주문 치수

차원 4의 부분 순서(Hasse 다이어그램으로 표시됨)와 이 부분 순서에 대한 현실화기를 구성하는 4개의 총 순서.

수학에서 부분 순서 집합(포셋)의 치수는 교차로에서 부분 순서가 발생하는 전체 순서의 최소 수입니다.이 개념을 순서 차원 또는 부분 순서의 뒤스닉-밀러 차원이라고도 한다.뒤스닉&밀러(1941)는 먼저 순서 차원을 연구했다. 여기서 제공되는 것보다 이 주제에 대한 자세한 설명은 트로터(1992)를 참조한다.

형식 정의

poset P의 치수는 패밀리가 존재하는 최소 정수 t이다.

{\mathcal{R}=(<_{1},\dots ,<_{t}}})

P의 모든 x와 y에 대해 모든 선형 확장에서 x가 y보다 앞서는 경우에만 P에서 y보다 앞서는 P의 선형 확장의 경우.그것은

P=\bigcap {R}=\bigcap _{i=1}^{t}<_{i}.

주문 차원에 대한 다른 정의는 모든 i에 $x_{i}\leq y_{i}$ x $x_{i}\leq y_{i}$ ${\$ 인 $x\leq y$ 에만 $x\leq y$ p가 구성 요소 순서와 함께 제품에 주입되는 최소 총 주문 수입니다(Hiraguti 1955, Milner & Pouzet 1990).

리얼라이저

X에 대한 선형 순서의 R ${\mathcal {R}}=(<_{1},\dots ,<_{t})$ = ${\mathcal {R}}=(<_{1},\dots ,<_{t})$ ( ${\mathcal {R}}=(<_{1},\dots ,<_{t})$ , ${\mathcal {R}}=(<_{1},\dots ,<_{t})$ … ${\mathcal {R}}=(<_{1},\dots ,<_{t})$ , ${\mathcal {R}}=(<_{1},\dots ,<_{t})$ < t ${\mathcal {R}}=(<_{1},\dots ,<_{t})$ ) ${\displaystyle$ {\ $mathcal{R}=(<_1},\dots ,<_t})}}$ 을(를 ${\mathcal {R}}=(<_{1},\dots ,<_{t})$ 포셋 P = (X, <)_P라고 한다.

<_{P}=\bigcap {\mathcal {R}}

<_{P}=\bigcap {\mathcal {R}}

=

<_{P}=\bigcap {\mathcal {R}}

<_{P}=\bigcap {\mathcal {R}}

{\

{\

mathcal

{R

<_{P}=\bigcap {\mathcal {R}}

즉, X의 x와 _Py에 대해 x ₁< y, x ₂< y, x < y, ... 및 x _t< y를 정확히 말할 때.따라서 포셋 P의 치수에 대한 등가 정의는 "P의 실재자의 최소 카디널리티"이다.

선형 확장의 비어 있지 않은 패밀리 R은 P의 모든 임계 쌍(x,y)에 대해 R의 어떤 순서 _i<에 대해 y _i< x) x의 유한 부분 순서 집합 P의 실현자임을 보여줄 수 있다.

예

n을 양의 정수로 하고, p를 원소 a와_i b_i(1 i i n n의 경우)의 부분 순서로 삼되, i j j마다 b_i_j b를 나타내지만, 다른 쌍은 비교가 되지 않는다.특히 a와_i b는_i P에서 비교할 수 없을 정도로, P는 크라운 그래프의 지향적인 형태로 볼 수 있다.그림에는 n = 4에 대한 이 유형의 순서가 나와 있다.

그 다음, 각 i에 대해, 모든 실재자는 a를_i 제외한 모든 (일부 순서에서는)로_j 시작하고, 그_i 다음에 b를_i 포함하며, 나머지 b로_j 끝나는 선형 순서를 포함해야 한다.왜냐하면 만일 그러한 주문을 포함하지 않은 실재자가 있다면, 그 실재자의 주문의 교차점에는 선행_i b가_i 있을 것이고, 이것은 P에서 a와_i_i b의 비교가능성과 모순될 것이기 때문이다.그리고 반대로, 각 i에 대해 이 유형의 한 순서를 포함하는 선형 순서 계열은 교차점으로 P를 가진다.따라서 P는 정확히 n의 치수를 가지고 있다.실제로 P는 치수 n의 포셋의 표준 사례로 알려져 있으며, 보통 S로_n 표시된다.

