절대성

수학 논리학에서는 공식이 어떤 구조물의 각 등급^[clarify](모델이라고도 함)에서 동일한 진리 값을 갖는다면 절대적이라고 한다. 절대성에 대한 이론은 전형적으로 공식의 절대성과 그 통사적 형태 사이의 관계를 확립한다.

부분 절대성의 두 가지 약한 형태가 있다. 구조물 M의 각 하부구조 N에 있는 공식의 진리가 그 진리에서 M에 따른다면, 공식은 하향 절대이다. 구조 N에 있는 공식의 진리가 N을 확장하는 각 구조 M에 그 진리를 내포한다면, 그 공식은 위쪽으로 절대적이다.

복수의 구조가 동시에 고려되는 분야인 세트 이론과 모델 이론에서 절대성의 문제는 특히 중요하다. 모델 이론에서, 몇 가지 기본적인 결과와 정의는 절대성에 의해 동기가 부여된다. 집합론에서는 집합의 성질이 절대적이라는 문제가 잘 연구되고 있다. 쇼엔필드 절대성 정리는 조셉 쇼엔필드(1961년)에 기인한 것으로, 세트 이론의 모델과 그 구성 가능한 우주 사이에 많은 종류의 공식의 절대성을 확립하며, 중요한 방법론적 결과를 가지고 있다. 큰 추기경 공리의 절대성 또한 연구되며, 긍정적이고 부정적인 결과가 알려져 있다.

모델 이론에서

모델 이론에서는 절대성과 관련된 몇 가지 일반적인 결과와 정의가 있다. 하향 절대성의 근본적인 예는 구조에서 참된 보편적 문장(범용 정량자만 있는 문장)도 원구조의 모든 하부구조에서 참이라는 것이다. 반대로 실존적 문장은 구조에서 그것을 포함하는 어떤 구조로 위쪽으로 절대적이다.

두 구조는 공유 언어로 된 모든 문장의 진실 가치, 즉 언어의 모든 문장이 두 구조 사이에 절대적이면 원소적으로 동등한 것으로 정의된다. 이론은 M과 N이 이론의 모델이고 M이 N의 하부 구조라면 모델 완성으로 정의된다.

세트 이론에서

현대 세트 이론의 주요 부분은 ZF와 ZFC의 다른 모델에 대한 연구를 포함한다. 그러한 모델의 연구는 세트의 어떤 특성이 다른 모델에 절대적인지를 아는 것이 중요하다. 집합 이론의 고정된 모델에서 시작하여 고정된 모델과 동일한 서수를 포함하는 다른 전이적 모델만 고려하는 것이 일반적이다.

특정 속성은 다음을 포함한 집합 이론의 모든 전이 모델에 절대적이다(2003초 참조). I.12)와 쿠넨(1980초)이다. IV.3)).

x는 빈 세트다.
x는 서수형이다.
x는 유한 서수형이다.
x는 후속 서수형이다.
x는 한계 서수형이다.
x = Ω.
x는 함수다.

계수 가능성과 같은 다른 속성은 절대적이지 않다.

계산가능성에 대한 절대성 결여

Skolem's paradox is the seeming contradiction that on the one hand, the set of real numbers is uncountable (and this is provable from ZFC, or even from a small finite subsystem ZFC' of ZFC), while on the other hand there are countable transitive models of ZFC' (this is provable in ZFC), and the set of real numbers in such a model will be a countable 세트. ZFC의 특정 모델의 서브모델에 대한 countability가 절대적이지 않다는 점에 주목함으로써 역설을 해결할 수 있다. 집합 X는 집합 이론 모델에서는 카운트할 수 있지만 X를 포함하는 하위 모델에서는 마운트할 수 없는 것이 가능한데, 반면에 카운트 가능성의 정의는 그러한 바이어싱의 존재이기 때문이다. 뢰웬하임-스콜렘 정리는 ZFC에 적용할 때 이러한 상황이 실제로 발생한다는 것을 보여준다.

