근거 있는 관계

추이적 이원 관계

	대칭	반대칭의	연결된	근거가 있다	조인 있음	만나다	재귀적	비반사적	비대칭
			합계, Semicnex					안티 반사적인
등가관계	Y	✗	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
예약판매(쿼시퍼)	✗	✗	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
부분순서	✗	Y	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
예약주문합계	✗	✗	Y	✗	✗	✗	Y	✗	✗
총주문량	✗	Y	Y	✗	✗	✗	Y	✗	✗
사전 주문	✗	✗	Y	Y	✗	✗	Y	✗	✗
준주문	✗	✗	✗	Y	✗	✗	Y	✗	✗
순서부여	✗	Y	Y	Y	✗	✗	Y	✗	✗
격자	✗	Y	✗	✗	Y	Y	Y	✗	✗
조인-반매티시	✗	Y	✗	✗	Y	✗	Y	✗	✗
미팅-반매티시	✗	Y	✗	✗	✗	Y	Y	✗	✗
엄밀한 부분순서	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✗	Y	Y
엄격한 약질서	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✗	Y	Y
엄밀한 토탈 오더	✗	✗	Y	✗	✗	✗	✗	Y	Y
	대칭	반대칭의	연결된	근거가 있다	조인 있음	만나다	재귀적	비반사적	비대칭
$정의 :$ $모든$ a, b{ $displaystyle$ a $, b$ } $S\neq \varnothing :$ S $S\neq \varnothing :$ : $S\neq \varnothing :$ {\ $displaystyle$ S $\neq \varnothing :}$	$(\displaystyle\begin{aligned}&aRb\\\오른쪽 화살표 {}&bRa\end{aligned})$	${\begin{aligned}aRb{\text}및\bRa\\\rightarrow a={}&b\end{aligned}$	${\begin{aligned}a\b\rightarrow\aRb{\text{또는 }}}&bRa\end{aligned}$	$(\displaystyle\begin{aligned}\min S\{\text{exists}}\end{aligned})$	$(\displaystyle { aligned}a \ text { } \ end { aligned } )$	$(\displaystyle\displaystyle\text{aligned}\end{aligned})$	$aRa$	${\displaystyle\text{}aRa}$	$(\displaystyle {begin{aligned}aRb\오른쪽 화살표\{\text{not}}bRa\end{aligned}})$

는 열의 속성이 행의 항의 정의에 필요함을 나타냅니다(맨 왼쪽).예를 들어, 동등성 관계의 정의에서는 대칭이어야 합니다."는 속성이 유지되거나 유지되지 않을 수 있음을 나타냅니다.모든 정의는 동질관계

(\displaystyle

R

)

을

R

암묵적으로 필요로 합니다.R

(\displaystyle aRb}

bRc

B c

(\

displaystyle bRc)

의

bRc

경우

모든

a

,

displaystyle

bRc

)

에

a,b,c,

aRc,

대해

동질관계를 충족할 수 있는 추가 속성이 있습니다.

수학에서, 2진수 관계 R은 모든 빈 서브셋 S with X가 R에 관해 최소의 요소, 즉 s s S에 대해 s R m (예를 들어 "s는 m보다 작지 않음)를 갖는 경우 클래스 X에서 충분히 근거가 있는(또는 충분히 근거가 있는) 것으로 불린다.바꿔 말하면, 만약 그렇다면, 관계는 충분히 근거가 있다.

\displaystyle (\subseteq X)\;[S\neq \emptyset \implies (\exists m\in S)\lnot (s\mathrel {R} m)]}

일부 저자는 R이 집합과 같다는 추가 조건, 즉 주어진 요소보다 작은 요소가 집합을 형성한다는 조건을 포함한다.

마찬가지로, 의존 선택의 공리를 가정하면, 만약 그것이 계산 가능한 무한 내림차순 사슬을 포함하지 않는다면, 관계는 잘 성립한다. 즉, 모든 자연수 ^[1]^[2]n에 대해 x R_n x와 같은_n+1 X 요소의 무한 시퀀스 x₀, x₁, x₂, ...가 존재하지 않는다.

순서론에서는, 대응하는 엄밀한 질서가 근거 있는 관계라면, 부분 질서는 근거 있는 것이라고 불립니다.주문이 총 주문일 경우 웰 오더라고 합니다.

