폰 노이만-모겐스터른 효용 정리

결정 이론에서, 폰 노이만-모겐스터른 (VNM) 효용 정리는 이성적 행동의 특정한 공리하에서, 다른 선택의 위험(확률론적) 결과에 직면하는 의사결정자는 마치 미래의 특정 시점에서 잠재적 결과에 대해 정의된 일부 기능의 기대치를 최대화하는 것처럼 행동할 것이라는 것을 보여준다. 미래. 이 함수는 폰 노이만-모겐스턴 효용 함수로 알려져 있다. 그 정리는 기대 효용 이론의 기초가 된다.

1947년, 존 폰 노이만과 오스카 모겐스턴은 4개의 공리를 만족시키는 개인 선호가 효용 함수를 가지고 있다는 것을 증명했다;^[1] 그러한 개인의 선호는 간격 척도로 나타낼 수 있고 개인은 항상 기대 효용을 최대화하는 행동을 선호할 것이다. 즉, 가능한 결과에 의해 정의되는 실제 값 함수 u가 존재하는 경우에만 에이전트가 (VNM-)합리적이라는 것을 증명하여, 에이전트의 모든 선호도는 u의 기대값을 최대화하는 것으로 특징지어지며, 이는 에이전트의 VNM-유틸리티로 정의될 수 있다(상수를 추가하고 포시티를 곱하는 것만으로 고유함).수염의 주검 에이전트가 u를 최대화하려는 "의식적인 욕구"를 가지고 있다는 주장은 없고, u가 존재한다는 것뿐이다.

기대 효용 가설은 합리성을 기대값을 최대화하는 것으로 모델링할 수 있다는 것으로, 정리를 통해 "합리성은 VNM-합리성"으로 요약할 수 있다. 그러나 공리 자체는 여러 가지 근거로 비판되어 공리 자체에 추가적인 명분이 주어지게 되었다.^[2]

VNM-유틸리티는 의사결정 선호도를 설명하기 위해 사용된다는 점에서 의사결정 효용이다. 그것은 벤담의 가장 큰 행복 원리와 같은 행복을 측정하기 위한 효용 개념인 소위 E-유틸리티^[3](E-Utilities)와 관련이 있지만 동등하지는 않다.

셋업

정리에서 개별 대리인은 복권이라는 옵션에 직면한다. 일부 상호 배타적인 결과를 감안할 때, 복권은 주어진 확률로 각각의 결과가 발생할 수 있는 시나리오로, 모든 확률은 1에 이른다. 예를 들어, 두 결과 A와 B의 경우,

${\displaystyle L=0.25A+0.75B}$

P(A) = 25%가 A 발생 확률이고 P(B) = 75%(그리고 정확히 그 중 하나가 발생할 것이라는 시나리오를 나타낸다. 더 일반적으로, 가능한 결과 A가_i 많은 복권의 경우, 우리는 다음과 같이 쓴다.

$L=\sum p_{i}A_{i}}$

$p{\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 합은 1과 같다.

복권의 결과는 그 자체로 다른 결과 간의 복권이 될 수 있으며, 확장된 표현은 0.5(0.5A + 0.5)와 동등한 복권으로 간주된다.B) + 0.5C = 0.25A + 0.25B + 0.50C.

만약 복권 아주 복권 나는 기분보다 더 선호된다. 만약 대리인이 L과 M사이에 무관심하다는 M에 또한 혹은 무관심하여 보L에 비해 선호된다, 우리는 L번 국도다.{L\sim M.\displaystyle}relation[4]은 무관심을 쓴다면, 우리는 w. L≺ M{L\prec M\displaystyle}, 또는 동등하게, M≻ 나는{\displaystyle M\succ L}를 쓰rite $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⪯}$ ${\displaystyle M}$. ${\displaystyle L\preceq M.}$

공리

VNM-합리성의 네 가지 공리는 그때 완전성, 전이성, 연속성, 독립성이다.

완전성은 개인이 선호를 잘 정의하고 있다고 가정한다.

Axiom 1 (완전성) 모든 복권 L,M에 대해 다음 중 정확히 한 가지 복권이 유지된다.

${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \,L\prec M$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \,M\prec L}$또는 ${\displaystyle L}$ ~${\displaystyle }$M ${\displaystyle \,L\sim M}$

(M을 선호하거나, L을 선호하거나, 개인은^[5] 무관심하다.)

Transitability는 선호도가 다음 세 가지 옵션에서 일관된다고 가정한다.