쇼엔필드의 절대성 정리

쇼엔필드의 절대성 정리는 각 모델의 자연수에 대한 문장으로 해석할 때 분석 계층 구조에서 $\Pi _{2}^{1}$ $\Pi _{2}^{1}$ $\Pi _{2}^{1}$ ${\$ } 문장과 $\Pi _{2}^{1}$ $\Sigma _{2}^{1}$ $\Sigma _{2}^{1}$ $\Sigma _{2}^{1}$ ${\$ 1} 문장이 $\Sigma _{2}^{1}$ ZF의 모델 V와 모델의 구성 가능한 우주 L 사이에서 절대적이라는 것을 보여준다. 문장이 V의 자연수 집합을 매개변수로 사용할 수 있도록 정리는 상대화될 수 있으며, 이 경우 L은 그러한 매개변수와 모든 서수를 포함하는 가장 작은 서브모듈로 대체되어야 한다. 정리에는 $\Sigma _{3}^{1}$ $\Sigma _{3}^{1}$ $\Sigma _{3}^{1}$ ${\$ 문장이 $\Sigma _{3}^{1}$ 위쪽으로 절대적이고(그런 문장이 L에 있으면 V에 유지), $\Pi _{3}^{1}$ $\Pi _{3}^{1}$ $\Pi _{3}^{1}$ ${\$ 1} 문장이 $\Pi _{3}^{1}$ 아래쪽으로 절대적이라는(V에 유지되면 L에 유지됨) 관점이 있다. 동일한 서수를 가진 세트 이론의 어떤 2개의 전이적 모델도 동일한 구성 가능한 우주를 가지고 있기 때문에, 쇼엔필드의 정리는 그러한 두 모델이 $\Pi _{2}^{1}$ $\Pi _{2}^{1}$ $\Pi _{2}^{1}$ ${\$ 모든 문장의 $\Pi _{2}^{1}$ 진실에 대해 일치해야 한다는 것을 보여준다.

쇼엔필드 정리의 한 가지 결과는 선택의 공리와 관련이 있다. 괴델은 V가 ZF를 만족한다고만 가정해도 구성 가능한 우주 L이 항상 선택의 공리를 포함하여 ZFC를 만족시킨다는 것을 증명했다. 쇼엔필드의 정리를 보면 주어진 statement $\Sigma _{3}^{1}$ $\Sigma _{3}^{1}$ ${\$ 1} 문장이 $\Sigma _{3}^{1}$ 거짓인 ZF 모델이 있다면, 그 모델의 구성 가능한 우주에서도 φ은 거짓이라는 것을 알 수 있다. 이는 대조적으로 ZFC가 $\Sigma _{3}^{1}$ 3 $\Sigma _{3}^{1}$ $(\$ 1} 문장을 $\Sigma _{3}^{1}$ 증명하면 그 문장도 ZF에서 증명할 수 있다는 것을 의미한다. 조합원리 ◊과 같이 항상 구성 가능한 우주에서 유지되는 다른 원리에 대해서도 동일한 주장을 적용할 수 있다. 이러한 원칙이 ZF와 무관하더라도, 각각의 $\Sigma _{3}^{1}$ $\Sigma _{3}^{1}$ $\Sigma _{3}^{1}$ ${\$ 1} 결과는 $\Sigma _{3}^{1}$ 이미 ZF에서 입증 가능하다. 특히 여기에는 페이노 산술의 (일차) 언어로 표현할 수 있는 그들의 결과가 포함된다.

쇼엔필드의 정리도 강제적으로 얻을 수 있는 독립성 결과에는 한계가 있음을 보여준다. 특히 페아노 산술의 어떤 문장도 같은 서수를 가진 집합 이론의 전이적 모델에 절대적이다. 따라서 강제력은 산술 문장이 적용되는 모델의 서수를 변경하지 않기 때문에 산술 문장의 진실 값을 변경하도록 강제하는 것은 불가능하다. 리만 가설이나 P = NP 문제와 같은 많은 유명한 개방형 문제들은 $\Pi _{2}^{1}$ 2 $\Pi _{2}^{1}$ ${\$ }문장 $\Pi _{2}^{1}$ (또는 더 낮은 복잡성의 문장)으로 표현될 수 있으므로, 강제로 ZFC와는 독립적으로 증명할 수 없다.

큰 추기경

어떤 집합론 모델의 구성 가능한 우주(L)에는 존재할 수 없는 어떤 큰 추기경들이 있다. 그럼에도 불구하고 구성 가능한 우주에는 세트 이론의 원래 모델이 담고 있는 모든 서수 숫자가 들어 있다. 이 "파라독스"는 일부 대형 추기경들의 정의로운 성질이 하위 모델에 절대적이지 않다는 것을 주목함으로써 해결할 수 있다.

그러한 절대적이지 않은 대형 추기경 공리의 한 예는 측정 가능한 추기경이다. 서수가 측정 가능한 추기경이 되려면 특정 성질을 만족하는 또 다른 집합(측정)이 존재해야 한다. 그러한 조치는 건설할 수 없다는 것을 보여줄 수 있다.

참고 항목

보수연장

참조

제치, 토마스, 2003년 이론 설정: 수정 및 확장된 제3의 밀레니엄 에디션. 스프링거. ISBN 3-540-44085-2.
쿠넨, 케네스, 1980년 세트 이론: 독립 증명서에 대한 소개. 엘시비어. ISBN 0-444-86839-9
쇼엔필드, 1961년 요셉 "선행성의 문제", 수학의 기초에 관한 에세이, Y. Bar-Hillel 등, eds, 페이지 132–142.

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