역수 다항식

대수학에서는 다항식(다항식)이 주어진다.

p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}}}

임의 필드의 계수를 사용하여 p $또는 *$ $p$ 로^R 표시된 ^[1]^[2]역수 다항식 또는 반사 다항식은 다항식이다^[3].^[2]^[1]

p^{*(x)=a_{n}+a_{n-1}x+\cdots +a_{0}x^{n}=x^{n}p(x^{-1})

즉, $p$ 의^∗ 계수는 역순으로 $p$ 의 계수다.그것들은 행렬의 역행성의 특성 다항식으로서 선형대수학에서 자연적으로 발생한다.

필드가 복잡한 숫자인 특별한 경우, 다음과 같은 경우

p(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{n}z^{n}}}}

$p$ 로^† 표시된, 공칭 역수 다항식은 다음에 의해 정의된다.

p^{\line{a_{n}}}={\overline {a_{n:1}}z+\cdots +{\overline{a_{0}}}z^{n}}=z^{n}{\overline {p\\}}}}}}}}}}{z^{}-1},},},},},

여기서 $'{\$ {a_ ${$ $i}}}$ 는 i {\ $displaystyle$ a_ ${i$ 의 복잡한 결합을 나타내며 ${\overline {a_{i}}}$ , 혼동이 일어날 수 없을 때 역다항식이라고도 한다.

$p$ ( $x)$ = $p * (x$ ) = p(x)이면 다항식 $p$ 를 self-reciprocal 또는 palindromic이라고 한다 $.$ 자가 회수 다항식의 계수는 모든 $i$ 에 $대해 i$ a = $a$ 를_n−i 만족한다.결합 역수 사례에서 계수는 조건을 만족시키기 위해 실제여야 한다.

특성.

역수 다항식에는 다음과 같은 원래 다항식과의 여러 연결이 있다.

$deg p = deg p *$
$p (x) = x n p * (x -1)$ ^[2]
$α$ 는⁻¹ $다항 *$ $p$ 의 뿌리일 경우에만 p의 뿌리다.^[4]
$p (x)$ ≠ $x$ 인 경우 $p$ 는 $p$ 가^∗ reduccessible인 경우에만 rereduccessible이다.^[5]
$p$ 는 만약 $p$ 가^∗ 원시적인 경우에만 원시적인 것이다.^[4]

예를 들어, 역수 다항식의 다른 특성을 얻을 수 있다.

홀수도의 자기역할 다항식은 분할할 수 있는 par x+1이므로, 그 정도가 1보다 크면 변경할 수 없다.

팔린드로믹 및 반팔린드로믹 다항식

자기역할 다항식은 다항식이 상승력이나 하강력 순서로 작성될 때 그 계수가 구역을 형성하기 때문에 팔린드로믹이라고도 한다.즉, 만약

P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}}}

$a i$ = $a n - i$ = $i$ = $0,$ 1, $... n$ 의 경우 $p$ 는 palindromic이고 일부 저자는 palindromic과 역수를 서로 바꾸어 사용한다.

마찬가지로 도 $n$ 의 다항식 $P$ 는 $a i$ = $-a n - i$ for $i$ = $0,$ 1, $... n,$ n이면 반항문이라고 한다. 즉 $P (x) =$ – $P * (x$ )이면 다항문 $P$ 가 반항문이다 $.$

예

이항 계수의 속성에서 다항식 $P (x)$ = $(x$ + 1)는 $n$ 모든 양의 정수 $n$ 에 대해 팔린드로믹한 반면 다항식 $Q (x) =$ ( $x - n$ 1)는 짝수일 때는 팔린드로믹이고 $n$ 이 홀수일 때는 반팔린드로믹한 것으로 나타난다.

팔린드로믹 다항식의 다른 예로는 사이클로토믹 다항식과 오일러 다항식이 있다.

특성.

