아인슈타인 관계 (운동 이론)

물리학(특히, 기체의 운동 이론)에서 아인슈타인 관계는 1904년 윌리엄 서덜랜드,^[1][2][3] 1905년 알버트 아인슈타인,^[4] 1906년^[5] 마리안 스몰루코프스키가 브라운 운동에 관한 연구에서 독자적으로 밝혀낸 이전에 예상치 못했던 연결이다. 방정식의 더 일반적인 형태는^[6]

${\displaystyle D=\mu \,k_{\text{B}T,}$

어디에

D는 확산 계수다.

μ는 "이동성" 또는 적용된 힘에 대한 입자의 단자 표류 속도의 비율, μ = v_d/F;

k는_B 볼츠만의 상수다.

T는 절대 온도다.

이 방정식은 변동-분산 관계의 초기 사례다.^[7]

자주 사용되는 두 가지 중요한 특수 형태의 관계는 다음과 같다.

${\$$T}{q}}($전기 이동 방정식, 전하 입자^[8] 확산용)

${\$$T}{6\pi \,\eta \,r}}($Stoks–Einstein 방정식, 레이놀즈 수가 낮은 액체를 통한 구형 입자 확산)

여기

q는 입자의 전하를 말한다.

μ는_q 전하 입자의 전기적 이동성이다.

η은 동적 점성이다.

r은 구형 입자의 반지름이다.

특례

전기 이동 방정식

전하 q를 가진 입자의 경우, 전기 이동성 μ는_q 등식 μ = μ_q/q에 의해 일반화된 이동성 μ와 관련이 있다. 매개변수 μ는_q 적용된 전기장에 대한 입자의 단자 표류 속도의 비율이다. 따라서 충전된 입자의 경우 방정식은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle D={\frac {\mu _{q}\,k_{\text{B}}}}T}{q}},}$

어디에

• ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$은 확산 계수(${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$이다.$$
• ${\displaystyle {\mu q}_{}}$ ${\$은(는) 전기 ${\displaystyle {이동성\mathrm{}}^{}{(}^{}{}^{}{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ V - ${\displaystyle {\mathrm{1초}}^{}}$ ${\displaystyle {-}^{}}$ 1$${\$displaystyle \m^{2}V^{-1}s^{-1}}}}}$
• ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$은(는) 입자의 전하(C, 쿨롬)
• ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$은 플라스마(K)의 전자 온도 또는 이온 온도다.^[9]

온도가 혈장에 더 일반적인 Volt로 주어진 경우:

${\displaystyle D={\frac {\mu _{q}\,T}{Z}}},}$

어디에

• ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$은(단위 없음) 입자의 충전 수입니다.
• T{T\displaystyle}으로는 온도나 플라즈마(V)에서 이온 온도.

스톡스-아인슈타인 방정식

낮은 레이놀즈 수의 한계에서 항력 계수 ζ{\zeta\displaystyle}의, 거동이 μ은 선의 역이다. 한 감쇠 상수 γ)ζ/m{\displaystyle \gamma =\zeta /m}은 종종 사용되는 역 모멘텀 완화 시간(시간이 관성 계기로 무시할 수가 되기 위해 필요한 무작위 momenta에 비해)의. 그 산만한 개체입니다. 반지름 r의 구상 입자 들어, 스토크스의 법칙을 준다.

${\displaystyle\zeta =6\pi \,\eta \,r,}.$

유체는 어디η{\displaystyle \eta}은으니까... 그러므로 Einstein–Smoluchowski 관계는 Stokes–Einstein 관계로 발생한다.

${\displaystyle D={\frac{k_{\text{B}}T}{6\pi \,\eta \,r}}.}$

이것은 많은년 동안 액체 속은 자기 확산 계수 추정을 위해, 버전을 이종 동형체 이론과 일치하는 표면에서의 여러 시스템의 컴퓨터 모의 실험에서 확인되고 있적용되어 왔다.[10]

회전 확산의 경우 마찰력은ζ r)8π η 이렇게 3{\displaystyle \zeta_{\text{r}}=8\pi\eta r^{3}}, 그리고 회전 확산 상수 Dr{\displaystyle D_{\text{r}}}이다.

${\displaystyle D_{\text{r}}){\frac{k_{\text{B}}T}{8\pi\,\eta \,r^{3}}}.}$

반도체

국가는 임의의 밀도가 반도체에서)홀이나 전자 p{p\displaystyle}과 대응 quasi 페르미 준위(또는 전위)φ{\displaystyle \varphi}, 아인 관계 is[11][12]의 밀도 사이에 p(φ){\displaystyle p=p(\varphi)}형태 p의 관계한다.

여기서 ${\displaystyle {\mu q}_{}}$ ${\$는 전기 이동성이다(이 관계에 대한 증거는 아래 절 참조). 상태 밀도에 대한 포물선 분산 관계와 무기 반도체 재료를 설명하는 데 종종 사용되는 Maxwell-Boltzmann 통계량을 가정하는 예:

${\displaystyle p(\varphi )=N_{0}e^{\frac {q\varphi }{k_{\text{B}}}T}},}$

여기서 $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\$은 사용 가능한 에너지 상태의 총 밀도로, 다음과 같은 단순한$$ 관계를 제공한다.

