스텝 응답

주어진 초기 상태에서 시스템의 단계 응답은 제어 입력이 헤비사이드 단계 함수일 때 출력의 시간 진화로 구성됩니다.전자 공학 및 제어 이론에서 단계 응답은 매우 짧은 시간에 입력이 0에서 1로 바뀔 때 일반 시스템의 출력의 시간 거동입니다.개념은 진화 파라미터를 사용하여 동적 시스템의 추상적 수학적 개념으로 확장될 수 있습니다.

실용적인 관점에서 시스템이 갑작스러운 입력에 어떻게 반응하는지 아는 것이 중요합니다. 장기 정상 상태에서 크고 빠른 편차는 구성요소 자체와 이 구성요소에 의존하는 전체 시스템의 다른 부분에 극단적인 영향을 미칠 수 있기 때문입니다.또한 컴포넌트의 출력이 최종 상태의 어느 부근까지 안정될 때까지 전체 시스템이 동작할 수 없기 때문에 전체 시스템 응답이 지연됩니다.형식적으로 동적 시스템의 단계 응답을 아는 것은 그러한 시스템의 안정성과 다른 시스템에서 시작할 때 하나의 정지 상태에 도달하는 능력에 대한 정보를 제공한다.

형식적 수학적 기술

$이$ 절에서는 동적 $시스템{\displaystyle \mathfrak{}}$ S의 추상적 수학적 개념의 관점에서 단계 응답의 공식 수학적 정의를 제공한다$.$ $다음$ 설명에 필요한 모든 표기 및 가정은 여기에 열거되어 있다.

• ${\displaystyle tt}$T \ $displaystyle$t \ $in$ T$$the$$ 、시스템 진화 파라미터로 단순성을 위해 "시간"이라고 부릅니다.
• ${\displaystyle {}_{}}$ t$$${\displaystyle m}$M ( \ $displaystyle \ bold symbol$ { x$$} _ { t } \ $in$ M )는 시각 t$$( \ $display style$t )의 시스템 상태이며 단순성을 위해 "output"이라고 부릅니다.
• $→$$Phi$$T\times$ M$\to$M은$$ 동적 시스템 진화 함수입니다.
• ${\displaystyle \mathrm{\delta }}$( ${\displaystyle {\mathit{}}_{}}$,${\displaystyle }$x ) =${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 0}$m M ( \ $displaystyle$ \ $Phi ($ 0 , { \ $bold symbol${ x } ) = $bold symbol${ x } _ { 0 } \$$in M$$ )는 동적 시스템 초기 상태입니다.
• ${\displaystyle H(}$ $)$ {$displaystyle$ H$(t)}$는 Heaviside 스텝 함수입니다.

비선형 동적 시스템

일반적인 동적 시스템의 경우 스텝 응답은 다음과 같이 정의됩니다.

$({displaystyle {\boldsymbol {x}}_{t}=\Phi _{\{H(t)\}}\left(t, {\boldsymbol {x}_{0}}\오른쪽).}$

제어 입력(또는 소스 항 또는 강제 입력)이 헤비사이드 함수일 때 진화 함수입니다. 표기법은 첨자로 H(t)를 나타내는 이 개념을 강조합니다.

선형 동적 시스템

LTI(Linear Time-Invariant) 블랙박스의 경우 알림 편의를 위해 S${\displaystyle s}$S { $displaystyle${ $mathfrak {S}} \ equiv$ S로 합니다$$.스텝 응답은 헤비사이드 스텝 함수 제어와 시스템 자체의 임펄스 응답 h(t)를 합성하여 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle a(t)=(h*H)(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }h(\display)H(\displaystyle)={-\infty }^{t}h(\displaystyle)$

LTI 시스템의 경우 후자를 통합하는 것과 같습니다.반대로 LTI 시스템의 경우 스텝 응답의 도함수가 임펄스 응답을 생성합니다.

${\displaystyle h(t)=syslogfrac {d}{dt}},a(t)입니다.}$

그러나 이러한 단순한 관계는 비선형 ^[1]또는 시간 가변 시스템의 경우 사실이 아닙니다.

