패럴-존스 추측

수학에서는 F의 이름을 딴 파렐-존스 추측이 나온다.[1] 토마스 패럴과 로웰 E. 존스는 특정 조립지도는 이형성이라고 말한다.이 지도들은 특정한 동음이의어로 주어진다.

동기는 조립지도의 목표물에 대한 관심이다. 예를 들어, 이것은 그룹링의 대수학 K 이론일 수 있다.

${\displaystyle K_{n}(RG)}$

또는 그룹 반지의 L-이론

${\displaystyle L_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle L_{n}($RG$)\},$

여기서 G는 어떤 그룹이다.

조립지도의 출처는 G의 가상 주기적 부분군 계열에 대해 G의 분류 공간에 대해 평가한 등가동성 이론이다. 따라서 파렐-존스 추측이 사실이라고 $가정$하면 ${\displaystyle {Kn}_{}}$과 같은 복잡한 물체에 대한 정보를 얻기 위해 가상 주기적 부분군으로 연산을 제한할 수 있다.${\displaystyle (}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle K_{n}($RG$)}$ 또는$$ $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}\mathrm{RG})}$ ${\displaystyle L_{n}($RG$)}$.

$Baum-Connes$ 추측은 감소된 그룹 $C{\displaystyle {}^{}}$$displaystyle$ C$^{*}}$의 $위상학적 K-이론$에 대해 ${\displaystyle {}_{}^{}}$한 진술을 형성한다$.$

공식화

어떤 링 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ 등가동성$$ 동음이의 이론 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}^{}}$?${\displaystyle {}_{}^{}}$, ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\ast }_{}^{}}$? ${\$ 어떤 링 R {\displaystyle R}에 대해서도 찾을 수 있다.$LR_{*}^{?$$}}$만족$$

${\displaystyle KR_{n}^{G}(\{\cdot \})\cong K_{n}(R[G])}$ respectively ${\displaystyle LR_{n}^{G}(\{\cdot \})\cong L_{n}(R[G]).$$}$

여기서 $R{\displaystyle }$[ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle R[G]}$은 그룹 링을 나타낸다$$.

그룹 G에 대한 K-이론적 파렐-존스 추측에 따르면 맵 $p{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}_{}}$ V ${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$( ${\displaystyle G}$)${\displaystyle }$→${\displaystyle }${ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$ p$:$$E_{VCYC}(G)\오른쪽$ 화살표 $\{\cdot \}}}}$은(는) 동종학에서 이형성을 유도한다$$.

${\displaystyle KR_{*}^{G}(p):KR_{*}^{G}(E_{VCYC}(G))\오른쪽 화살표 KR_{*}^{{{\cdot \}}\cong K_{*}(R[G]).}$

여기서 $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$ Y ${\displaystyle C{}_{}}$( G${\displaystyle }$) ${\displaystyle E_{VCYC}(G)}$은 가상 주기적 부분군 패밀리와 관련된 그룹 G의 분류 공간을 나타낸다$$. 즉, 동위원소 그룹이 가상 주기적이고 고정된 지점이 계약 가능한 G의 모든 가상 주기적 부분군에 대한 G-CW 복합체를 나타낸다.

L-이론적 파렐-존스 추측은 유사하다.

계산적 측면

그룹 링 $R{\displaystyle }$[ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle R[G]}$의 대수 K-그룹과 L-그룹에 대한 계산은 이러한 그룹에 사는 장애물에 의해 동기 부여된다$$(예: 월의 미세성 장애물, 수술 장애물, 화이트헤드 비틀림 참조).그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 대수 K 이론에 대한 파렐-존스 추측을 만족한다고$$ 가정해 보십시오.또한 가상 주기적 부분군의 분류 공간에 대한$$ $모델{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$을(를) 이미 발견했다고 가정합시다.

${\displaystyle \emptset =X^{-1}\subset X^{0}\subset X^{1}\subset \ldots \subset X}$

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ -pushout을$$ 선택하고 Mayer-Vietoris 시퀀스를 다음과 같이 적용하십시오.

${\displaystyle KR_{n}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G/H_{j}\times S^{i-1})\rightarrow KR_{n}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G/H_{j}\times D^{i})\oplus KR_{n}^{G}(X^{i-1})\rightarrow KR_{n}^{G}(X^{i})}$${\displaystyle \rightarrow KR_{n-1}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G/H_{j}\times S^{i-1})\rightarrow KR_{n-1}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G/H_{j}\times D^{i})\oplus KR_{n-1}^{G}(X^{i-1})}$

이 순서는 다음과 같이 단순화된다.