$a$ 가 팔린드롬 또는 반팔민드롬인 다항식의 루트인 경우1/ $a$ 또한 뿌리로서 같은 다수를 가지고 있다.^[6]
그 반대는 다음과 같다. $만약$ 다항식이 a가 뿌리라면 1/ $a$ 또한 동일한 다항성의 뿌리인 경우, 다항식은 팔린드로믹 또는 반팔민드로믹이다.
모든 다항식 $q$ 의 경우, 다항식 $q$ + $q$ 는^∗ 팔린드로믹이고 $다항식$ $q *$ - q는 반격이다.
$q =$ ( $q$ + $q *)/2 +$ ( $q$ - $q *$ )/2 + (q - $q)/2$ 이기 때문에 모든 다항식 $q$ 는 팔린드로믹과 반격 다항식의 합으로 쓸 수 있다.^[7]
두 개의 팔린드로믹 또는 반팔린드로믹 다항식의 산물은 팔린드로믹이다.
팔린드로믹 다항식과 반팔로믹 다항식의 산물은 반팔로믹이다.
홀수도의 팔린드롬 다항식은 x + $1$ 의 배수(뿌리로 –1이 있음)이며, $x$ + $1$ 의 몫도 팔린드롬이다.
홀수 특성을 가진 $필드$ k에 대한 반소성 다항식은 $x$ – $1$ 의 배수(뿌리로 1을 가지고 있음)이며 x – $1$ 의 몫은 팔소성이다.
반소수 다항식은 $x 2$ – $1$ 의 배수(뿌리로 -1과 1이 있음)이며 x – $1$ 의² 몫은 팔소수다.
$p (x)$ 가 짝수 2d의 팔린드로믹 다항식인 경우 $p (x)$ = $xq d (x$ + $1$ / $x)$ (Durand 1961)와 같은 다항식 $q$ 가 있다.
$p (x)$ 가 홀수 특성을 가진 필드 $k$ 에 대해 짝수 2d의 단수 반수성 다항식인 경우, $p$ ( $x)$ = $x d (Q (x$ ) - $Q$ (1 $/ x))$ 로 고유하게 작성할 수 있다. 여기서 $Q$ 는 일정한 항이 없는 도 $d$ 의 단수 다항식이다.^[8]
반소립자 다항식 $P$ 가 홀수 특성을 가진 $필드$ k에 대해 $2n$ 을 갖는 경우, 그 "중간" 계수(힘 $n$ )는 $a n$ = $-a 2 n - n$ 이후 0이다.

실제 계수

실제 계수를 갖는 다항식은 복합 평면의 단위 원(즉, 모든 뿌리가 계수를 가지고 있음)에 있는 복합적인 뿌리가 모두 원 위에 놓여 있는 다항식은 팔린드롬이거나 반팔린드롬이다.^[9]

결합 역수 다항식

$다항식$ 은 p $p(x) \equiv p^{\dagger}(x)$ $p(x)\equiv p^{\dagger }(x)$ ( $p(x)\equiv p^{\dagger }(x)$ ) $p(x)\equiv p^{\dagger }(x)$ † $p(x)\equiv p^{\dagger }(x)$ $p(x)\equiv p^{\dagger }(x)$ ( $p(x)\equiv p^{\dagger }(x)$ x ) { † { $p(x)\equiv p^{\dagger }(x)$ { \ $displaystyle p($ ^[10]x)\ $equiv$ p^{\ $dager }}}}},$ $p(x)=\omega p^{\dagger }(x)$ ( $p(x)=\omega p^{\dagger }(x)$ ) = $p(x)=\omega p^{\dagger }(x)$ p $p(x)=\omega p^{\dagger }(x)$ ( $p(x)=\omega p^{\dagger }(x)$ ) $p(x)=\omega p^{\dagger }(x)$ {\ $displaysty p(x)=\omega$ p $^{\dager }}}.$

$p (z)$ 가 $z 00$ = 1 $,$ z ≠ $1인 0$ z의 최소 다항식이고 p $(z)$ 가 실제 계수를 갖는 경우 p $(z)$ 는 자체 회수형이다.때문에 이런 일이 뒤따른다.

z_{0}^{n}{n}{\overline {p(1/{\bar {z_{0}}}}}}}}}=z_{0}}}}}{0}^{0}}}}=0}}}}}}{0}=0}=0.

so $z$ 는₀ $n도$ 가 $z^{n}{\overline {p({\bar {z}}^{-1})}}$ 다항식 $z^{n}{\overline {p({\bar {z}}^{-1})}}$ p $z^{n}{\overline {p({\bar {z}}^{-1})}}$ - $){\$ 의 루트다 $z^{n}{\overline {p({\bar {z}}^{-1})}}$ .그러나 최소 다항식은 독특하다.

cp(z)=z^{n}{\overline {p({\bar{z}^{-1}}}

일부 상수 $c$ 의 $ca_{i}={\overline {a_{n-i}}}=a_{n-i}$ , 즉 $ca_{i}={\overline {a_{n-i}}}=a_{n-i}$ $ca_{i}={\overline {a_{n-i}}}=a_{n-i}$ = $ca_{i}={\overline {a_{n-i}}}=a_{n-i}$ - i $ca_{i}={\overline {a_{n-i}}}=a_{n-i}$ = $ca_{i}={\overline {a_{n-i}}}=a_{n-i}$ - $ca_{i}={\overline {a_{n-i}}}=a_{n-i}$ ${\$ n-i}}= $a_$ { $n-i$ i = $0$ 에서 $n$ 까지의 합은 $p$ 의 루트가 아니라는 점에 유의한다. $우리$ 는c = $1$ 로 결론짓는다.

$그$ 결과 사이클로토믹 다항식 $Ⅱ$ 는_n n > $1$ 에 대해 자가호환성인 것이다.이것은 특수수장 체에서 각 도 5, 6, 4, 6의 다항식을 사용하여 대수 인자를 이용하여 $x 11$ ± 1 $,$ $x$ ± 1 $, x 13 15$ ± $1$ , $x 21$ ± 1 $형식$ 의 숫자를 인수할 수 있도록 하기 위해 사용된다 – $φ$ (Uler의 토텐 함수)^{[citation needed]}는 10, 12, 8 및 12이다.

