이상에 대한 상징적 힘

대수학 및 대수학 기하학에서 역행 노메트리안 링 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$과 그 안에 $이상적$인 I ${\displaystyle$ $I$$}$이(가) 있는 경우 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ I$}$의 n번째 상징력이 이상적이다$$.

${\displaystyle I^{(n)=R\cap \bigcap _{P\in \operatorname {Ass}(I)}I^{n}R_{P}}}$

여기서 $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P_{}}$ ${\$은(는$)$R {\$displaystyle$ $}$에서 P {\$displaystyle$ P$}($으)로$$ 국산화되며 교차로는 $R{\displaystyle /I}$ ${\displaystyle R/I}$의 모든 관련 프리타임에 걸쳐 흐른다.

이 정의는 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$을(를) 프라임으로 요구하지는$$ 않지만, 이러한 가정은 종종 함께 작용한다. 왜냐하면, 상징적인 힘은 ${\displaystyle {In}^{}}$ ${\$ I$^{n}$의 1차$$ 구성요소로 동등하게 정의될 수 있기 때문이다$.$ 매우 대략적으로 0이 있는 함수로 구성된다.$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$이(가) 정의한 품종을 따라 n을 순서 지정한다$.$ ${\displaystyle I{}^{}}$( ${\displaystyle 1^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$= I ${\displaystyle$ I$^{(1)=I}$ 및 최대 이상이라면 I${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle {n)}^{}}$= ${\displaystyle I^{}}$({\$displaystystyle$ I$^{(n)}$$=I^{n$ .

상징적인 힘은 다음과 같은 이상 사슬을 유도한다.

${\displaystyle I^{0}=R\supset I=I^{(1)\supset I^{{(2)}\supset I^{(3)}\supset I^{(4)}\supset \cdots }}}$

사용하다

상징적 힘의 연구와 사용은 역학 대수학에서 오랜 역사를 가지고 있다.크롤의 주요 이상적 정리에 대한 유명한 증거는 그것들을 필수적인 방법으로 사용한다.그들은 노메테리아 반지에 대한 일차적인 부패가 증명된 후 처음 생겨났다.Zariski는 대수적 변종의 분석적 정규성에 대한 연구에 상징적인 힘을 사용했다.위상학을 비교하는 Chevalley의 유명한 보조정리법은 완전한 로컬 영역에서 어떤 프라임의 상징적인 힘 위상이 m-adic 위상보다 더 미세하다고 말한다.하트쇼른과 리히텐바움의 지역 공동체에 대한 소멸 정리의 중요한 단계는 완전한 지역영역에서 곡선을 정의하는$$ 프라임 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$에 $대해{\displaystyle }$ I ${\displaystyle I}$의 힘이 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$의 상징적인 힘과 일치한다는 것을 사용한다$.$ 공동결정의 이 중요한 속성은 더 나아가 있었다.1970년대에 스헨젤에 의해 개발되었다.^[1]

대수 기하학에서

$I{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $I}$의 통상적인 힘에 대한 생성자는 $I{\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle f_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle I=(f_{1},\ldots ,f_{k})$로 생성자$$ 측면에서 잘 이해되지만$,$ $여전히{\displaystyle }$ 많은 경우 I$${$displaystatest$}의 상징적인 힘의 생성자를 결정하는 것은 매우 어렵다.$yle I}$. 그러나 기하학적 설정에서는 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$이(가) 특성 0의 대수적으로 닫힌 장보다 급진적인 이상일 때 이 경우에는 분명한 기하학적 해석이 있다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I$인 수정 불가능한 품종이라면 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ I}의$$차동력은 X ${\displaystyle$ $X$$\}$에서 ≥$n$을 주문하기 위해 사라지는 $R$ ${\displaystyle$ R}의$$ 모든 기능으로$$구성된다.

${\displaystyle I^{\langle n\rangle }=\{f\in R\mid f{\text{{\text{}}는 주문 시 사라진다.}}\geq n{\text{}.}$

Or equivalently, if ${\displaystyle \mathbf {m} _{p}}$ is the maximal ideal for a point ${\displaystyle p\in X}$, ${\displaystyle I^{\langle n\rangle }=\bigcap _{p\in X}\mathbf {m} _{p}^{n}}$.

정리(나가타, 자리스키)^[2] 대수적으로 닫힌 필드에서$$ $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$이(가) 다항 $고리{\displaystyle }$ K${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{N}}}}}}$에서 가장 이상적인 존재가 되게$$ 한다.그러면

${\displaystyle I^{(m)}=I^{\langle m\angle }}}$

이 결과는 어떤 급진적인 이상으로도 확장될 수 있다.^[3]이 공식은 특성 0에서 다음과 같이 발전기 측면에서 차동력을 계산할 수 있기 때문에 매우 유용하다.