시간 영역 대 주파수 영역

주파수 응답 대신 응답의 시간 의존성을 설명하는 파라미터의 관점에서 시스템 성능을 지정할 수 있습니다.단계 응답은 시간 동작과 관련된 다음 양으로 설명할 수 있습니다.

• 오버슈트
• 상승 시간
• 안착 시간
• 울리다

선형 동적 시스템의 경우, 이러한 특성으로부터 시스템에 대해 많은 것을 추론할 수 있다.간단한 2극 증폭기의 단계 응답 아래에 제시되며, 이러한 용어 중 일부가 설명된다.

LTI 시스템에서 오버슈트 또는 링잉을 생성하지 않는 가장 가파른 슬루 레이트를 가진 함수는 가우스 함수입니다.이는 푸리에 변환의 모양이 동일한 유일한 함수이기 때문입니다.

피드백 증폭기

이 절에서는 그림 1에 표시된 단순한 부귀환 증폭기의 단계 응답을 설명합니다.피드백 증폭기는 이득_OL A의 주 개방 루프 증폭기와 피드백 계수 β에 의해 제어되는 피드백 루프로 구성됩니다.이 피드백 앰프는 스텝 응답이 메인 앰프의 응답을 제어하는 시간 상수와 사용된 피드백 양에 따라 어떻게 달라지는지를 결정하기 위해 분석됩니다.

음피드백 앰프는 다음과 같은 방식으로 이득을 얻습니다(음피드백 앰프 참조).

${\displaystyle A_{FB} = flac {A_{OL}}{1+\beta A_{OL}}}},}$

여기서_OL A = 개방 루프 이득, A_FB = 폐쇄 루프 이득(부정 피드백이 존재하는 이득) 및 β = 피드백 인자.

하나의 우세한 극으로

대부분의 경우 순방향 증폭기는 시간 상수 θ의 단일 지배극 관점에서 충분히 잘 모델링할 수 있으며, 이는 다음에 의해 주어지는 개방 루프 이득이다.

${\displaystyle A_{OL}=flac {A_{0}}{1+j\omega \flac}}}$

주파수 게인₀ A가 0이고 각 주파수 θ = 2µf이다.이 전방 앰프는 유닛 스텝 응답을 가집니다.

$displaystyle S_{OL}(t$$A_{0}(1-e^{-t/\tau$ $\}),$

A의 새로운₀ 평형 값에 대한 0부터 지수적 접근법.

단극 증폭기의 전달 기능은 폐쇄 루프 게인으로 이어집니다.

${\displaystyle A_{FB}=frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}\;\cdot \;\{frac {1}{1+j\obe A_{0}}}}.}$

이 폐쇄 루프 게인은 개방 루프 게인과 같은 형태입니다.즉, 1극 필터입니다.스텝 응답은 같은 형태입니다.새로운 평형값으로의 지수적 붕괴입니다.그러나 폐쇄 루프 스텝 함수의 시간 상수는 δ / (1 + β₀ A)이므로 전방 증폭기의 응답보다 1 + β₀ A의 계수만큼 빠릅니다.

$(\displaystyle S_{FB}(t)=flac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}\left(1-e^{-t(1+\beta A_{0})/\tau }\right})$

피드백 계수 β가 증가함에 따라 스텝 응답은 하나의 지배극에 대한 원래의 가정이 더 이상 정확하지 않을 때까지 빨라진다.두 번째 극이 있는 경우 폐쇄 루프 시간 상수가 두 번째 극의 시간 상수에 근접하면 두 번째 극 분석이 필요합니다.

2극 증폭기

오픈 루프 게인에 2개의 극(시상수 2개, θ₁₂)이 있는 경우 스텝 응답은 조금 복잡합니다.오픈 루프 게인은 다음과 같습니다.

${\displaystyle A_{OL}=flac {A_{0}}{(1+j\operate_{1}(1+j\operate_{2})},$

주파수 게인₀ A가 0이고 각 주파수 θ = 2µf이다.