집합론에서 집합 x는 집합 멤버쉽 관계가 x의 추이적 폐쇄에 대해 충분한 근거가 있는 집합이라고 불린다.체르멜로-프랭켈 집합론의 공리 중 하나인 규칙성의 공리는 모든 집합이 충분한 근거가 있다고 주장한다.

역관계⁻¹ R이 X에 대해 충분한 근거가 있는 경우, R은 X에 대해 충분한 근거가 있는 역관계이며, Noetherian은 X에 대해 역관계 R은 충분한 근거가 있는 역관계이다.이 경우 R은 상승 체인 조건도 만족한다고 한다.시스템을 다시 쓰는 경우 Noetherian 관계를 종단이라고 부르기도 합니다.

유도 및 재귀

잘 근거를 둔 관계가 흥미로운 중요한 이유는 초한 유도의 버전이 그들에게 사용될 수 있기 때문이다: 만약 (X, R)이 잘 근거를 둔 관계라면, P(x)는 X의 원소의 어떤 특성이고, 우리는 그것을 보여주고 싶다.

P(x)는 X의 모든 요소 x를 유지한다.

다음 사항을 나타내면 충분하다.

x가 X의 원소이고 P(y)가 y R x가 되도록 모든 y에 대해 참이면 P(x)도 참이어야 합니다.

그것은,

\displaystyle (\forall x\in X)\;[(\forall y\in X)\;[y\mathrel {R} x\implies P(y)]\implies P(x)\quad (\forall x\in X)\cad (\forall x\in X), P(x)}

에미 노에터의 이름을 따서 노에테리안 ^[3]인덕션이라고 부르기도 합니다.

유도와 마찬가지로, 잘 확립된 관계는 또한 초무한 재귀에 의한 물체의 구축을 지원합니다.(X, R)이 집합과 같이 충분히 근거가 있는 관계이며, F가 X의 초기 세그먼트 {y: y R x}의 요소 x δ X와 함수 g의 각 쌍에 객체 F(x, g)를 할당하는 함수라고 하자.그리고 모든 x x X에 대해 고유한 함수 G가 있습니다.

G(x)=F\left(x,G\vert _{\left\{y:,y\mathrel {R} x\right\})\right).

즉, 함수 G를 X에 구축하려면 Y R x에 대해 G(y) 값을 사용하여 G(x)를 정의할 수 있습니다.

예를 들어, 충분한 근거가 있는 관계(N, S)를 생각해 봅시다.여기서 N은 모든 자연수의 집합이고 S는 후속 함수 x µ x+1의 그래프입니다.그러면 S에 대한 귀납은 일반적인 수학적 귀납이고 S에 대한 재귀는 원시 재귀입니다.순서 관계(N, <)를 고려하면 완전한 유도와 값의 경과를 얻을 수 있습니다.(N, <)이 충분한 근거를 가지고 있다는 스테이트먼트는 well-ordering 원리라고도 불립니다.

근거 있는 유도술의 다른 흥미로운 특별한 사례들이 있다.충분한 근거가 있는 관계가 모든 서수의 클래스에 대한 일반적인 순서일 때, 이 기술은 초한 유도라고 불립니다.잘 기초된 집합이 재귀적으로 정의된 데이터 구조의 집합인 경우, 이 기법을 구조적 유도라고 합니다.그 근거 있는 관계가 유니버설클래스에 멤버십을 설정했을 때, 그 기술은 「유도」라고 불립니다.상세한 것에 대하여는, 이러한 기사를 참조해 주세요.

예

완전히 정돈되어 있지 않은 확실한 관계는 다음과 같습니다.

a가 b와 µb를 나누는 경우에만 a < b에 의해 정의된 순서를 가진 양의 정수 {1, 2, 3, ...}.
고정 알파벳 위의 모든 유한 문자열 집합.s가 t의 적절한 서브스트링일 경우에만 s < t에 의해 순서가 정의됩니다.
n < m₁ 및₂ n < m일₂ 경우에만₁ (n₁, n₂) < (m₁, m₂)으로 정렬된 자연수 쌍의 집합 N × N.
요소가 설정된 모든 클래스로, 관계 $\in$ "\ $displaystyle\$ in"("의 요소")가 지정됩니다.이것이 규칙성의 원칙이다.
R이 a에서 b까지의 엣지가 존재하는 경우에만 R b가 정의되도록 R 관계를 갖는 유한 방향 비순환 그래프의 노드.

근거가 충분하지 않은 관계의 예는 다음과 같습니다.

