세레 이중성

수학의 한 분야인 대수 기하학에서 세레 이중성은 장피에르 세레에 의해 증명된 대수종류의 일관성 있는 피리 코호몰로지(sheaf cohomology)를 위한 이중성이다. 기본 버전은 부드러운 투영 품종의 벡터 번들에 적용되지만, 알렉산더 그로텐디크는 예를 들어 단일 품종과 같은 광범위한 일반화를 발견했다. n차원 다양성에 대해 정리하면, 코호몰로지 그룹 ${\$ H$^{i}}$는 다른 그룹의 이중 $공간$인 H -${\displaystyle i^{}}$ ${\$ H$^{n-i$ 세레 이중성은 토폴로지에서 푸앵카레 이중성의 일관성 있는 쉐이프 코호몰로지(cohomology)의 아날로그로 되어 있다.

세레 이중성 정리 역시 투영적 복합 대수적 품종이 아닌 콤팩트 복합 다지관의 경우 보다 일반적으로 복합 기하학에서 사실이다. 이 설정에서 Serre 이중성 정리는 돌베오트 코호몰로지(Dolbeault cohomology)에 Hodge 이론을 적용한 것으로 타원 연산자 이론의 결과로 볼 수 있다.

세레 이중성에 대한 이러한 두 가지 다른 해석은 비성적 투영적 복합 대수적 품종에 대해, 돌베오트의 피복 코호몰로지 관련 정리의 적용에 의해 일치한다.

벡터 번들에 대한 세레 이중성

대수 정리

X를 필드 k에 걸쳐 부드러운 차원의 다양성이 되게 하라. 표준 라인 번들 $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$를 정의하여$$ 등사 번들의 상단 외부 전력인 X에 n-폼의 번들로 표시하십시오.

${\displaystyle K_{X}=\오메가_{X}^{n}={\bigwedge }^{n}(T^{*}X)}$

또한 X가 k보다 적절하다고 가정하자(예: 투영적) 그러면 Serre 이중성은 다음과 같이 말한다: X의 대수 벡터 번들 E와 정수 i의 경우, 자연 이형성이 있다.

${\displaystyle H^{i}(X,E)\cong H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{\ast }^{\ast }}}}}}}}}}}}$

유한한 k-920 공간의 여기서 $\otimes {\displaystyle }$ ${\displaystyle \otimes }$은 벡터 번들의 텐서 곱을 나타낸다$$. 두 공동유동학 집단의 치수는 다음과 같다.

${\displaystyle h^{i}(X,E)=h^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{\ast }).}$

Poincaré duality에서와 같이 Serre duality에서 이소모르피즘은 sheaf cohomology의 컵 제품에서 나온다. 즉, ${\displaystyle {Hn}^{}}$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$) ${\displaystyle H^{n}(X,K_{X})$에 자연 트레이스 맵이 있는 컵 제품의 구성은 다음과$$ 같은 완벽한 쌍이다.

${\displaystyle H^{i}(X,E)\time H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{\ast }}\to H^{n}(X,K_{X})\to k.}$

추적 지도는 de Rham cohomology에서 통합의 일관성 있는 sheaf cohomology의 아날로그다.^[1]

미분-기하 정리

세레는 또한 X에 대해 콤팩트한 복합 다지관과 E에 대해 동일한 이중성 진술을 증명했다.^[2] 여기서 세레 이중성 정리는 호지 이론의 결과물이다. 즉, 리만 메트릭스가 장착된$$ 콤팩트 복합 $매니폴드{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$에는 호지 별 연산자가 있다.

$\displaystyle \star :\Oomega ^{p}(X)\to \Oomega ^{2n-p}(X),}$

where ${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }X=n}$. Additionally, since ${\displaystyle X}$ is complex, there is a splitting of the complex differential forms into forms of type ${\displaystyle (p,q)}$. The Hodge star operator (extended complex-linearly to complex-valued differential forms) interacts w이 등급은 다음과 같다.