Axiom 2 (Transitity) ${\displaystyle L}${ ${\displaystyle M}${\$displaystyle$\,$L\prec M$$}$ ${\displaystyle 및}$ M${\displaystyle n}$ N$${\$displaystyle$\,$M\prec$N$\},$ ${\displaystyle L}$n N$${\$displaysty$$$\,$L\$$prec$ $N$$\},$ 그리고${\displaystyle }$~에$$대해서도 $유사$하게 된다.

연속성은 주어진 중간 옵션보다 나은 것과 나쁜 것 사이에 "티핑 포인트"가 있다고 가정한다.

Axiom 3(연속): ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle ⪯}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle ⪯}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \,L\preceq M\preceq$ N$\}$인 경우, 다음과 같은 확률$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \in }$[${\displaystyle 0}$, 1 ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \,p\in [0,1]$이 있다.

${\displaystyle \,pL+(1-p)N\,\sim \,M}$

여기서 왼쪽의 표기법은 확률 p로 L을 받고 확률(1~p)으로 N을 받는 상황을 말한다.

연속성 대신 아르키메데스 속성이라 불리는 정확한 평등을 수반하지 않는 대체 공리를 가정할 수 있다.^[4] 그것은 선호도의 분리가 확률의 충분히 작은 편차 하에서 유지될 수 있다고 말한다.

Axiom 3′(Archimedeans 속성): ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \,L\prec M\prec N$인 경우 다음과 같은 확률$$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle (0}$ ${\displaystyle ,1}$ )${\displaystyle \,\varepsilon \in (0,1$)이 있다$.$

$[\displaystyle \, (1-\barepsilon )L+\varepsilon N\,\prec \,m\,\prec \,\varepsilon L+(1-\barepsilon )N.}$

(3) 또는 (3) 중 하나만 가정하면 되고, 다른 하나는 정리에 의해 암시될 것이다.

관련 없는 대안의 독립성은 선호도가 다른 결과의 가능성과 독립적으로 유지된다고 가정한다.

Axiom 4(독립): ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \,N}$ 및$$ ${\displaystyle p\in (0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \,p\in (0,1])$의 경우$,$

${\displaystyle \,L\preceq M\qquad {\text{iff}}\qquad pL+(1-p)N\preceq pM+(1-p)N.}$

독립 공리는 복합 복권 축소에 대한 공리를 암시한다.^[6]

Axiom 4′(복합 복권의 축소): 모든 복권 $L{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \prime ,}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle {}^{}}$, N${\displaystyle {}^{}}$, ${\$${\displaystyle }$및$$ $p{\displaystyle }$ , ${\displaystyle q}$[${\displaystyle 0,1}$ {\$displaystyle p,q\in [0,1$

${\displaystyle {\text{if}\qquad L\sim qL'+(1-q)N'),}$

${\displaystyle {\text{}}\quad pL+(1-p)N\sim pqL'+p'+N'+(1-p)N.}$

Axiom 4가 Axiom 4'를 어떻게 의미하는지 보려면 $Axiom{\displaystyle }$ 4의 표현식에서$$ M${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ L${\displaystyle {}^{}}$′${\displaystyle }$+${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle q}$) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$을 설정하고 확장하십시오.

정리

모든 VNM-합리화 에이전트(즉, 공리 1–4 충족)에 대해 각 결과 A에 실제 숫자 u(A)를 할당하는 함수 u가 존재하며, 이는 두 개의 로또에 대해,

$\displaystyle L\prec M\qquad \mathrm {if\,and\, only\,if} \qquad E(u(L)<E(M)),}$

여기서 E(U(L) 또는 보다 간략하게 Eu(L)는

${\displaystyle Eu(p_{1}A_{1}+\cdots +p_{n}A_{n}=p_{1}u(A_{1})+\cdots +p_{n}u(A_{n}).}$

이와 같이 u는 (상수를 추가하고 양수 스칼라를 곱하는 것까지) 단순 복권 사이의 선호도에 의해 고유하게 결정될 수 있는데, 이는 pA + (1 - p)B 형식의 선호도가 두 가지 결과만 있다는 것을 의미한다. 반대로 함수 u의 기대를 최대화하기 위해 행동하는 모든 에이전트는 공리 1-4를 준수할 것이다. 이러한 기능을 에이전트 폰 노이만-모겐스턴(VNM) 유틸리티라고 한다.