${\displaystyle \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n}(R[H_{j}])\oplus \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n-1}(RH_{j})\rightarrow \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n}(RH_{j})\oplus KR_{n}^{G}(X^{i-1})\rightarrow KR_{n}^{G}(X^{i})}$${\displaystyle \rightarrow \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n-1}(RH_{j})\oplus \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n-2}(RH_{j})\rightarrow \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n-1}(RH_{j})\oplus KR_{n-1}^{G}(X^{i-1})}$

This means that if any group satisfies a certain isomorphism conjecture one can compute its algebraic K-theory (L-theory) only by knowing the algebraic K-Theory (L-Theory) of virtually cyclic groups and by knowing a suitable model for ${\displaystyle E_{VCYC}(G)}$.

왜 가상의 순환 하위집단의 집단은?

또한 유한한 부분군의 집단을 예로 들려고 할 수도 있다.이 가족은 다루기가 훨씬 쉽다.Consider the infinite cyclic group ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. A model for ${\displaystyle E_{FIN}(\mathbb {Z} )}$ is given by the real line ${\displaystyle \mathbb {R} }$, on which ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ acts freely by translations.이등변 K 이론의 특성을 이용해서 우리가 얻는 것은

${\displaystyle K_{n}^{\mathb {Z}}(\mathb {R} )=K_{n}(S^{1})(pt)=K_{n-1}(pt)\oplus K_{n-1}(R)\oplus K_{n-1}(R).}$

Bass-Heller-Swan 분해는

${\displaystyle K_{n}^{\mathb {Z}}}}}=K_{n}(R[\mathb {Z} ])\cong K_{n}(R)\oplus K_{nk_{n}(R)\oplus NK_{n(R){n(R)}.}$

실제로 표준적인 포함에 의해 조립 지도가 주어지는지 점검한다.

${\displaystyle K_{n}(R)\oplus K_{n-1}(R)\hookrightarrow K_{n}(R)\oplus K_{n1}(R)\oplus NK_{n}\oplus NK_{n}(R)}(R)}$

따라서 N ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle R}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle NK_{n}(R)=0$인 경우에만 이형성이며, 이는 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(가) 일반 링인 경우에 해당된다.따라서 이 경우 유한한 부분군 집단을 실제로 사용할 수 있다.한편 이는 대수학 K-이론과 유한 부분군 계열에 대한 이형성 추측이 사실이 아님을 보여준다.우리는 모든 백배수를 포함하는 더 큰 하위그룹 계열로 추측을 확장해야 한다.현재 파렐-존스 추측에 대한 근거는 알려져 있지 않다.만약 counterexample이 있다면, 그 counterrexample을 포함하는 더 큰 패밀리로 하위그룹 패밀리를 확대해야 한다.

이형성 추측의 계승

거짓말을 하는 패럴-존스 추측을 만족시키는 집단의 종류에는 다음과 같은 집단이 포함되어 있다.

• 가상 주기 그룹(정의)
• 쌍곡선 그룹( 참조)
• CAT(0)-그룹( 참조)
• 해결 가능한 그룹( 참조)
• 클래스 그룹 매핑( 참조)

또한 클래스는 다음과 같은 상속 속성을 가지고 있다.

• 그룹의 유한한 생산물에 의해 폐쇄된다.
• 부분군 이동 중 닫힘.

메타 컨벤션 및 섬유화된 이소모르프론

등가동성 $이론{\displaystyle {}_{}^{}}$ H ${\displaystyle {\ast }_{}^{}}$? ${\$$\}\}\}.$ E $F{\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}{G}_{}}$)${\displaystyle }$→${\displaystyle }${ ⋅${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle E_{F}(G)\rightarrow \{\cdot \}}}}$에 의해 유도된 지도가 동질성에 대해 이질성을 유발하는$$ 경우에만 그룹 G가 부분군 ${\displaystyle }$ ${\displaystystystyle F}$에 대한 이형 추측을 만족한다고 말할 수 있다$.$

${\displaystyle H_{*}^{G}(E_{F}(G))\오른쪽 화살표 H_{*}^{G}(\\\cdot \})}$

그룹 G는 그룹 동형성 $\alpha {\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \alpha$: 어떤 그룹 동형성 α : G → G {\displaystyle \alpha :인 경우에만 부분군 F 계열에 대해 섬유화된 이형성 추정을 만족한다.$H\rightarrow G}$그룹$$ H는 가족에 대한 이형성 추측을 만족시킨다.