분석.

2극 증폭기의 전달 기능은 폐쇄 루프 게인으로 이어집니다.

${\displaystyle A_{FB}=flac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}\;\cdot \;\flac {1}{1+j\mega {2}{1+\maper A_{0}+(j\mega)^2}_frac {{0}\frac {1}}$

증폭기의 시간 의존성은 변수를 s = j124로 전환하면 쉽게 발견할 수 있으며, 이 경우 이득은 다음과 같습니다.

${\displaystyle A_{FB}=flac {A_{0}}{\tau _{1}\flac {2}\;\cdot \;{\flac {1}+{s^{2}+leftflac {1}+{\flac {1}+{\flac {1}+{\flac {1}+{\flac {\flac {{{1}}}\flac {{{{\f}}}}}}\flac {{{{{\fright a1}}}}}}}}}}\flac {\fright af$

이 식의 극(즉, 분모의 0)은 다음 위치에서 발생합니다.

${\displaystyle 2s=-\frac {1}+{\frac {1}{\frac {2}}\오른쪽)\pm {\frac {1}-{\frac {1}-{\frac {2}\frac {\frac {1}-{\frac {1}-{\frac {\frac {1}-{\frac {\f}\frac {{{{{\frac {1}}}}}}\frac {\frac {\frac {\frac {{{\f}}}}}}\f}\frac {\f}$

즉, βA₀ 값이 충분히 클 경우 제곱근은 음수의 제곱근이 되고, 즉 제곱근은 허수가 되며, 극 위치는 s 또는₋ s의₊ 복소 공역수이다. 그림 2:

${\displaystyle s_{\pm}=-\rho \pm j\mu,}$

와 함께

${\displaystyle \rho = flac {1}{\leftflac {1}+{\flac {1}{\flac {2}}\right}}$

그리고.

${\displaystyle \mu = flac {1}{2}}{\flac {4\flac {0}}{\tau _{1}\flac {{2}}-{\flac {1}-{\flac {1}-{\flac {2}}{\fright}}}}}{\flac {\frac {}}}}}}}}}}}}}$

s에 의해 주어진 루트에 대한 반지름의 크기와 함께 극좌표를 사용한다(그림 2).

${\displaystyle s = s_{\pm} = rho ^{2}+\mu ^{2}},$

각도 좌표 θ는 다음과 같이 구한다.

${\displaystyle\cos\phi =sec frac {rho },\sin \phi =sec frac {mu } {s}.}$

Laplace 변환 표는 이러한 시스템의 시간 응답이 다음 두 함수의 조합으로 구성되어 있음을 보여줍니다.

${\displaystyle e^{-\rho t}\sin(\mu t)\sin(\text {and}\cisco e^{-\rho t}\cos(\mu t)}$

즉, 해답은 시간의 진동을 감쇠시키는 것입니다.특히 시스템의 단위 단계 응답은 다음과 같습니다.^[2]

$\displaystyle S(t)=\left({\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}\오른쪽)\left(1-e^{-\rho t}\frac {\sin \left(\mu t+\phi\right)\frac {1+\fright})}{\sin \phi }}\right)\,}$

그 결과,

$\displaystyle S(t)=1-e^{-\rho t}\\frac\sin\left(\mu t+\phi\오른쪽)}{\sin \phi }}$

A가 무한대 경향이 있고 피드백 인자 β가 1일 때₀.

응답의 감쇠는 δ, 즉 오픈 루프 앰프의 시간 상수에 의해 설정됩니다.반면 발진 주파수는 μ, 즉 βA를₀ 통한 피드백 파라미터로 설정된다.θ는 시간 상수의 역수 합이기 때문에 둘 중 짧은 쪽이 θ를 지배하고 있는 것이 흥미롭다.

결과.