$\displaystyle \star :\Oomega ^{p,q}(X)\to \Oomega ^{n-q,n-p}(X).}$

홀로모픽 지수와 반홀모픽 지수가 자리를 바꾸어 놓았다는 점에 유의한다. There is a conjugation on complex differential forms which interchanges forms of type ${\displaystyle (p,q)}$ and ${\displaystyle (q,p)}$, and if one defines the conjugate-linear Hodge star operator by ${\displaystyle {\bar {\star }}\omega =\star {\bar {\omega }}}$ then we have

${\displaystyle {\bar {\star}:\Oomega ^{p,q}(X)\to \Oomega ^{n-p,n-q}(X).}$

결합선형 Hodge 별을 사용하여 복잡한 차동 형태에 대해 은둔자 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}$$-inner$$ 제품을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \angle _{L^{2}}=\int_{X}\alpha \wedge {\bar{\star }}\beta ,}$

여기서 $\alpha {\displaystyle }$α${\displaystyle \stackrel{}{}\beta \stackrel{}{}}$β$$\\$displaystyle$$\alpha \wedge${\$bar$}}\$star$ }\$beta$$\}{\displaystyle }$은(는$$) (${\displaystyle n),}${\$displaystyle (n$$,$n)} -form이며$$$$, 특히 복합 값 ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\$$displaystystytyposition$ X$}$에 통합될$$ 수 있다. 또한${\displaystyle }$(${\displaystyle E}$, ${\displaystyle h}$) ${\displaystyle (E,h)}$이(가) 에르미트의 홀로모르픽 벡터 번들이라고 가정하자. $그런$ 다음 E ${\displaystyle h$$}$ 은 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$과(${\displaystyle 와)}$ 이중 벡터 번들 사이에$$ 결합선형 이형성 E ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ∗ E ${\displaystyle {\ast }^{}}$ E${\displaystyle }$∗ ${\$$$:$E\to E$$^{*}}}$을${\displaystyle \stackrel{}{(<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash tau\; :E\backslash to\; E^\{*\}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/2af49f3a6344f050c30e1d6bbdbd1e74d4168558"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:11.377ex;\; height:2.343ex;">}}$를$)$ 정의하면$이소모르피즘$을 얻는다$.$

${\displaystyle {\bar {\star }_{E:\Oomega ^{p,q}(X,E)\to \Oomega ^{n-p,n-q}(X,E^{*})}$

where ${\displaystyle \Omega ^{p,q}(X,E)=\Omega ^{p,q}(X)\otimes \Gamma (E)}$ consists of smooth ${\displaystyle E}$-valued complex differential forms. $따라서$$\tau {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle E}$과(와$$) ${\$$displaystyle \tau$} 및$$h ${\displaystyle$ h$}$이(가) 제공한 E ${\$displaystyle $E$$}$과(와) $사이$의 쌍을 사용하여 이러한 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ E$}$에서 값진$$ $^{2}}$ -inner$$ 제품을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \langle _{L^{2}}=\int_{X}\alpha \wedge _{h}{\bar{\star }}\E}\beta ,}$

여기서 $\wedge {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\$는 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$이(가) 제공하는$$ $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$과(와$)$ $E{\displaystyle {}^{}}$∗{\$displaystystyle$ E$^{*}$ 사이의 쌍을 사용하는 차등 형태의 쐐기 제품을 의미한다$.$

Dolbeault cohomology에 대한 Hodge 정리는 우리가 정의한다면

${\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }_{E}}={\bar {\partial }*}{\bar {\partial }}{{E}+{\partial }{\bar {\partial }}{{E}^*}}}}}}}}$

여기서 ${\displaystyle {\stackrel{}{\partial \text{'}}}_{}}$ ${\displaystyle E_{}}$ ${\$은(는) $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$의 Dolbeault 운영자이며,${\displaystyle {\stackrel{}{\mathrm{}}e}_{}^{\stackrel{}{}}}$E${\displaystyle {}_{}^{}}${ ${\${}$_{E$}^*}은(는) 내부 제품에 대한 공식 연관이다$$.

${\displaystyle H^{p,q}(X,E)\cong {\mathcal{H}_{\Delta_{\bar {\partial }}^{p,q}(X)}$

왼쪽은 돌베오 코호몰로지, 오른쪽은 조화 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$ -값$$ 차등형식의 벡터공간으로 정의되어 있다.

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)=\{\alpha \in \Omega ^{p,q}(X,E)\mid \Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}(\alpha )=0\}.}$

이 설명을 이용하여 세레 이중성 정리는 다음과 같이 진술할 수 있다. 이형성 $\star {\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$의 ${\displaystyle E_{}}$ ${\$은(는) 복합 선형 이형성을 유도한다$$.