${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle :=}${ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle H\alpha }$ ( H${\displaystyle }$) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \alpha^{*}F:=\{H'\leq$H$\alpha (H)\in F$

이러한 상황에서 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$은(는) $\alpha {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ F ${\displaystyle \alpha ^{*}F}$ 계열에 대한 섬유화된 이형성 추측도$$ 만족한다는 것을 즉시 알게 된다$.$

전이성 원리

과도성 원칙은 고려할 부분군 집단을 변화시키는 도구다.Given two families ${\displaystyle F\subset F'}$ of subgroups of ${\displaystyle G}$. Suppose every group ${\displaystyle H\in F'}$ satisfies the (fibered) isomorphism conjecture with respect to the family ${\displaystyle F _{H}:=\{H'\in F H'\subset H\}}$. Then $그룹{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$이(가) $F{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ $G$$}$ 패밀리에 대한 (파이버된) 이형성 추정을 만족하는$$ $경우$에만 F ${\displaystyle$ F} 패밀리에 대한 섬유화된 이형성 추정을 만족한다$.$

이형성 추측 및 집단 동형성

그룹 동형상 $\alpha {\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \alpha \colon H\rightarrow$ G$}$을(를) 감안할 때$$ 'G'는 부분군 F 계열에 대한 섬유화된 이형상 추정을 만족한다고 가정한다. Then also H"' satisfies the fibered isomorphism conjecture for the family ${\displaystyle \alpha ^{*}F}$. For example if ${\displaystyle \alpha }$ has finite kernel the family ${\displaystyle \alpha ^{*}VCYC}$ agrees with the family of virtually cyclic subgroups of H.

적절한 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$에 대해서는$$ transitity 원리를 사용하여 다시 패밀리를 줄일 수 있다.

다른 추측과의 연관성

노비코프 추측

파렐-존스 추측부터 노비코프 추측까지의 연관성도 있다.다음 중 한 가지 지도에 해당하는 것으로 알려져 있다.

${\displaystyle H_{*}^{VCYC}(G),L_{{R}^{\langle -\nlangle -\infit \rangele }}}\오른쪽 화살표 H_{{}^{G}(\\\\cdot \}}}}}{R}^{langle\innangle\in}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.L_{*}^{\langle -\inful \rangle }(RG)}$

${\displaystyle H_{*}^{G}(E_{FIN}(G), K^{top}\오른쪽 화살표 H_{*}^{G}(\\\cdot \}}}}K^{top})=K_{n}(C_{r}^{*}(G))}$

Novikov-conjecture가 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 합리적으로 주입한다$.$ 예를 들어,^[6][7]

보스트 추측

보스트 추측(Jean-Benoît Bost의 이름)에는 조립지도라고 되어 있다.

${\displaystyle H_{*}^{G}(E_{FIN})(G),K_{l^{1}^{1}{top}\오른쪽 화살표 H_{*}{G}(\\\\cdot \}}}}{l^{1}^{1}^{top}=K_{*}(l^{1}(G))}$

이소모르프다.The ring homomorphism ${\displaystyle l^{1}(G)\rightarrow C_{r}(G)}$ induces maps in K-theory ${\displaystyle K_{*}(l^{1}(G))\rightarrow K_{*}(C_{r}(G))}$. Composing the upper assembly map with this homomorphism one gets exactly the assembly map occurri바움-콘스 추정에 ng.

${\displaystyle H_{*}^{G}(E_{FIN})(G),K_{l^{1}^{top}=H_{*}^{G}(E_{FIN}(G), K^{top}}\오른쪽 화살표 H_{*}^{G}(\\\cdot \}}}K^{top})=K_{*}(C_{r}(G))}$

카플란스키 추측

The Kaplansky conjecture predicts that for an integral domain ${\displaystyle R}$ and a torsionfree group ${\displaystyle G}$ the only idempotents in ${\displaystyle R[G]}$ are ${\displaystyle 0,1}$. Each such idempotent ${\displaystyle p}$ gives a projective ${\displaystyle R[G]}$ module by taking the image of the right multiplication with ${\displaystyle p}$. Hence there seems to be a connection between the Kaplansky conjecture and the vanishing of ${\displaystyle K_{0}(R[G])}$. There are theorems relating the Kaplansky conjecture to the Farrell Williams–Jones conjecture (compare ^[8]).

참조