그림 3은 파라미터 μ의 3가지 값에 대한 단위 스텝 입력에 대한 시간 응답을 나타낸다.발진 주파수는 μ에 따라 증가하는 것을 알 수 있지만, 발진은 지수 [1 - exp(-µt)]와 [1 + exp(-µt)]에 의해 설정된 두 점근선 사이에 포함됩니다.이러한 점근선들은 피드백과 무관하게 δ에 의해 결정되며, 따라서 개방 루프 증폭기의 시간 상수에 의해 결정된다.

최종값에 대한 진동 현상을 링잉이라고 합니다.오버슈트는 최종값보다 높은 최대 스윙이며 μ만큼 분명하게 증가합니다. 마찬가지로 언더슈트는 최종값보다 낮은 최소 스윙으로 다시 μ만큼 증가합니다.안착 시간은 최종값에서 출발하여 특정 수준(예: 최종값의 10%) 아래로 가라앉는 시간입니다.

μ에 대한 안착 시간의 의존성은 명확하지 않으며, 2극 시스템의 근사치는 안착 시간의 피드백 의존성에 대한 실제 결론을 내릴 만큼 정확하지 않을 수 있다.그러나 점근선 [1 - exp(-θt)] 및 [1 + exp(-θt)]는 안착 시간에 명확하게 영향을 미치며 오픈 루프 앰프의 시간 상수, 특히 두 시간 상수 중 짧은 시간에 의해 제어됩니다.즉, 안착 시간에 관한 사양은 개방 루프 앰프의 적절한 설계에 의해 충족되어야 합니다.

이 분석의 두 가지 주요 결론은 다음과 같다.

1. 피드백은 주어진 개방 루프 앰프의 최종값과 주어진 개방 루프 시간 상수 값인 θ₁ 및 θ에₂ 대한 진동 진폭을 제어합니다.
2. 개방 루프 앰프는 안착 시간을 결정합니다.그림 3의 시간 척도를 설정하고 개방 루프 증폭기가 빠를수록 이 시간 척도가 빨라집니다.

이와는 별도로, 이 선형 2극 모델로부터의 실제 이탈은 두 가지 주요 합병증으로 인해 발생한다는 것을 알 수 있습니다. 첫째, 실제 증폭기는 0뿐만 아니라 두 개 이상의 극을 가지고 있으며 둘째, 실제 증폭기는 비선형이기 때문에 단계 응답은 신호 진폭에 따라 변화합니다.

오버슈트 제어

적절한 파라미터 선택에 의해 오버슈트를 제어하는 방법은 다음에 설명하겠습니다.

위의 방정식을 사용하여 스텝 응답을 미분하고 최대값을 구함으로써 오버슈트의 양을 구할 수 있습니다.최대 단계 응답_max S의 결과는 다음과 같습니다.^[3]

$(\displaystyle S_{\max}=1+\exp \leftpi {rho }{\mu }}\오른쪽).}$

스텝 응답의 최종값은 1이므로 지수는 실제 오버슈트 자체입니다.μ = 0이면 오버슈트가 0인 것이 분명하며, 이는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\frac {4\frac A_{0}}{\tau _{1}\frac {1}-{\frac {1}-{\frac {2}\right}^2}.$

이 2차 값은 x = (θ / ^1/2θ)를₁ 설정하여 시간 상수의₂ 비율에 대해 해결됩니다.

$({displaystyle x=sqrt {\sqrt {\sqrt A_{\sqrt {\displaystyle A_{0}+1}).}$

β₀ A 1 1이므로 제곱근의 1을 떨어뜨릴 수 있으며, 그 결과는 다음과 같다.

$(\displaystyle\frac_{1}}{\display_{2}}=4\displaystyle A_{0}).$

즉, 첫 번째 시간 상수는 두 번째 시간 상수보다 훨씬 커야 합니다.오버슈트를 허용하지 않는 디자인보다 더 과감하게 하기 위해 위의 관계에서 계수 α를 도입할 수 있습니다.

$(\displaystyle {\frac _ {1}} {\frac _ {2}} = \alpha \fac A_{0} )$

α를 허용 가능한 오버슈트 양으로 설정한다.