${\displaystyle H^{p,q}(X,E)\cong H^{n-p,n-q}(X,E^{*})^{*}}}$

이것은 위의 호지 이론을 사용하여 쉽게 증명할 수 있다. Namely, if ${\displaystyle [\alpha ]}$ is a cohomology class in ${\displaystyle H^{p,q}(X,E)}$ with unique harmonic representative ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)}$, then

${\displaystyle(\alpha ,{\bar }}_{E}\alpha )=\langle \langle \alpha \langle \{L^{2}}\geq 0}$

$\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \alpha =0}$인 경우에만 동등하게$.$ 특히 복잡한 선형 쌍을 이룬다.

$\displaystyle (\alpha ,\beta )=\int _{X}\alpha \wedge _{h}\beta }$

between ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)}$ and ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E^{*}}}}^{n-p,n-q}(X)}$ is non-degenerate, and induces the isomorphism in the Serre 이중성 정리

대수적 설정에서 Serre 이중성의 문장은 $p{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p=0}$을 취하고$,$ 다음과 같이 기술한 돌보트의 정리를 적용하면 회복될 수 있다.

${\displaystyle H^{p,q}(X,E)\cong H^{q}(X,{\boldsymbol {\Oomega }}^{p}\otimes E)}$

왼쪽은 돌베오 코호몰로지, 오른쪽 ${\displaystyle {}^{}}$ 코호몰로지인데$,$ $여기$서 Ω p {\$displaystyle {\boldsymbol {\Oomega}^{p}}}$는 홀로모르픽$({\displaystyle p}$ ${\displaystyle ,0}$ ) ${\displaystyle(p,0)$ -forms의$$ 칼집을 나타낸다$$. 특히, 우리는 얻는다.

${\displaystyle H^{q}(X,E)\cong H^{0,q}(X,E,E)\cong H^{n,n-q}(X,E^{*})^{*}\cong H^{n-q}(X,K_{X}}}\otimes E^{*}*}}}}}}*}}}}}}}}}*}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 우리는 홀로모르픽$({\displaystyle \mathrm{n}}$, 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle(n,0)}$ -forms의$$ 피복이 $단지{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle$X$\}$의 표준 번들일 뿐이라는 것을 사용했다.

대수 곡선

Serre 이중성의 기본 적용은 대수 곡선이다. (복잡한 숫자에 걸쳐 콤팩트한 Riemann 표면을 고려하는 것과 같다.) For a line bundle L on a smooth projective curve X over a field k, the only possibly nonzero cohomology groups are ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$ and ${\displaystyle H^{1}(X,L)}$. Serre duality describes the ${\displaystyle H^{1}}$ group in terms of an ${\displaystyle H^{0}}$$$ 그룹화(다른 라인 번들의 경우).^[3] 선다발의 $H$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\$는 단순히 단면공간이기 때문에 더욱 구체적이다.

세레 이중성은 특히 곡선의 리만-로치 정리와 관련이 있다. 속 g의 원곡선 X에서 d의 선다발 L에 대해 리만-로치 정리는 다음과 같이 말한다.

${\displaystyle h^{0}(X,L)-h^{1}(X,L)=d-g+1.}$

세레 이중성을 사용하여 다음과 같은 기본적인 용어로 재작성할 수 있다.

${\displaystyle h^{0}(X,L)-h^{0}(X,K_{X}\otimes L^{*})=d-g+1.}$

후자 진술(divisors의 관점에서 표현)은 사실 19세기부터의 정리의 원판이다. 이것은 주어진 곡선이 투영 공간에 어떻게 내장될 수 있는지 분석하고 따라서 대수적 곡선을 분류하는 데 사용되는 주요 도구다.

예: 음의 선다발 하나하나가 0이다. 더구나 표준다발의 정도는 ${\displaystyle \mathrm{2g}}$- 2 ${\디스플레이$ 스타일 $2g-2}$이다$.$ 따라서 Riemann-Roch는 d> - 2 ${\displaystyle d>2g-2$ $h{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}X,}$ ${\displaystyle L}$) ${\displaystyle h^{0}(X,L)$이 $d{\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{g}}$+ 1 ${\displaysty d-g+1}$과 같다는 것을 암시한다$.$ When the genus g is at least 2, it follows by Serre duality that ${\displaystyle h^{1}(X,TX)=h^{0}(X,K_{X}^{\otimes 2})=3g-3}$. Here ${\displaystyle H^{1}(X,TX)}$ is the first-order deformation space of X. 이것은 속 g의 곡선의 모듈리 공간이 차원 $3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{g}}$- 3$[\displaystyle 3g-3}$을 가지고 있음을 보여주는 데 필요한 기본적인 계산이다$.$