교정 스케치

그 증거는 건설적이다: 원하는 기능 ${\displaystyle u}$이(가) 어떻게 구축될$$ 수 있는지를 보여준다. 여기서는 확실한 결과의 수가 유한한 경우에 대한 구성 과정을 개략적으로 설명한다.^{[7]: 132–134}

확실하지 않은 결과가 ${\displaystyle {있다고\mathrm{}}_{}}$ 가정합시다. A 1${\displaystyle {}_{}}$… A ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ 모든 확실한 결과는 복권으로 볼 수 있다는 점에 유의하십시오. 이 복권은 확률 1로 결과를 선택하는 퇴보 복권입니다. 따라서 완전성과 전이성 공리에 의해 최악의 결과부터 최상의 결과까지 주문할 수 있다.

${\displaystyle A_{1}\preceq A_{2}\preceq \cdots \preceq A_{n}}}$

우리는 불평등 중 적어도 하나가 엄격하다고 가정한다(그렇지 않으면 효용 함수는 사소한 것이다. 상수. $그래서{\displaystyle {}_{}}$ A ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\$ 우리는 이 두 가지 극단적인 결과, 즉 최악과 최고를 효용 함수의 스케일링 단위로 사용하고, 다음을 정의한다.

${\displaystyle u(}$ ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle u(A_{1})=0}$ 및$$ $u{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= 1 ${\displaystyle u(A_{n})=1$}

모든 확률 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$[ 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle p\in [0,1]$에 대해$,$ $확률{\displaystyle }$ p$${\$displaystyle p}$과(와) 그렇지 않으면 최악의 결과를 선택하는 추첨을 정의한다.

${\displaystyle L(p)=p\cdot A_{n}+(1-p)\cdot A_{1}:{1}$

$L{\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$~ ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$및$$ $L{\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$ )${\displaystyle }$~ ${\displaystyle A_{}}$ ${\$(1$)\sim A_{n}$에 유의하십시오$.$

연속성 공리에 의해, 모든 ${\displaystyle {확실}_{}}$한 결과 $A{\displaystyle {}_{}}$ i ${\$에$$대해 다음과 같은$$ 확률 Q ${\displaystyle i_{}}$ ${\$가 있다.

${\displaystyle L(q_{i})\심 A_{i}}$

그리고

${\displaystyle 0=q_{1}\leq q_{2}\leq \cdots \leq _{n}=1}$

모든 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$에 대해 결과 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 대한 유틸리티 함수는 다음과 같이 정의된다$.$

${\displaystyle u(A_{i}=q_{i}}}$

따라서 모든 복권 $M$의 효용 =${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ ${\displaystyle i_{}}$ i ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ M$=\sum _{i}p_{i}}$$A_{i}}$는 u의 기대치 입니다.

${\displaystyle u(M)=u\left(\sum _{i}p_{i}}A_{i}\오른쪽)=\sum _{i}p_{i}u(A_{i})=\sum _{i}p_{i}q_{i}}}}}}$

이 유틸리티 기능이 적절한 이유를 확인하려면 복권 $M{\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$를 고려하십시오.$A_{i}}$, which selects outcome ${\displaystyle A_{i}}$ with probability ${\displaystyle p_{i}}$. But, by our assumption, the decision maker is indifferent between the sure outcome ${\displaystyle A_{i}}$ and the lottery ${\displaystyle q_{i}\cdot A_{n}+(1-$$q_{i}\cdot A_{1}.$ 따라서$$환원 공리에 의해 그는 복권 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$과 다음 복권 사이에 무관심하다.

${\displaystyle M'=\sum _{i}[q_{i}\cdot A_{n}+(1-q_{i})\cdot A_{1}]}$

${\displaystyle M'=\left(\sum _{i}p_{i}q_{i}\right)\cdot A_{n}+\reft(\sum _{i}{i}\ri}\right)\cdot A_{1}:{1}$

${\displaystyle M'=u(M)\cdot A_{n}+(1-u(M)\cdot A_{1}}$

복권 $M{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$은 사실상 최고의 결과가 확률 $u{\displaystyle (M)}$ ${\displaystyle u(M)}$과$($와)로 당첨되는 복권이며$$, 그렇지 않으면 최악의 결과가 된다.

따라서, 만약 (M ) > ( ${\displaystyle u(M)_u$(L$)}$이가) 있다면, 합리적인 의사결정자는 로또 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$보다 로또 $M{\displaystyle }$ ${\displaystytle M}$을 선호할 것이다$.$ 왜냐하면 그것은 그에게 최상의 결과를 얻을 수 있는 더 큰 기회를 주기 때문이다.

따라서 다음과 같다.