주문 차원 2

주문 차원 2의 부분 주문은 비교가능성 그래프가 다른 부분 주문의 비교가능성 그래프를 보완하는 부분 주문으로 특징지어질 수 있다(베이커, 피시번 & 로버츠 1971)즉, P는 동일한 원소의 집합에 부분 순서 Q가 존재하는 경우에만, 즉 구별되는 원소의 모든 쌍 x, y가 이 두 부분 순서 중 하나에서 정확히 비교할 수 있는 부분 순서 차원 2를 갖는 부분 순서다.두 개의 선형 확장에 의해 P가 실현되는 경우, 두 개의 선형 확장 중 하나를 반대로 하여 P를 보완하는 부분 순서 Q가 실현될 수 있다.따라서 차원 2의 부분 순서에 대한 비교가능성 그래프는 정확히 순열 그래프, 즉 그 자체로 비교가능성 그래프와 비교가능성 그래프를 보완하는 그래프들이다.

순서 차원 2의 부분 순서는 직렬 병렬 부분 순서(Valdes, Tarjan & Lawler 1982)를 포함한다.이들은 정확히 하세 다이어그램에 우위 도면이 있는 부분 순서로서, 현실주의자의 두 순열에서 위치를 데카르트 좌표로 사용하여 얻을 수 있다.

계산 복잡성

예를 들어, 부분 순서의 비교가능성 그래프가 순열 그래프인지 시험함으로써, 주어진 유한 부분 순서의 집합에 최대 2개의 순서 차원이 있는지 여부를 다항 시간 내에 판단할 수 있다.단, 어떤 k ≥ 3의 경우, 주문 치수가 최대 k인지 시험하는 것은 NP 완성이다(Yannakakis 1982).

그래프의 입사 포지션

임의의 비방향 그래프 G의 발생 poset은 G의 정점과 가장자리를 그 요소로 가지고 있다. 이 poset에서 x = y 또는 x 중 하나가 정점일 경우 x y y, y는 에지, x는 y의 끝점일 경우 x y y이다.특정 종류의 그래프는 발생 위치의 순서 차원으로 특징지어질 수 있다. 그래프는 발생 위치의 순서 차원이 최대 2인 경우에 한해 경로 그래프로, 슈나이더의 정리에 따르면 발생 위치의 순서 차원이 최대 3인 경우에 한해 평면 그래프로 표시된다(Schynder 1989).

n 정점에 대한 전체 그래프의 경우, 발생 위치 집합의 순서 치수는 $\Theta (\log \log n)$ $\Theta (\log \log n)$ $\Theta (\log \log n)$ $\Theta (\log \log n)$ ) ${\displaystyle \Teta(\log \log n)}($ Hoestern & Morris 1999).따라서 모든 단순 n-vertex 그래프에는 순서 차원 $O(\log \log n)$ $O(\log \log n)$ $O(\log \log n)$ $O(\log \log n)$ ) ${\displaystyle O(\log \log$ n $)}$ 의 발생 위치 집합이 있다 $O(\log \log n)$

k-16과 2-16

치수의 일반화는 k-dimension(서면 ${\textrm {dim}}_{k}$ k ${\$ 의 개념으로, 부분 순서가 삽입될 수 있는 제품의 최대 k에서 길이의 최소 체인 수입니다.특히 주문의 2차원 크기는 이 세트의 포함 순서에 주문이 포함되도록 가장 작은 세트의 크기로 볼 수 있다.

참고 항목

간격 치수

참조

Baker, K. A.; Fishburn, P.; Roberts, F. S. (1971), "Partial orders of dimension 2", Networks, 2 (1): 11–28, doi:10.1002/net.3230020103.
Dushnik, Ben; Miller, E. W. (1941), "Partially ordered sets", American Journal of Mathematics, 63 (3): 600–610, doi:10.2307/2371374, hdl:10338.dmlcz/100377, JSTOR 2371374.
Hiraguti, Tosio (1955), "On the dimension of orders" (PDF), The Science Reports of the Kanazawa University, 4 (1): 1–20, MR 0077500.
Hoşten, Serkan; Morris, Walter D., Jr. (1999), "The order dimension of the complete graph", Discrete Mathematics, 201 (1–3): 133–139, doi:10.1016/S0012-365X(98)00315-X, MR 1687882.
Milner, E. C.; Pouzet, M. (1990), "A note on the dimension of a poset", Order, 7 (1): 101–102, doi:10.1007/BF00383178, MR 1086132, S2CID 123485792.
Schnyder, W. (1989), "Planar graphs and poset dimension", Order, 5 (4): 323–343, doi:10.1007/BF00353652, S2CID 122785359.
Trotter, William T. (1992), Combinatorics and partially ordered sets: Dimension theory, Johns Hopkins Series in the Mathematical Sciences, The Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-4425-6.
Valdes, Jacobo; Tarjan, Robert E.; Lawler, Eugene L. (1982), "The recognition of series parallel digraphs", SIAM Journal on Computing, 11 (2): 298–313, doi:10.1137/0211023.
Yannakakis, Mihalis (1982), "The complexity of the partial order dimension problem", SIAM Journal on Algebraic and Discrete Methods, 3 (3): 351–358, doi:10.1137/0603036.

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