정합성 있는 피복에 대한 세레 이중성

세레 이중성의 또 다른 공식은 벡터 묶음만이 아니라 모든 일관적인 층을 지탱한다. 세레의 이중성을 일반화하기 위한 첫 단계로, 그로텐디크는 이 버전이 단순한 계략이 아니라 가벼운 특이점, 코헨-매컬레이 계략을 가진 계략에 효과가 있다는 것을 보여주었다.

즉, 필드 k에 대한 순수한 차원 n의 코헨-맥컬레이 체계 X의 경우, 그로텐디크는 X에 이중화 피복이라고 하는 일관성 있는 피복 ${\displaystyle X_{}}$ ${\$을 정의했다. (일부 저자들은 이것을 sheaf $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$라고 부른다.)$$ 게다가 X가 k보다 적당하다고 가정한다. X와 정수 i의 일관성 있는 sheaf E에 대해 Serre 이중성은 자연 이형성이 있다고 말한다.

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})\cong H^{n-i}(X,E)^{*}}}}}$

유한한 ^[4]k-920 공간의 여기서 Ext 그룹은 ${\displaystyle {OX}_{}}$ ${\$ -modules의 아벨리아 범주에서 취한다. This includes the previous statement, since ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})}$ is isomorphic to ${\displaystyle H^{i}(X,E^{*}\otimes \omega _{X})}$ when E is a vector bundle.

이 결과를 이용하기 위해서는 최소한 특별한 경우에서 이중화 피복(dualizing sheaf)을 명시적으로 결정해야 한다. X가 k에 걸쳐 매끄러울 때, ${\displaystyle X_{}}$ $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 위에서$$ 정의한$$ 정식 라인 ${\displaystyle {번들}_{}}$ K X$${\$displaystyle K_{X}$이다. 보다 일반적으로 X가 K에 걸쳐 매끄러운 체계 Y에서 코헨-맥컬레이의 코디네이션 r 하위 체임인 경우, 이중화 피복은 Exthef로 설명될 수 있다.^[5]

${\displaystyle \omega_{X}\cong {\mathcal {Ext}_{{O_{Y}}^{r}(O_{X},K_{Y}).}$

X가 부드러운 구성표 Y에 있는 코다이멘션 r의 국소 전체 교차점일 때 보다 기본적인 설명이 있다: Y에 있는 X의 정상 묶음은 r의 벡터 묶음이며, X의 이원화 피복은 다음과^[6] 같다.

${\displaystyle \omega _{X}\cong K_{Y} _{X}\otimes {\bigwedge }^{r}(N_{X/Y})}$

이 경우 X는 ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ X ${\$ 선다발을 가진$$ 코헨-매컬레이 계략으로 X는 고렌슈타인이라고 한다.

Example: Let X be a complete intersection in projective space ${\displaystyle {\mathbf {P} }^{n}}$ over a field k, defined by homogeneous polynomials ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{r}}$ of degrees ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{r}}$. (To say that this is a complete interseection은 X에 차원 $n{\displaystyle }$ -${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n-r}$이(가) 있음을 의미한다.$$ 정수 d의 경우$$ ${\displaystyle {Pn}^{}}$ ${\$에 선다발 O(d)가 있는데, d의 동종 다항식을 O(d)의 섹션으로 볼 수 있는 속성이 있다. X의 이중화 피복은 선다발이다.

${\displaystyle \omega_{X}=O(d_{1}+\cdots +d_{r}-n-1) _{X}$

부속식으로 예를 들어, 평면 곡선 X d의 이원화 피복은 O${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{d}}$- 3${\displaystyle }$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$이다$.$

칼라비의 복합모듈리야우 삼배

특히 P ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ a Calabi–의 5중주 $\dim(H^{1}(X, TX)}$에 대한 ${\displaystyle 딤({H\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathrm{TX})\}}$과 같은 복잡한 변형 수를 계산할 수 있다.세레 이중성을 이용한 야우 버라이어티. 칼라비 이후-Yau property ensures ${\displaystyle K_{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}}$ Serre duality shows us that ${\displaystyle H^{1}(X,TX)\cong H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X}\otimes \Omega _{X})\cong H^{2}(X,\Omega _{X})}$ showing the number of com플렉스 모듈리는 호지 다이아몬드의$$ ${\displaystyle {\mathrm{h}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}}$1 ${\$ h$^{2,1}$와 같다. 물론 마지막 진술은 칼라비-티안-토도로프의 모든 변형을 기술하는 보고몰레프-티안-토도로프 정리에 달려 있다.야우는 방해받지 않는다.