그림 4는 순서를 나타내고 있습니다.상단 패널(α = 4)과 하단 패널(α = 0.5)을 비교하면 α 값이 낮지만 응답 속도는 증가하지만 오버슈트는 증가합니다.사례 α = 2(가운데 패널)는 보데 게인 대 주파수 플롯에서 피크가 없는 최대 평탄한 설계입니다.이 설계에는 복수의 극(또는 0), 비선형성(신호 진폭 의존성) 및 제조 변동과 같은 비이상적 현실을 다루기 위한 경험적 안전 여유도가 내장되어 있으며, 어느 것이든 오버슈트를 너무 많이 초래할 수 있다.극 분리 조정(즉, 설정α)은 주파수 보정의 대상이며, 그러한 방법 중 하나가 극 분할이다.

안착시간 제어

그림 3의 스텝 응답에서 링잉의 진폭은 감쇠 계수 exp(-µt)에 의해 제어됩니다.즉, 최종값에서 허용되는 스텝 응답 편차를 지정할 경우, 예를 들어 δ, 즉 다음과 같습니다.

$(\displaystyle S(t)\leq 1+\Delta , )$

이 조건은 β_OL A의 값에 관계없이 충족된다. 예를 들어_S, 시간은 다음과 ^[4]같이 주어진 안착 시간 t보다 길다.

$\displaystyle \Delta = e^{-\rho t_{S}}{\text{ 또는 }}t_{S) = specfrac {\frac {1} {\rho } = \frac {2\ln {1} {\delta } {1+{\frac _{2} {\frac _{1}} {\frac _2} {\frac _{1} {\frac {\frc} {\frac {\frc} {\fr}$

여기서 δ₁₁ = αβA_OL δ가₂ 되는 오버슈트 제어 조건 때문에 δ δ δ가₂ 적용 가능합니다. 종종 안착 시간 조건은 전형적인 우세한 극 보상을 가진 증폭기의 경우 1/(2µ δ₂)가 이 대역폭에 가깝기 때문에 유니티 게인 대역폭에 반비례한다고 말합니다.그러나 이 결과는 이 경험칙보다 더 정확합니다.이 공식의 예로서 δ⁴ = 1/e = 1.8%일 때 안착시간 조건은 t = 8 µ이다_S2.

일반적으로 오버슈트의 제어는 시정수비를 설정하고 안착시간_S t는 ^[5][6][7]θ를₂ 설정한다.

스텝 응답을 사용한 시스템 식별:2개의 실제 극이 있는 시스템

이 방법에서는 스텝 반응의 유의점을 사용합니다.측정된 신호에 대한 접선을 추측할 필요가 없습니다.방정식은 몇 가지 유의한 비율과 비선형 방정식의 적합 매개변수를 결정하는 수치 시뮬레이션을 사용하여 도출됩니다.「」^[8]도 참조해 주세요.

스텝은 다음과 같습니다.

• 입력 스텝 $신호{\displaystyle }$x (${\displaystyle t}$ $){displaystyle$x($t$를 사용하여 시스템의 스텝 $응답{\displaystyle }$y (${\displaystyle t}$){$displaystyle$ y$(t$$)}$를 측정합니다.
• 스텝 응답이 정상 상태 출력 값의 25 % 및 $75{\displaystyle {}_{}}$%에 도달하는 t ${\displaystyle {25}_{}}${ $display$ style $t_{25}$ 및$$ t ${\displaystyle {75}_{}}$ ${$ $displaystyle t_{75}$ 시간을$$ 결정합니다.
• 시스템 정상 상태 $게인{\displaystyle }$ k ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$0 {\$displaystyle$ k$=$$A_{0$$}$ ($k{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \underset{}{}{\displaystyle \frac{}{}}\underset{}{\mathrm{}}}$y${\displaystyle {\displaystyle \frac{}{}}}$(${\displaystyle {\displaystyle \frac{t}{}}}$ )${\displaystyle {\displaystyle \frac{}{}}}$(${\displaystyle {\displaystyle \frac{t}{}}}$) { $displaystyle$ k$$\$lim$ _${t\to$ \$infty$} {\$dfrac {y(t)}$ {$x(t)}}}}$을 확인합니다.
• 계산한다.
  $${\displaystyle r=syslogdfrac {t_{25}}{t_{75}}}$$