${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle M}$ ${\$ M$\;}($ 해당) E )< $M$

반응

폰 노이만과 모르겐스턴은 그들의 결론의 힘에 놀라움을 기대했다. 그러나 이들에 따르면, 그들의 효용 기능이 작용하는 이유는, 이 기능이 기대치가 극대화되는 어떤 것의 역할을 정확히 채우기 위해 구성되었기 때문이라고 한다.

그는 "많은 경제학자들이 우리가 너무 많은 것을 가정하고 있다고 생각할 것" 우리가 너무 많은 것을 보여주지 않았는가? … 우리가 볼 수 있는 한, 우리의 가설은 그럴듯하다. 우리는 사실상 수학적 기대의 미적분이 정당한 것으로 수학적 효용을 정의했다." – VNM 1953, § 3.1.1 페이지 16 및 § 3.7.1 페이지 28^[1]

따라서 정리의 내용은 u의 건설이 가능하다는 것이며, 그 성격에 대해서는 거의 주장하지 않는다.

결과들

위험 회피 자동 고려

현실 세계의 도박에 직면한 사람이 달러 자산의 기대 가치를 극대화하기 위해 행동하지 않는 경우가 종종 있다. 예를 들어 저축액이 1000달러밖에 없는 사람은 비록 10,000달러가 당첨될 확률이 20%에 달하더라도 모든 위험을 감수하기를 꺼릴 수 있다.

${\displaystyle 20\%(\$10\000)+80\%(\$0)=\$2000]100\%(\$1000)}$

그러나, 만약 그 사람이 VNM-합리적이라면, 그러한 사실은 그들의 효용 함수 u에서 자동으로 설명된다. 이 예에서는 다음과 같이 결론을 내릴 수 있다.

${\displaystyle 20\%u(\$10\000)+80\%u(\$0)<u(\$1000)}$

여기서 달러 금액은 실제로 결과(cf)를 나타낸다. "가치"), 개인이 직면할 수 있는 세 가지 가능한 상황. 특히 u는 VNM-합리성과 전혀 모순되지 않고 u(1달러)+u(1달러) ( u(2달러)와 같은 속성을 나타낼 수 있다. 이것은 통화위험회피의 양적 이론으로 이어진다.

기대 효용 가설에 대한 의미

1738년 다니엘 베르누이는 이성적인 행동이 특히 화폐가치가 필요하지 않은 함수 u의 기대를 극대화하는 것으로 묘사될 수 있다고 주장하는 논문을^[8] 발표하여 위험 혐오에 대해 설명하였다. 이것은 기대 효용 가설이다. 언급했듯이, 그 가설은 대담한 주장으로 보일 수도 있다. 기대 효용 정리의 목적은 기대 효용 가설이 언제 유지되는지 기술하는 "변형 조건"(즉, 공리)을 제공하는 데 있으며, 이는 직접적이고 직관적으로 평가할 수 있다.

"공리는 너무 많으면 안 되고, 그 시스템은 가능한 간단하고 투명해야 하며, 각 공리는 그 타당성을 직접 판단할 수 있는 즉각적인 직관적 의미를 가져야 한다. 우리와 같은 상황에서는 모호함에도 불구하고, 이 마지막 요건이 특히 중요하다. 즉, 우리는 직관적인 개념을 수학적 처리에 적합하게 만들고, 이것이 어떤 가설을 필요로 하는지를 가능한 한 명확히 하고 싶다." – VNM 1953 § 3.5.2, 페이지 25^[1]

이와 같이, 기대 효용 가설이 합리성을 특징 짓지 않는다는 주장은 반드시 VNM 공리 중 하나를 거부해야 한다. 다양한 일반화된 기대 효용 이론이 생겨났고, 그 대부분은 독립 공리를 떨어뜨리거나 완화시킨다.

윤리와 도덕철학에 대한 함의

그 정리는 도박의 가능한 결과의 본질에 대해 아무것도 가정하지 않기 때문에, 그것들은 도덕적으로 중요한 사건이 될 수 있다. 예를 들어, 다른 사람들의 생명, 죽음, 질병 또는 건강과 관련된 것이다. 폰 노이만-모겐스터른 이성적 대리인은 그러한 사건에 대해 큰 관심을 갖고 행동할 수 있으며, 많은 개인적 재산이나 행복을 희생시킬 수 있으며, 이러한 모든 행동은 대리인의 VNM-유틸리티 기능의 구성/정의에 영향을 미칠 것이다. 즉, 자연적으로 "개인적인 이득"으로 인식되는 것과 자연적으로 "알트루즘"으로 인식되는 것 둘 다 VNM-합리적인 개인의 VNM-유틸리티 기능에서 암묵적으로 균형을 이루고 있다. 따라서 에이전트 중립적 행동에 초점을 맞춘 모든 범위의 에이전트 중심 동작은 다양한 VNM 유틸리티 기능을^{[clarification needed]} 통해 가능하다.

