1/N 확장

양자장 이론과 통계 역학에서 1/N 확장("큰 N" 확장이라고도 함)은 SO(N)나 SU(N)와 같은 내부 대칭 집단을 가진 양자장 이론의 특별한 섭동 분석이다. $그것$은 작은 매개 변수로 취급되는 ${\displaystyle 1}$/ N ${\displaystyle 1/N$의 힘으로 이론의 속성에 대한 확장을 도출하는 데 있다.

이 기법은 게이지 그룹 SU(3)와 함께 QCD($N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$이(가) 3에 불과함)에서 사용된다. 입자물리학의 또 다른 적용 분야는 AdS/CFT 이중성 연구다.

또한 평균장 이론의 엄격한 기초를 제공하는 데 사용될 수 있는 응축 물질 물리학에도 광범위하게 사용된다.

예

간단한 예(O(N) φ⁴ — — 스칼라 필드 φ은 O(N)의 실제 벡터 표현에서 값을 대신한다. 아인슈타인 요약 규약과 함께 N "기울기"에 대한 지수 표기법을 사용하고 O(N)가 직교하기 때문에 공변량과 반변량 지수를 구별하지 않는다. 라그랑의 밀도는 다음과 같다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi _{a}\partial _{\mu }\phi _{a}-{m^{2} \over 2}\phi _{a}\phi _{a}-{\lambda \over 8N}(\phi _{a}\phi _{a})^{2}}$

$여기$서 ${\displaystyle a}$은(는) 1에서 N까지 실행된다$$. N이 연결 강도 λ에 흡수되었다는 점에 유의한다. 이것은 여기서 매우 중요하다.

보조 필드 F 소개;

${\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi _{a}\partial _{\mu }\phi _{a}-{m^{2} \over 2}\phi _{a}\phi _{a}+{1 \over 2}F^{2}-{{\sqrt {\lambda /N}} \over 2}F\phi _{a}\phi _{a}}$

파인만 다이어그램에서 그래프는 각각 같은 맛의 φ 가장자리로 구성되며, 그 주기는 F 가장자리로 연결된다(보조 필드가 전파되지 않기 때문에 전파선이 없다).

각 4점 정점에는 //N이 기여하므로 1/N이 기여한다. 각 맛 주기는 합쳐서 N이 되기 때문에 N에 기여한다. 모든 모멘텀 플로우 사이클이 맛 사이클인 것은 아니라는 점에 유의하십시오.

적어도 섭동적으로 2k 지점 연결 상관 함수에 대한 지배적인 기여는 순서(1/N)^k-1이고 다른 용어는 1/N의 더 높은 힘이다. 1/N 확장 수행은 큰 N 한계에서 점점 더 정확해진다. 진공 에너지 밀도는 N에 비례하지만 일반 상대성 가정을 준수하지 않아 무시할 수 있다.^{[clarification needed]}

이 구조 때문에 파인만 도표를 나타내는 다른 그래픽 표기법을 사용할 수 있다. 각 맛 주기는 꼭지점으로 나타낼 수 있다. 두 개의 외부 정점을 연결하는 맛 경로는 하나의 꼭지점으로 표현된다. 동일한 맛 경로를 따라가는 두 개의 외부 정점은 자연스럽게 쌍으로 이루어지며, 이를 맛 경로에 연결하는 하나의 정점과 에지(F 에지가 아님)로 대체할 수 있다. F 에지는 두 가지 맛 주기/경로를 서로 연결하는 에지(또는 맛 주기/경로 자체)이다. 향미 주기/경로를 따라 이루어지는 상호작용은 일정한 주기적 순서를 가지며, 정점에 도달하는 가장자리의 순서가 중요한 특별한 종류의 그래프를 나타내며, 다만 주기적 순열까지만 문제가 되고, 이것이 실제 스칼라의 이론이기 때문에 순서 역행(SU(2) 대신 SU(N)를 갖는 경우에는 순서 역행도 유효하지 않다. 각 F 엣지에는 모멘텀(모멘텀 전달)이 할당되며, 각 맛 사이클과 관련된 내부 모멘텀이 있다.

QCD

QCD는 글루온과 쿼크를 포함하는 수(3) 게이지 이론이다. 왼손잡이 쿼크는 트리플릿 표현에 속하고 오른손은 반독점 표현에 속하며, 글루온은 실제 조정 표현에 속한다. 쿼크 가장자리에는 색과 방향이 할당되고 글루온 가장자리에는 색상 쌍이 할당된다.

큰 N 한계에서는 지배적인 용어만 고려한다. 자세한 내용은 ADS/CFT를 참조하십시오.

참조

• G. 't Hooft (1974). "A planar diagram theory for strong interactions". Nuclear Physics B. 72 (3): 461. Bibcode:1974NuPhB..72..461T. doi:10.1016/0550-3213(74)90154-0. Archived from the original on 2006-10-11.