${\displaystyle D={\frac {\mu_{q}p}{q{d}{dp}{d\varphi }}},}$

네른스트-아인슈타인 방정식

네른스트-아인슈타인 방정식의 전해질의 등가 전도성 표현에서 양이온과 음이온의 전기 이온성 표현에서의 차이점을 대체함으로써 다음과 같이 도출된다.

${\displaystyle \Lambda _{e}={\frac {z_{i}^{2}F^{2}}(D_{+}+D_{-})).}$

$일반{\displaystyle }$ 사례 D =${\displaystyle {}_{}\frac{{}_{}}{}}$ B ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}.}$ ${\displaystyle$ D$=\mu _{q}{\frac {k_{\text{B}}}$$T}{q}}}.}$

아인슈타인 관계의 증거는 많은 참고 문헌에서 찾을 수 있다. 예를 들어 쿠보를 참조하라.^[13]

Suppose some fixed, external potential energy ${\displaystyle U}$ generates a conservative force ${\displaystyle F(\mathbf {x} )=-\nabla U(\mathbf {x} )}$ (for example, an electric force) on a particle located at a given position ${\displaystyle \mathbf {x} }$. We assume that the particle would resp$v{\displaystyle }$( ${\displaystyle x\mathbf{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mu }$ (${\displaystyle x\mathbf{}}$) F${\displaystyle }$(${\displaystyle x\mathbf{}}$ ) ${\displaystyle v(\mathbf {x} )=\mu(\mathbf {x} )F(\mathbf {x}$ )}([1] 참조)로 이동하여 ond. 이제 위치의 함수로$$ 국소 농도 $\rho {\displaystyle }$( ${\displaystyle x\mathbf{}}$)$${\$displaystyle \rho$(\$mathbf {x} )}$을(를) 사용하여 이러한 입자가 다수 존재한다고 가정한다. 얼마 후 평형이 확립될 것이다: 입자가 가장 낮은 잠재 에너지 $[\displaystyle U}$ 지역을 중심으로 쌓이겠지만$,$ 여전히 확산 때문에 어느 정도 확산될 것이다. 평형 상태에서는 입자의 순흐름이 없다: 입자가 표류 전류로 불리는$$낮은 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$ 쪽으로 당겨지는 경향은 확산 전류라고 불리는 확산으로 인해 확산되는 입자의 경향의 균형을 완벽하게 맞춘다(표류-분산 방정식 참조).

표류 전류로 인한 입자의 순 유량은

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {drift} }(\mathbf {x} )=\mu (\mathbf {x} )F(\mathbf {x} )\rho (\mathbf {x} )=-\rho (\mathbf {x} )\mu (\mathbf {x} )\nabla U(\mathbf {x} ),}$

즉, 주어진 위치를 지나 흐르는 입자의 수는 입자 농도에 평균 속도를 곱한 값과 같다.

확산 전류로 인한 입자의 흐름은, Fick의 법칙에 의해,

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {diffusion}}(\mathbf {x} )=-D(\mathbf {x} )\nabla \rho(\mathbf {x}),}$

여기서 마이너스 부호는 입자가 높은 농도에서 낮은 농도로 흐른다는 것을 의미한다.

이제 평형상태를 고려해보자. First, there is no net flow, i.e. ${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {drift} }+\mathbf {J} _{\mathrm {diffusion} }=0}$. Second, for non-interacting point particles, the equilibrium density ${\displaystyle \rho }$ is solely a function of the local potential energy ${\disp$$레이스타일 U$ 즉 두 위치의 U ${\displaystyle U}$이(가) $동일$한 if ${\displaystyle \rho }$도($$예: 아래에서 설명하는 Maxwell-Boltzmann 통계 참조) 즉, 체인 룰을 적용하면

${\displaystyle \nabla \rho ={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d}U}\nabla U.}$

따라서 평형 상태에서는 다음과 같이 한다.

${\displaystyle 0=\mathbf {J} _{\mathrm {drift} }+\mathbf {J} _{\mathrm {diffusion} }=-\mu \rho \nabla U-D\nabla \rho =\left(-\mu \rho -D{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}\right)\nabla U.}$

이 표현식은 모든 위치 $x{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$에서$$유지되므로 아인슈타인 관계의 일반적인 형식을 의미한다.

${\displaystyle D=-\mu {\frac {\rho}{\frac {\mathrm {d} \rho}{\mathrm {d} U}}}.}$

고전적 입자에 대한$$ $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$과(와) $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$ 사이의 관계는 Maxwell-Boltzmann 통계를 통해 모델링할 수 있다.

${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )=Ae^{-{\frac {U(\mathbf {x} )}{k_{\rm {B}}T}},}$

$여기$서 ${\displaystyle A}$은(는) 총 입자 수와 관련된 상수입니다. 그러므로

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}=-{\frac {1}{k_{\rm {B}}}T}\rho .}$

이러한 가정 하에서 일반적인 아인슈타인 관계에 이 방정식을 연결하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle D=-\mu {\frac {\rho}{\frac {\mathrm {d}\rho \rho}{\mathrm {d}U}=\mu k_{\rm}T,}}$

고전적인 아인슈타인 관계에 해당된다.

참고 항목

• 스몰루코프스키 인자
• 전도성(전극성)
• 스톡스 반지름
• 이온수송번호

참조

외부 링크

• 아인슈타인 관계 계산기
• 이온 확산도