슈퍼 오퍼레이터

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물리학에서 슈퍼 오퍼레이터는 선형 오퍼레이터의 벡터 공간에 작용하는 선형 오퍼레이터다.^[1]

때때로 이 용어는 논쟁의 흔적을 보존하거나 증가시키지 않는 완전히 긍정적인 지도를 더 특별히 언급한다.이러한 전문적 의미는 밀도 행렬 사이의 매핑을 특징짓기 때문에 양자 컴퓨팅, 특히 양자 프로그래밍 분야에서 광범위하게 사용된다.

여기서의 초접두사의 사용은 수학물리학에서의 그것의 다른 사용과는 결코 관련이 없다.즉, 수퍼 오퍼레이터는 그래스만 숫자를 포함하도록 숫자의 고리를 확장함으로써 정의되는 일반적인 수학 개념의 확장인 초대칭 및 초거브라와 아무런 관계가 없다.슈퍼 오퍼레이터는 그 자체가 오퍼레이터이기 때문에 슈퍼 프리픽스를 사용하여 그들이 행동하는 오퍼레이터와 구별한다.

왼쪽/오른쪽 곱하기

$L{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle A}$) [${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {\$mathcal {\$l}(A$)[rho $]=$에 의한 좌우 곱셈 수퍼 오퍼레이터 정의$A\rho }$과 R${\displaystyle }$(${\displaystyle A}$) [${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle \rho }$ A ${\displaystyle {\mathcal{R}(A)[\rho ]=\rho A}$ 각각은 정류자를$$ 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle [A,\rho ]={\mathcal {L}(A)[\rho ]-{\mathcal {R}(A)[\rho ]].}$

다음에는 매핑인$$ 매트릭스 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$을(를) 벡터링하십시오.

$\displaystyle \rho =\sum \i,j}\rho \langle j \to \rho \langle \rangle =\to \to \to \to \sum \i,j}ij} i\rangele \time jangle ,}$

여기서 ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle ⟩}$ {\$displaystyle \cdot \rangele }$은 Fock-Liouville 공간의 벡터를 의미한다$$.$그런{\displaystyle \mathcal{}}$ 다음 동일한 ${\displaystyle \mathrm{매핑}}$을 사용하여 L$$($$A ) {\$displaystyle {\mathcal {$L}(A$)}$의 행렬 표현을 계산한다$$.

${\displaystyle A\rho =\sum _{i,j}\rho _{ij}A i\rangle \langle j \to \sum _{i,j}\rho _{ij}(A i\rangle )\otimes j\rangle =\sum _{i,j}\rho _{ij}(A\otimes I)( i\rangle \otimes j\rangle )=(A\otimes I) \rho \rangle \rangle ={\mathcal {L}}(A)[\rho ],}$

${\displaystyle L}$( A${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \otimes }$ I ${\displaystyle {\mathcal{L}(A)=$임을 나타냄$A\otimes I$ 비슷하게 $R{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle I}$⊗ ${\displaystyle A^{}}$ T${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\mathcal{R}(A)=(I\otimotimes$ A$^{)$$T$ 이러한 표현을 통해 우리는 슈퍼 오퍼레이터와 관련된 고유값과 같은 것들을 계산할 수 있다.이러한 고유값은 특히 린드블라드 슈퍼오퍼레이터의 고유값의 실제 부분이 양자 시스템의 이완 여부를 나타내는 개방형 양자 시스템 분야에서 유용하다.

폰 노이만 방정식 예

In quantum mechanics the Schrödinger Equation, ${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi }$ expresses the time evolution of the state vector ${\displaystyle \psi }$ by the action of the Hamiltonian ${\displaystyle {\hat {H}}}$ which is an operator mapping상태 벡터 - 상태 벡터

John von Neumann의 보다 일반적인 공식화에서 통계적 상태와 앙상블은 상태 벡터보다는 밀도 연산자에 의해 표현된다.이러한 맥락에서 밀도 연산자의 $시간{\displaystyle \mathcal{}}$ 진화는 슈퍼 오퍼레이터 H ${\$이(가) 연산자에 의해 작용하는 폰 노이만 방정식을 통해 표현된다.해밀턴 연산자와 관련하여 정류자를 지정하여 정의한다.

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}\rho = {\mathcal {H}[\rho ]}$

어디에

${\displaystyle {\mathcal {H}[\rho ]=[{\hat {H},\rho ]\equiv {\hat {H}\rho -\rho {\hat {H}}}}$

정류자 브래킷은 QM에서 광범위하게 사용되므로 해밀턴의 작용에 대한 명시적인 슈퍼 오퍼레이터 프레젠테이션은 일반적으로 생략된다.

연산자공간에 대한 함수의 파생상품의 예

입자의 양자역학적 해밀턴안을 위치 및 운동 연산자의 함수로 정의할 때와 같이$$ 연산자 $H{\displaystyle \hat{}}$= ${\displaystyle H\stackrel{}{}^}$ (${\displaystyle P\stackrel{}{}}$ $){\displaystyle {\hat{H$}}{\$hat{P}}}}$의 연산자 가치 함수를 고려할 때, 우리는 (어떤 이유로든) " 연산자 파생상품"을 정의할 수 있다.${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{}}$ ${\displaystyle \frac{H\stackrel{}{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\stackrel{}{^}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\Delta }{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \frac{P\stackrel{}{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\stackrel{}{^}}{}}$ ${\$delta {\H}{\$Delta {\hat$ {P$}}}}}$초호호호호호호호호호호호환자로 연산자를 연산자에 매핑한다$$.

예를 들어, $H{\displaystyle }$ (${\displaystyle P}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {P\mathrm{}}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle H(P)=$인 경우$P^{3}=PPP}$ 그러면$$ 그 연산자 파생상품은 다음에 의해 정의된 슈퍼 오퍼레이터가 된다.

${\displaystyle {\frac {\Delta H}{\Delta P}[X]=XP^{2}+PXP+P^{2}X}$

이 "운영자 파생상품"은 단순히 (운영자의) 함수의 자코비안 매트릭스로서, 운영자의 입력과 출력을 벡터로 취급하고, 어떤 근거에서는 운영자의 공간을 확장한다.그러면 제이콥의 행렬은 그 벡터 공간에 작용하는 연산자(한 가지 더 높은 수준의 추상화)가 된다.

참고 항목

린드블라드 슈퍼 오퍼레이터

참조