초가당성

수학에서 $함수{\displaystyle }$ f$${\$displaystyle f}$은(는) 다음과 같은 경우 과첨가적이다.

$f{\displaystyle }$. ${\displaystyle$f} 도메인의 $모든{\displaystyle }$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 및$$ y ${\displaystyle y$$}$에 대해$}$

마찬가지로 시퀀스${\displaystyle }${${\displaystyle n_{}\},}${\$displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$${\displaystyle }$n ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle n\geq 1,}$이(가) 불평등을 충족하면 superadabittive라고 불린다$$.

모든 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$ 및$$ $n{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ n$.}$에 대해

부울대수에서 $P{\displaystyle (X}$ ${\displaystyle \vee }$ Y${\displaystyle }$) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle P}$( X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle P}$( ${\displaystyle Y}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle P(X\lor Y)\geq P(X)+P(Y)}$가 있는 실수에 대해서도 "초첨가성"이라는$$ 용어가 적용된다.

특성.

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(${\displaystyle \mathrm{가}}$) 초가함수이고 0이 해당 도메인에 있는 $경우{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$( 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle f(0)\$$leq$ $0.}$이를$$ 보려면 $상단{\displaystyle }$: f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle f(x}$+ y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle f.}$ $\displaysty f(x+y)-f.$$}$ 따라서$$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle \le }$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$+ ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle f (0)\leq$ f $(0+y)-f(y)=0.$$}$

초첨가함수의 음은 부첨가함수다.

페케트의 보조정리

초첨가 시퀀스를 사용하는 주요 이유는 마이클 페케트 때문에 다음과 같은 보조정리 때문이다.^[1]

보조정리: (페케트)For every superadditive sequence ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\},}$ ${\displaystyle n\geq 1,}$ the limit ${\displaystyle \lim a_{n}/n}$ is equal to ${\displaystyle \sup a_{n}/n.}$ (The limit may be positive infinity, for instance, for the sequence ${\displaystyle a_n}$${\displaystyle a_{n}=\log n!$$}$)

예를 들어, $x{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$}}은$$x +${\displaystyle y}$ ${\displaystyle$ $x$$+y}$의 제곱이 $x{\displaystyle }$ ${\$$display$ x$}$의 제곱과$$ y , $display$ y$}$의 제곱보다 항상$$ 크거나 같기 때문에 비음 실수에 대한 초첨함수함수다$$.$aystyle$ $x}$ $및{\displaystyle }$ y$$ ${\$$displaystyle$ $y}($${\displaystyle (x}$+ ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle (x}$+ y${\displaystyle {}^{}}$) = ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$= ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle y}$= ${\displaystyle f(x}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle f(y}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 2}$ x y($+y)$ = ($x+$y)=(x+$y)^{2$$}}=x^{2}+y^{2}+2xy=f(x)+f(y)+2xy}$ ).$$

페케트의 보조정리 아날로그는 하위 부가 기능도 가지고 있다.모든 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$과 $n{\displaystyle .}$ ${\displaystyle n.}$에 대해 위와 같은 초가담성의 정의를 필요로 하지 않는 페케트의 보조정리 연장도 있다. 초가담성과 n. {\displaystyn.}어떤 종류의 경우 페케트의 보조정리(superadditivity)에 존재하는 한계까지 수렴 속도를 추론할 수 있는 결과도 있다$$.부덕이 있다.이 주제에 대한 좋은 설명은 스틸(1997년)에서 찾을 수 있다.^[2][3]

과가중함수의 예

• The determinant is superadditive for nonnegative Hermitian matrix, that is, if ${\displaystyle A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )}$ are nonnegative Hermitian then ${\displaystyle \det(A+B)\geq \det(A)+\det(B).$$}$

이것은 더 일반적으로 크기 n{n\displaystyle}의 비음의 에르 미트 매트릭스에 det(⋅)1/n{\displaystyle \det(\cdot)^{1/n}}은superadditive(동등하게, 오목하다)[4]:IfA, B∈은 Matn(C){\displaystyle A,B\in{\text{매트}}_{n}(\mathbb 정하고 있는 민코프 스키 행렬식 정리,의 의미를 따른다.{C$}}}$은(는)${\displaystyle }$음이 ${\displaystyle {아닌\mathrm{}}^{}}$ 에르미트인 ${\displaystyle \mathrm{데트}{}^{}A{}^{}}$+ B${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle 1^{}}$/ ${\displaystyle n^{}{}^{}}$+ ${\displaystyle 데트(A{}^{}}$) ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$/ n${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle \det(A+B)^{1/n}\geq \det(A)^{1/n}+\det(B)^{1/n}.$$}$

• 상호정보
• Horst Alzer는 Hadamard의 감마함수 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle (x}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle H(x)}$이(가) 모든 실제 $숫자{\displaystyle x}$ , y ${\displaystyle x,y}$와 x ,${\displaystyle }$y${\displaystyle \mathrm{}\ge }$ 1${\displaystyle .5031}$에 대해 초첨가적이라는$$ 것을 증명했다${\displaystyle \mathrm{.}}$$1.5031번, y.geq 1.5031번.$$}$

참고 항목

• 초켓 적분
• 내측량
• 하위additivity
• 하위선형함수

참조

메모들

• György Polya and Gábor Szegö. (1976). Problems and theorems in analysis, volume 1. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-05672-6.

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유 앨리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 슈퍼additivity에서 얻은 자료가 통합되어 있다.