displaystyle$ \mu_{10}={\tfrac {\mu}{\ln 10}} 관련이 있으므로, 우리는 또한

{\begin{aligned}T&=\exp \left(-\int _{0}^{\ell }\ln {10}\,\mu _{10}(z)\mathrm {d} z\right)\\[4pt]&=10^{\;\!\wedge }\!\left (-\int_{0}^{\ell}\mu_{10}(z)\mathrm {d} z\right).\end{align}}

재료 샘플의 $N개$ 감쇠 종의 수 밀도 n과 무관한 방식으로 감쇠 계수를 설명하기 위해 감쇠 단면 σ i $\sigma _{i}={\tfrac {\mu _{i}(z)}{n_{i}(z)}}.$ = $\sigma _{i}={\tfrac {\mu _{i}(z)}{n_{i}(z)}}.$ ( $z)$ ni (z )를 도입합니다. {\displaystyle \ sigma_{i}={\tfrac {\mu _{i}(z)}{n_{i}(z)}}. $}$ 는 면적의 차원을 가지고 있습니다. 재료 샘플에서 $빔$ 의 입자와 종 i의 입자 사이의 상호작용 가능성을 표현합니다.

T=\exp \left (-\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}\int_{0}^{\ell}n_{i}(z)\mathrm {d} z\right)

몰 감쇠 계수 ε i = $\varepsilon _{i}={\tfrac {\mathrm {N_{A}} }{\ln 10}}\sigma _{i},$ N $Aln$ ⁡ 10 σ i, {\displaystyle \varepsilon_{i} = {\tfrac {\mathrm {N_{A}}}{\ln 10}\sigma _{i}}를 사용할 수 있습니다. 여기서 N은 아보가드로 상수입니다. 감쇄 계수를 재료 샘플의 감쇄 종의 양 $c_{i}(z)=n_{i}{\tfrac {z}{\mathrm {N_{A}} }}$ c $($ = $nz$ NA {\displaystyle c_{i}(z) = n_{i}{\tfrac {z}{\mathrm {N_{A}}}}와 무관하게 설명하는 방법:

{\begin{aligned}T&=\exp \left(-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\ln {10}}{\mathrm {N_{A}} }}\varepsilon _{i}\int _{0}^{\ell }n_{i}(z)\mathrm {d} z\right)\\[4pt]&=\exp \left(-\sum _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}\int _{0}^{\ell }{\frac {n_{i}(z)}{\mathrm {N_{A}} }}\mathrm {d} z\right)^{\ln {10}}\\[4pt]&=10^{\;\!\wedge }\!\left(-\sum _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}\int _{0}^{\ell }c_{i}(z)\mathrm {d} z\right).\end{align}}

유효성

특정 조건에서 맥주-람베르트 법칙은 분석 물질의 감쇠와 농도 사이의 선형 관계를 유지하지 못합니다.^[16] 이러한 편차는 세 가지 범주로 분류됩니다.

현실—법 자체의 한계로 인한 근본적인 일탈.
화학물질—분석 중인 시료의 특정 화학종으로 인해 관찰된 편차.
계측기—감쇠 측정 방법으로 인해 발생하는 편차.

맥주-람베르트 법칙이 유효하기 위해서는 최소한 여섯 가지 조건이 충족되어야 합니다. 다음은 다음과 같습니다.

감쇠기는 서로 독립적으로 작용해야 합니다.
감쇄 매체는 교호작용 부피에서 균질해야 합니다.
감쇠 매체는 DOAS에서와 같이 설명되지 않는 한 탁도가 아닌 방사선을 산란시켜서는 안 됩니다.
입사 방사선은 각각 흡수 매체에서 동일한 길이를 횡단하는 평행선으로 구성되어야 합니다.
입사 방사선은 바람직하게는 단색이거나 감쇠 전이의 폭보다 적어도 좁은 폭을 가져야 합니다. 그렇지 않으면 파장을 구별할 수 없는 포토다이오드 대신 전력을 감지할 수 있는 분광기가 필요합니다.
입사 플럭스는 원자나 분자에 영향을 미치지 않아야 하며, 연구 중인 종의 비침습적 프로브 역할만 해야 합니다. 특히, 이는 빛이 광학 포화 또는 광학 펌핑을 유발하지 않아야 함을 의미합니다. 이러한 효과는 하부 레벨을 고갈시키고 자극된 방출을 유발할 수 있기 때문입니다.

이러한 조건 중 하나라도 충족되지 않으면 맥주-람베르트 법칙에서 벗어난 경우가 발생합니다.