${\displaystyle I^{\langle m\rangle }=\left\langle f\mid {\frac {\partial ^{\mathbf {a} }f}{\partial x^{\mathbf {a} }}}\in I{\text{ for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {N} ^{N}{\text{ where }} \mathbf {a} =\sum _{i=1}^{N}a_{i}\leq m-1\right\rangle }$

다른 제형의 경우 베이스 링이 필드 위에 있는 다항식 링인 경우를 고려할 수 있다.In this case, we can interpret the n-th symbolic power as the sheaf of all function germs over ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R){\text{ vanishing to order}}\geq n{\text{ at }}Z=V(I)}$ In fact, if ${\displaystyle X}$ is a smooth variety over a perfect field, then

${\displaystyle I^{(n)}=\{f\in R\mid f\in {m} \mathbf {m} ^{n}{\text{ 모든 닫힌 점에 대해 }\mathbf {m}\in Z\}}}}}$^[1]

밀폐합물

상징적인 힘이 보통 권력과 일치하는지, 즉 ${\displaystyle {In}^{}}$= I $){\$고 하는 것은 당연하다.일반적으로 이것은 사실이 아니다.이것의 한 예는 프라임 이상 P)(x4− yz, y2−)z, x3y− z2)⊆ K[x, y, z]{P=(x^{4}-yz,\,y^{2}-xz,\,x^{3}y-z^{2})\subseteq K[x,y,z]\displaystyle}. 여기에 P2≠ P(2){\displaystyle P^{2}\neq P^{(2)}}그러나, P2P(2){\displaystyle P^{2}\subs ⊂ .[1]다.($P^{(2)}}$는 유지되며 이 포함의 일반화는 잘 이해된다.실제로 격납용기 $I{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}{(}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle n^{}}$ ) ${\$는 정의에서 따른다$$.또한 $m{\displaystyle }$ ≤ ${\displaystyle r}$ I${\displaystyle {}^{}}$( m ) {\$displaystyle$I^{r}\$subseteq$ I^{{(m$)}}}$ m ${\displaystyle \le }$ r ${\displaystyle m\leq r}$인 경우에만$$ r ${\displaystyle r^{}}$r I ($){\$ I$^{(m$)}}}}인 것으로 알려져 있다$.$그 증거는 나카야마의 보조정리로부터 따온 것이다.^[4]

다른 격납건물들에 대한 광범위한 연구가 있었는데, 상징적인 힘이 일반적인 이상의 힘에 포함되어 있을 때, 격납건물 문제라고 한다.다시 한 번 말하지만, 이것은 다음의 정리에 요약된 쉽게 언급된 대답을 가지고 있다.에인, 라자르펠트, 스미스가 특성 제로에서 개발했고 호크스터와 후네케가 양성 특성으로 확대했다.^[6]그들의 논문은 모두 이상적인 토폴로지의 선형적 동등성(2000년)에 있는 Irena Swanson의 결과를 기초로 한다.^[7]

정리(Ein, Lazarfeld, Smith; Hochster, Huneke) Let $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle K}$[ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$, x ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle x_{}}$ N${\displaystyle {}_{}}$]$${\$displaystyle$ I$\subset$K[$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N}}}}}}}}}}}$가 동질적 이상이어야 한다.그 다음, 포함

${\displaystyle I^{}}$( ${\displaystyle m^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$ I ${\displaystyle r^{}}$ ${\$은(는$)$ 모든 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle N}$r . {\$displaystyle m\geq Nr.}$에 대해 유지됨

정리에서 $N$ ${\displaystyle N}$의 경계는 일반적인 이상에 대해 조일 수 없다는 것이 나중에 확인되었다.^[8]그러나 보치, 하본, 후네케가 제기한^[8] 질문에 따라 경우에 따라서는 더 나은 구속이 존재한다는 사실이 밝혀졌다.

정리 $모든{\displaystyle {}^{}}$ $m$에${\displaystyle }$대한${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle \mathrm{포함}}$ I${\displaystyle {(}^{}}$ ${\displaystyle m^{}}$${\displaystyle }$) { I r {\$displaystyle$ I$^{($m)}\$subseteq$ I$^{r}{$r}} }} N -${\displaystyle N}$ + ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m\geq Nr-N+1}$hold$$.

1. 특성 2의 임의적 이상.^[9]
2. 독단적인 특성의^[4] 단일한 이상을 위하여.
3. d-traft의^[8] 이상을 위하여.
4. $P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle \text{2}}$와 P ${\displaystyle {}^{}}$의 일반 포인트 이상 ${\$및$}}\mathb {P} ^{3}}}$

참조

외부 링크

• Melvin Hochster, 수학 711: 2007년 9월 7일 강의