무한 부분 집합에는 최소 요소가 없기 때문에 음의 정수 {-1, -2, -3, …}은(는) 일반적인 순서로 지정됩니다.
시퀀스 "B" > "AB" > "AAB" > "AAAB" > …이 무한 내림차순이기 때문에 통상적인 (렉트로그래픽) 순서로 여러 요소를 가진 유한한 알파벳에 걸친 문자열 집합은 무한 내림차순입니다.이 관계는 전체 집합이 최소 요소(빈 문자열)를 가지고 있더라도 충분한 근거가 없습니다.
예를 들어 양의 유리(또는 실수) 부분 집합에는 최소값이 없기 때문에 표준 순서에서 음이 아닌 유리 수(또는 실수)의 집합입니다.

기타 속성

(X, <)가 충분한 근거의 관계이고 x가 X의 요소라면 x에서 시작하는 내림차순 사슬은 모두 유한하지만, 이것이 그 길이가 반드시 유계임을 의미하는 것은 아니다.다음 예를 들어 X를 양의 정수와 새로운 요소 ,의 합으로 합니다.이것은 어떤 정수보다 큽니다.다음으로 X는 충분한 근거가 있는 집합이지만 임의의 큰(유한) 길이의 θ부터 시작하는 내림차순 사슬이 있다.사슬 θ, n - 1, n - 2, ..., 2, 1은 임의의 n에 대해 길이 n을 가진다.

Mostowski 축소 법칙은 집합 멤버쉽이 확장성이 뛰어난 관계들 사이에서 보편적이라는 것을 암시한다. 즉, 확장성이 있는 클래스 X 상의 집합과 같은 충분한 근거가 있는 관계 R에 대해서는 (X, R)이 (C, δ)와 동형인 클래스 C가 존재한다.

반사성

관계R은 관계영역에서 Ra가 a마다 유지되면 반사적이라고 한다.비어 있지 않은 도메인 상의 모든 반사적 관계는 무한 내림차순을 가집니다. 왜냐하면 모든 연속적인 수열은 내림차순이기 때문입니다.는 부분 순서 ≤과 일하는 예를 들자면 이들의 평상 순서 ≤과 자연수에, 우리는. 이런 사소한는 하강 순서를 피하기 위해 1≥ 1≥ 1≥ ⋯{\displaystyle 1\geq 1\geq 1\geq \cdots.}이 있으시면 그것은 대체 관계를<>에 잘 foundedness(아마도 암시적으로)의 정의 적용할;를 & 정의된 일반적이다.그것은.b a b b 및 a b b의 경우에만.보다 일반적으로 프리오더 「」를 취급할 때는, a< b가 if 및 b가 a인 경우에만 정의되어 있는 관계< 를 사용하는 것이 일반적입니다.자연수에서는 그렇지 않은 관계인 , 대신에 근거가 있는 관계인 <가 사용된다는 것을 의미한다.일부 텍스트에서는 충분한 근거가 있는 관계의 정의가 위의 정의에서 이러한 규약을 포함하도록 변경됩니다.

레퍼런스

^ "Infinite Sequence Property of Strictly Well-Founded Relation". ProofWiki. Retrieved 10 May 2021.
^ Fraisse, R. (15 December 2000). Theory of Relations, Volume 145 - 1st Edition (1st ed.). Elsevier. p. 46. ISBN 9780444505422. Retrieved 20 February 2019.
^ Bourbaki, N. (1972) 수학의 요소. 교환 대수학, 애디슨 웨슬리

그냥, 윈프리드와 위즈, 마틴(1998) 현대 집합론의 발견. I, 미국 수학회 ISBN 0-8218-0266-6.
Karel Hrbachek & Thomas Jech(1999) 집합론 입문, 제3판, "기초있는 관계", 251-5페이지, Marcel Dekker ISBN 0-8247-7915-0

[1] "Infinite Sequence Property of Strictly Well-Founded Relation". ProofWiki. Retrieved 10 May 2021.

[2] Fraisse, R. (15 December 2000). Theory of Relations, Volume 145 - 1st Edition (1st ed.). Elsevier. p. 46. ISBN 9780444505422. Retrieved 20 February 2019.

[3] Bourbaki, N. (1972) 수학의 요소. 교환 대수학, 애디슨 웨슬리

[1]

[2]

[3]

Search

근거 있는 관계

네임스페이스

더

목차

유도 및 재귀

예

기타 속성

반사성

레퍼런스