If the utility of ${\displaystyle N}$ is ${\displaystyle pM}$, a von Neumann–Morgenstern rational agent must be indifferent between ${\displaystyle 1N}$ and ${\displaystyle pM+(1-p)0}$. An agent-focused von Neumann–Morgenstern rational agent therefore cannot favor more equal, or "fair", distributi가능한 미래의 자신들 사이의 유용한 일들

다른 개념의 효용과는 구별됨

일부 공리주의적 도덕 이론은 수집가의 "총효용"과 "평균효용"이라고 불리는 양에 대해 관심을 가지며, 자신의 효용이나 행복을 무시한 채 타인의 효용이나 행복을 선호하는 관점에서 도덕성을 특징짓는다. 이러한 개념은 VNM-유틸리티와 관련될 수 있지만 구별된다.

• 1) VNM-유틸리티는 의사결정 효용이다.^[3] 즉, 결정하는 것에 따라 결정되므로, 정의상 무시할 수 없다.
• 2) VNM-유틸리티는 여러 개인에 걸쳐 표준적으로 첨가되지 않으므로(제한사항 참조), "총 VNM-유틸리티" 및 "평균 VNM-유틸리티"는 즉시 의미가 없다(일종의 정상화 가정이 필요하다).

"경험 효용"의 E-유틸리티라는 용어는 벤담의 가장 큰 행복 원리의 효용과 같은 "쾌락주의" 효용의 유형을 지칭하기 위해 만들어졌다^[3]. 도덕성은 결정에 영향을 미치기 때문에 VNM-합리적인 에이전트의 도덕성은 자체의 효용 함수의 정의에 영향을 미칠 것이다(위 참조). 따라서 VNM-합리화제의 도덕성은 다른 수단 중에서도 에이전트 자체의 VNM-유틸리티, E-유틸리티 또는 "행복"과 에이전트 자체의 VNM-유틸리티, 용어의 모순을 무시하는 것은 아니다.

제한 사항

중첩 도박

L과 M이 복권이라면 pL+(1 - p)M은 단순히 '확장'되고 복권 자체로 간주되기 때문에 VNM 형식주의는 '내성 도박'일 수도 있는 것을 무시한다. 이것은 사람들이 위험에 대한 위험의 인식을 피하기 위해 선택하는 엘스버그 문제와 관련이 있다. 폰 노이만과 모르겐스턴은 이러한 한계를 인정했다.

"...도박의 특정한 효용과 같은 것은 이 정도 수준에서는 모순 없이 공식화될 수 없다. 이것은 역설적인 주장으로 보일 수도 있다. 그러나 그러한 이해하기 어려운 개념을 공리화하려고 진지하게 노력한 사람이라면 아마 그것에 동의할 것이다." – VNM 1953 § 3.7.1, 페이지 28.^[1]

에이전트 간 비교 불가

어떤 두 개의 VNM-에이전트 X와 Y의 경우, 이들의 VNM-유틸리티 함수 u와_X u는_Y 첨가 상수와 승법 양성 스칼라까지만 결정되므로, 정리는 두 가지를 비교할 어떤 표준적인 방법을 제공하지 않는다. 따라서 u_X(L) + u_Y(L) 및 u_X(L) - u_Y(L)와 같은 표현은 표준적으로 정의되지 않으며, u_X(L) < u_Y(L)와 같은 비교는 표준적으로 참이거나 거짓이다. 특히 앞서 언급한 모집단의 "총 VNM-유틸리티"와 "평균 VNM-유틸리티"는 정규화 가정 없이는 표준화의 의미가 없다.

경제학에의 적용성

기대 효용 가설은 알라이스 역설과 같은 실험실에 기초한 경험적 실험에서 예측 정확도가 제한적인 것으로 나타난다. 그래서 어떤 사람들은 그 증거로서

• 인간은 항상 이성적이지는 않다.
• VNM-합리성은 합리성의 적절한 특성이 아니다.
• 둘 다의 어떤 조합 또는
• 인간은 VNM 이성적으로 행동하지만, u에 대한 객관적인 평가와 u의 건설은 난해한 문제들이다.

참조 및 추가 판독