  
  $${\displaystyle P=-18.56075,r+{\dfrac {0.57311}{r-0.20747}}+4.14023}$$

  
  $${\displaystyle X=14.2797,r^{3}-9.38911,r^{2}+0.25437,r+1.32148}$$

  
• 두 시간 상수 결정
  $$\displaystyle _{2}=T_{2}=blackdfrac {t_{75}-t_{25}}{X,(1+1/P)}}}$$

  
  $${\displaystyle_{1}=T_{1}=blackdfrac {T_{2}}{P}}$$

  
• Laplace 도메인 내에서 식별된 시스템의 전송 함수를 계산합니다.
  $${\displaystyle G(s)=dfrac {k}{(1+s,T_{1}\cdot(1+s,T_{2}}}}}}$$

  

위상 마진

다음으로 극비θ₁/θ의₂ 선택은 피드백 ^[9]증폭기의 위상 여유와 관련된다.Bode 플롯 기사에 설명된 절차는 다음과 같습니다.그림 5는 두 번째 극 위치까지의 주파수 범위에서 2극 증폭기에 대한 보데 게인 플롯입니다.그림 5 뒤에 있는 가정은 주파수_{0 dB} f가 f = 1/(2µ₁)에서₁ 가장 낮은 극과 f = 1/(2µ₂)에서₂ 두 번째 극 사이에 있다는 것이다.그림 5와 같이 이 조건은 α 1 1의 값에 대해 충족된다.

그림 5를 사용하여 루프 게인 βA가₀ 유니티 게인 또는 0dB 조건을 만족하는 주파수(f로 표시_{0 dB})를 구합니다.

$\displaystyle \beta A_{\text{OL}}(f_{\text{0 db}}) = 1 。}$

게인 그림의 아래쪽 레그의 기울기는 (20dB/decade)입니다. 주파수가 10 증가할 때마다 게인은 동일한 계수만큼 감소합니다.

${\displaystyle f_{\text{0dB}}=\beta A_{0}f_{1}.}$

위상 여유는 -180°에서 f로의_{0 dB} 위상 출발이다.따라서 마진은 다음과 같습니다.

$(\displaystyle \phi _{m}=180^{\context}-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{1})-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{2}).}$

f / f₁ = βA₀ 1 1이므로_{0 dB} f 단위는₁ 90°이다.따라서 위상 마진은 다음과 같습니다.

$({displaystyle {displaystyle}\phi _{m}&=90^{\text{0 dB}}/f_{2}\&=90^{\circ}-\arctan {\frac {\f}{f}{\f}{\f}{\alpha\f})\end { aligned}}$

특히 사례 α = 1의 경우 θ_m = 45°, α = 2의 경우 θ_m = 63.4°이다.산센은^[10] "시작하기 좋은 안전 위치"로 α = 3, θ_m = 71.6°를 권장한다.

θ를₂ 짧게 함으로써 α가 증가하면 안착시간_S t도 짧아진다.θ가₁ 길어지면 α가 증가하면 안착시간_S t는 거의 변화하지 않는다.더 일반적으로, 예를 들어 극 분할 기법을 사용하는 경우 θ와₁ θ가₂ 모두 변경됩니다.

한편, 두 개 이상의 극이 있는 증폭기의 경우, 그림 5의 다이어그램은 "등가하는 두 번째 극"^[11] 위치라고 하는 적합 매개변수를₂ 만들어 보데 플롯에 적합하게 만들 수 있다.

「 」를 참조해 주세요.

• 임펄스 응답
• 오버슈트(신호)
• 극분할
• 상승 시간
• 정산시간
• 시간 상수

레퍼런스 및 메모

추가 정보

외부 링크

• Kuo Power Point 슬라이드; 특히 7장