분광광도법에 의한 화학적 분석

Beer-Lambert 법칙은 시료를 광범위하게 전처리할 필요 없이 분광광도법에 의한 혼합물 분석에 적용될 수 있습니다. 그 예로는 혈장 샘플에서 빌리루빈을 측정하는 것이 있습니다. 순수 빌리루빈의 스펙트럼이 알려져 있어 $몰$ 감쇄 계수 ε이 알려져 있습니다. 데카딕 감쇠 계수 $μ$ 의 측정은 빌리루빈에 대해 거의 유일한 하나의 $파장$ λ와 가능한 간섭을 보정하기 위해 두 번째 파장에서 수행됩니다. 그러면 농도 $c$ 는 다음과 같이 주어집니다.

{\displaystyle c={\frac {\mu_{10}(\lambda)}{\varepsilon(\lambda)}}.

좀 더 복잡한 예를 들어 $c$ 와₁ $c 2$ 양의 농도에서 두 종을 포함하는 용액의 혼합물을 고려합니다. $모든$ 파장 λ에서 데카딕 감쇠 계수는 다음과 같습니다.

\mu_{10}(\lambda)=\varepsilon_{1}(\lambda)c_{1}+\varepsilon_{2}(\lambda)c_{2}

따라서 두 파장에서 측정하면 알 수 없는 두 개의 방정식이 생성되며 두 성분, ε 및 ε의 몰 감쇠 계수가 두 파장에서 모두 알려져 있는 한 $농도$ c $및$ c를 결정하는 데 충분합니다. 이 두 계 방정식은 Cramer의 법칙을 이용하여 풀 수 있습니다. 실제로는 선형 최소 제곱을 사용하여 두 개 이상의 파장에서 측정한 양의 농도를 결정하는 것이 좋습니다. $N$ 성분을 포함하는 혼합물에 대해 최소 $N$ 파장을 사용하여 2개 이상의 성분을 포함하는 혼합물을 동일한 방법으로 분석할 수 있습니다.

이 법칙은 다양한 식품 샘플에서 다양한 화합물의 농도를 측정할 뿐만 아니라 폴리머 분해 및 산화 분석을 위한 적외선 분광법 및 근적외선 분광법에서 널리 사용됩니다. 약 6 마이크로미터에서의 카르보닐기 감쇄를 상당히 쉽게 검출할 수 있고, 중합체의 산화 정도를 계산할 수 있습니다.

대기 신청

부거-람베르트 법칙은 태양이나 항성이 대기를 통과할 때 복사가 약해지는 것을 설명하는 데 적용될 수 있습니다. 이 경우에는 흡수뿐만 아니라 방사선의 산란이 있습니다. 경사 경로의 광학 깊이는τ' = m τ이며, 여기서 τ는 수직 경로를 나타내고, m은 상대 공기 질량이라고 하며, 평면 parallel 대기의 경우 θ는 주어진 경로에 해당하는 정점 각도인 m = sec θ로 결정됩니다. 대기에 대한 부게르-람베르트 법칙은 일반적으로 작성됩니다.

T=\exp {\big(}-m(\tau _{\mathrm {a}}+\tau _{\mathrm {g}}+\tau _{\mathrm {RS}}+\tau _{\mathrm {NO_{2}}+\tau _{\mathrm {w}}+\tau _{\mathrm {O_{3}}+\tau _{\mathrm {r}}+\cdots ){\bigr}}

여기

서 각 τ는 아래 첨자가 흡수 또는 산란의 근원을 식별하는 광학 깊이입니다.

a는 에어로졸(흡입 및 비산)을 말합니다.
$g$ 는 균일 혼합 가스(주로 이산화탄소(CO₂) 및 분자 산소(O)로₂ 흡수만 가능),
이산화질소는₂ 주로 도시 오염(흡수만 가능)으로 인한 것입니다.
$RS$ 는 대기 중 라만 산란으로 인한 영향입니다.
$w$ 는 수증기 흡수입니다.
$O$ 는₃ 오존(흡수 전용);
$r$ 레일리 산란은 분자 산소(O₂)와 질소(N₂)(하늘의 푸른색을 담당)에서 발생합니다.
고려해야 하는 감쇠기의 선택은 파장 범위에 따라 다르며 다양한 다른 화합물을 포함할 수 있습니다. 여기에는 테트라산소, HONO, 포름알데히드, 글리옥살, 일련의 할로겐 라디칼 등이 포함될 수 있습니다.

${\tfrac {1}{\cos \theta }},$ 은 광학 질량 또는 공기 질량 계수로, ( $θ$ 의 작은 값과 중간 값의 경우) 1 ${\tfrac {1}{\cos \theta }},$ $θ$ , {\displaystyle {\tfrac {1}{\cos \theta}}, $여기$ 서 $θ$ 는 관측된 물체의 정점 각도(관측 지점에서 지구 표면과 수직인 방향에서 측정된 각도)입니다. 이 방정식은 τ, 에어로졸 광학 두께를 검색하는 데 사용될 수 있습니다. 이는 위성 이미지 보정에 필요하고 기후에서 에어로졸의 역할을 설명하는 데도 중요합니다.

참고 항목

참고문헌

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외부 링크

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