그로텐디크 이중성

그로텐디크의 일관성 있는 이중성 이론은 세레 이중성의 광범위한 일반화로서 파생된 범주의 언어를 사용한다. For any scheme X of finite type over a field k, there is an object ${\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }}$ of the bounded derived category of coherent sheaves on X, ${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$, called the dualizing complex of X over k. $형식적$으로 ${\displaystyle {\Omega }_{}^{}}$ X$∙{\$은 예외적인 역 이미지 f! O Y ${\$ f$^{!$$}O_{Y}}$, where f is the given morphism ${\displaystyle X\to Y=\operatorname {Spec} (k)}$. When X is Cohen–Macaulay of pure dimension n, ${\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }}$ is ${\displaystyle \omega _{X}[n]}$; that is, it is the dualizing sheaf discussed above, viewed as a compl(동음이의) 학위 -n. 특히 X가 k에 걸쳐 매끄러울 때 ${\displaystyle {\Omega }_{}^{}}$ X ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$는 도 -n으로 배치된 표준 라인 번들이다.

이중화 콤플렉스를 사용하여 Serre 이중화는 적절한 체계 X over k에 일반화한다. 즉, 유한차원 k-벡터 공간의 자연 이형성이 있다.

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(E,\omega _{X}^{\bullet })\cong \operatorname {Hom} _{X}(O_{X}E)^{*}}}}$

$D{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{coh}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ (${\displaystyle {}_{}^{}X}$) ${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X$^[7]의 모든 개체 E.

보다 일반적으로 적절한 체계 X over k의 경우, $D{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ b${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle X}$ )$${\$displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)$ 및$$$F$의 D ${\displaystyle {\mathrm{perf}}_{}}$(${\displaystyle X)}$ ${\displaystystyle D_{\operf}}}}}}(X$의 개체 E는 다음과 같은 우아한 문구를 가지고 있다.

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(E,F\otimes \omega _{X}^{\bullet })\cong \operatorname {Hom} _{X}(F,E)^{*}}}}}}}}$

여기서 텐서 제품은 파생된 텐서 제품을 의미하며 파생된 카테고리에서 자연스럽다. (To compare with previous formulations, note that ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})}$ can be viewed as ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(E,\omega _{X}[i])}$.) When X is also smooth over k, every object in ${\displ$$aystyle D_{\operatorname {coh}{b}(X)}$은(는$$) 완벽한 콤플렉스여서 이 이중성은 ${\displaystyle {\mathrm{Dcoh}}_{}^{}}$ b (${\displaystyle {}_{}^{}}$ )${\displaystyle D_{\operatorname$ {$coh} ^{b}(X)$의 모든 E와 F에 적용된다$.$ The statement above is then summarized by saying that ${\displaystyle F\mapsto F\otimes \omega _{X}^{\bullet }}$ is a Serre functor on ${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$ for X smooth and proper over k.^[8]

세레 이중성은 한 분야에 걸쳐 적절한 대수적 공간을 더 일반적으로 차지한다.^[9]

메모들

참조

• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, OCLC 13348052
• Hartshorne, Robin (1966), Residues and duality, Lecture Notes in Mathematics, 20, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-03603-6, MR 0222093
• "Duality", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Huybrechts, Daniel (2005), Complex geometry, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-21290-6, MR 2093043
• Huybrechts, Daniel (2006), Fourier–Mukai transforms in algebraic geometry, Oxford University Press, ISBN 978-0199296866, MR 2244106
• Serre, Jean-Pierre (1955), "Un théorème de dualité", Commentarii Mathematici Helvetici, 29: 9–26, doi:10.1007/BF02564268, MR 0067489
• Tate, John (1968), "Residues of differentials on curves" (PDF), Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, 1: 149–159, doi:10.24033/asens.1162, ISSN 0012-9593, MR 0227171

외부 링크

• The Stacks Project Authors, The Stacks Project