메트리저블 공간
Metrizable space수학의 위상 및 관련 영역에서 메트리징 가능한 공간은 미터법 공간과 동형인 위상학적 공간이다.즉, 위상 공간(X, T){\displaystyle(X,{\mathcal{T}})}이 미터 법은 d야 계량화 가능:X×X→[0,∞){\displaystyle d:X\times X\to -LSB- 0,\infty)}은 토폴로지 d에 의해 야기되는{\displaystyle d}T.{\displaystyle은{\mathcal{T}}.}경우 1][2]Metrization 정리 있기 있다고 한다heore위상학적 공간을 측정할 수 있는 충분한 조건을 제공하는 ms.null
특성.
측정 가능한 공간은 메트릭 공간의 모든 위상적 속성을 상속한다.예를 들어, 그것들은 하우스도르프 파라콤팩트 공간(따라서 정상과 타이코노프)이며, 1번 카운트할 수 있다.그러나 완전성 등 메트릭의 일부 속성은 유전된다고 할 수 없다.이것은 미터법과 연결된 다른 구조에도 해당된다.예를 들어, 측정 가능한 균일 공간은 그것이 동형인 미터법 공간과는 다른 수축 맵 세트를 가질 수 있다.null
메트리징 이론
가장 먼저 널리 인정된 메트리존 이론 중 하나는 우리존의 메트리존 정리였다.이것은 모든 하우스도르프 제2의 카운트 가능한 정규 공간은 메트리가 가능하다고 말한다.그래서 예를 들어, 모든 2차 카운트 가능한 다지관은 측정 가능하다.(역사 참고:여기에 나타난 정리의 형태는 사실 1926년 타이코노프에 의해 증명되었다.우리존이 1925년 사후에 발표한 논문에서 보여준 것은 2인칭의 정상적인 하우스도르프 공간마다 메트리가 가능하다는 점이었다.반대는 유지되지 않는다. 두 번째로 계산할 수 없는 메트릭 공간이 존재한다. 예를 들어, 개별 메트릭이 부여된 마운트 불가능한 집합이 있다.[3]아래에 기술된 나가타-스미르노프 메트리지화 정리는 역이 가지고 있는 보다 구체적인 정리를 제공한다.null
몇몇 다른 메트리징 이론들은 우리존의 정리에서 단순한 골수처럼 뒤따른다.예를 들어, 콤팩트한 하우스도르프 공간은 2차 계산이 가능한 경우에만 메트리즈할 수 있다.null
우리손의 정리란 다음과 같이 다시 정리할 수 있다: 위상학적 공간은 정기적인 경우에만 분리할 수 있고 측정될 수 있다.나가타-스미르노프 메트리징 정리는 이것을 분리할 수 없는 경우로 확장한다.위상학적 공간은 규칙적이고 σ-로컬적으로 유한한 기반이 있는 경우에만 메트리가 가능하다고 명시하고 있다.∆-locally 유한 베이스는 셀 수 없이 많은 국소적으로 유한한 오픈 세트 모음의 조합이다.밀접하게 관련된 정리는 빙 메트리징 정리를 참조한다.null
분리 가능한 측정 가능한 공간은 힐버트 큐브 { 즉 단위 간격의 카운트할 정도로 무한 생산물(실제로부터 자연적인 하위 공간 토폴로지를 가진 공간과 함께 주어지는 공간으로도 특성화할 수 있다.제품 위상null
한 공간은 모든 지점이 측정이 가능한 이웃을 가지고 있다면 지역적으로 측정이 가능하다고 한다.스미르노프는 지역적으로 메트리가 가능한 공간이 하우스도르프와 파라콤팩트일 경우에만 메트리가 가능하다는 것을 증명했다.특히 다지관은 파라콤팩트인 경우에만 측정이 가능하다.null
예
강력한 운영자 토폴로지가 부여된 분리 가능한 Hilbert H }({\ {H에 있는 단일 운영자 ) 의 그룹을 계산할 수 있다(의 제안 II.1 참조).null
있는 단일 운영자 측정 불가능한 공간의 예
비정규적인 공간은 측정할 수 없으며, 중요한 예는 다음과 같다.
하한 위상이 있는 실제 선은 측정이 불가능하다.통상적인 거리 함수는 이 공간의 메트릭이 아니다. 왜냐하면 그것이 결정하는 위상은 하한 위상이 아니라 통상적인 위상이기 때문이다.이 공간은 하우스도르프(Hausdorff)이며 파라콤팩트(paracompact)이며 첫 번째로 셀 수 있는 공간이다.null
긴 줄은 국소적으로 측정이 가능하지만 측정이 불가능하며, 어떤 의미에서는 "너무 길다"는 것이다.null
참고 항목
- 아폴로니안 미터법 – 루마니아 수학자 및 시인
- 빙 메트리징 정리 – 위상학적 공간이 메트리징될 때 특성화
- 측정 가능한 위상 벡터 공간 – 위상이 미터법으로 정의될 수 있는 위상 벡터 공간
- 무어 공간(토폴로지)
- 나가타-스미르노프 메트리징 정리 – 위상학적 공간이 메트리징될 때 특성화
- 균일화성, 균일한 공간에 대한 동형성이라는 위상적 공간의 특성 또는 유사 측정학 계열에 의해 정의되는 위상적 특성
참조
- ^ Simon, Jonathan. "Metrization Theorems" (PDF). Retrieved 16 June 2016.
- ^ Munkres, James (1999). Topology (second ed.). Pearson. p. 119.
- ^ "Archived copy" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2011-09-25. Retrieved 2012-08-08.
{{cite web}}: CS1 maint: 타이틀로 보관된 사본(링크) - ^ 넵, 칼-헤르만, S.바나흐의 정리.J. 거짓말 이론 7(1997), 2,293–300.
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