Cohn의 정리대로라면 자기반복 다항식은 그 파생상품의 역 다항식만큼 단위 $\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}$ 디스크 $\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}$ { $\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}$ : $\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}$ $\{z\in \mathb{C$ : z $<1\}}}}}$ 에 많은 뿌리를 두고 있다.^[11]^[12]

코딩 이론에서의 적용

역수 다항식은 주기 오류 수정 코드 이론에서 용도를 찾는다. $x n$ - $1$ 을 두 다항식의 곱에 인수할 수 있다고 가정하자( $예 n$ : x - $1$ = $g (x) p (x)).$ $g (x)$ 가 순환 코드 $C$ 를 생성하면, 역수 다항식 $p$ 는^∗ $C$ 의 직교 보완인 $C$ 를^⊥ 생성한다.^[13]또한, p가 $*$ $g (x$ )를 나누는 경우에만 $C$ 는 자기 직교( $즉$ , C ⊆ $C ⊥$ )이다 $.$ ^[14]

참고 항목

쿤의 정리

메모들

^ ^a ^b *Graham, Ronald; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). Concrete mathematics : a foundation for computer science (Second ed.). Reading, Mass: Addison-Wesley. p. 340. ISBN 978-0201558029.
^ ^a ^b ^c Aigner, Martin (2007). A course in enumeration. Berlin New York: Springer. p. 94. ISBN 978-3540390329.
^ 1995년 로마서 37페이지
^ ^a ^b 페스 1990, 페이지 57
^ 1995년 로마서 37페이지
^ 1990년, 57페이지, 팔린드로믹 케이스만 해당
^ Stein, Jonathan Y. (2000), Digital Signal Processing: A Computer Science Perspective, Wiley Interscience, p. 384, ISBN 9780471295464
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^ Markovsky, Ivan; Rao, Shodhan (2008), "Palindromic polynomials, time-reversible systems and conserved quantities" (PDF), Control and Automation: 125–130, doi:10.1109/MED.2008.4602018, ISBN 978-1-4244-2504-4
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^ 플레스 1990, 페이지 75, 정리 48
^ 플레스 1990, 페이지 77, 정리 51

참조

Pless, Vera (1990), Introduction to the Theory of Error Correcting Codes (2nd ed.), New York: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-61884-5
Roman, Steven (1995), Field Theory, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94408-7
Emile Durand (1961) Solutions numérikes des équations algrébrique I, Masson et Cie: XV - polynmes don't les 계수 symétrique ou antiismétrique, 페이지 140-141

외부 링크

"The Fundamental Theorem for Palindromic Polynomials". MathPages.com.
역수 다항식(MathWorld)

[concrete-1] *Graham, Ronald; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). Concrete mathematics : a foundation for computer science (Second ed.). Reading, Mass: Addison-Wesley. p. 340. ISBN 978-0201558029.

[Aigner-2] Aigner, Martin (2007). A course in enumeration. Berlin New York: Springer. p. 94. ISBN 978-3540390329.

[3] 1995년 로마서 37페이지

[Pless_1990_loc=pg._57-4] 페스 1990, 페이지 57

[Roman_1995_loc=_pg._37-5] 1995년 로마서 37페이지

[6] 1990년, 57페이지, 팔린드로믹 케이스만 해당

[7] Stein, Jonathan Y. (2000), Digital Signal Processing: A Computer Science Perspective, Wiley Interscience, p. 384, ISBN 9780471295464

[8] Katz, Nicholas M. (2012), Convolution and Equidistribution : Sato-Tate Theorems for Finite Field Mellin Transformations, Princeton University Press, p. 146, ISBN 9780691153315

[9] Markovsky, Ivan; Rao, Shodhan (2008), "Palindromic polynomials, time-reversible systems and conserved quantities" (PDF), Control and Automation: 125–130, doi:10.1109/MED.2008.4602018, ISBN 978-1-4244-2504-4

[SV08-10] Sinclair, Christopher D.; Vaaler, Jeffrey D. (2008). "Self-inversive polynomials with all zeros on the unit circle". In McKee, James; Smyth, C. J. (eds.). Number theory and polynomials. Proceedings of the workshop, Bristol, UK, April 3–7, 2006. London Mathematical Society Lecture Note Series. Vol. 352. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 312–321. ISBN 978-0-521-71467-9. Zbl 1334.11017.

[11] Ancochea, Germán (1953). "Zeros of self-inversive polynomials". Proceedings of the American Mathematical Society. 4 (6): 900–902. doi:10.1090/S0002-9939-1953-0058748-8. ISSN 0002-9939.

[12] Bonsall, F. F.; Marden, Morris (1952). "Zeros of self-inversive polynomials". Proceedings of the American Mathematical Society. 3 (3): 471–475. doi:10.1090/S0002-9939-1952-0047828-8. ISSN 0002-9939.

[13] 플레스 1990, 페이지 75, 정리 48

[14] 플레스 1990, 페이지 77, 정리 51

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