리우빌 함수

λ(n)로 표기되고 조셉 리우빌의 이름을 딴 리우빌 람다 함수는 중요한 산술 함수다. n이 짝수의 소수인 경우에는 +1이고, 소수인 경우에는 -1이다.

명시적으로 산술의 기본 정리는 모든 양의 정수 n은 ${\displaystyle {{소수}_{}}_{}^{}}$ 힘의 산물로 고유하게 표현될 수 있다고 명시한다: n${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 1 ${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}^{}}$ 1 ${\displaystyle {{a\mathrm{}}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$p ${\displaystyle k_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ k ${\$}}}}}{k₂$}}}}}}}}}}.$ 여기서₁ p <... < p는_k 프라임이고 a는_j 양의 정수다. (1은 빈 제품에 의해 주어진다.) 프라임 오메가 함수는 (Ω) 또는 (Ω) 멀티플렉스가 없는 프리타임 수를 계산한다.

Ω(n) = k,

Ω(n) = a₁ + a₂ + a + ... + a_k.

λ(n)은 공식으로 정의된다.

${\displaystyle \lambda }$( ${\displaystyle \mathrm{n}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- 1${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle n^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle \lambda(n)=(-1)^{\Oomega(n)}}}($OEIS의 순서 A008836).

Ω(n)은 완전 첨가물이기 때문에 Ω(ab) = Ω(a) + Ω(b)이 완전히 첨가되기 때문에 λ은 완전 곱이다. 1에는 주 요인이 없으므로 Ω(1) = 0이므로 so(1) = 1이다.

뫼비우스 함수 μ(n)와 관련이 있다. n을 n = ab으로² 쓰십시오. 여기서 b는 제곱이 없는 경우, 즉 Ω(b) = Ω(b)로 쓰십시오. 그러면

$\displaystyle \lambda(n)=\mu(b)}$

n의 칸막이에 대한 Louville 함수의 합은 제곱의 특성함수다.

${\d displaystyle \sum _{dn}\boda (d)={\display{case}1&{\text{}}}}}}}{n\text{}}}}}이(가) 완벽한 사각형,}\0&{\text{\text}}}}\end{case}}$

뫼비우스가 이 공식을 뒤집다.

${\dplaystyle \ \da(n)=\sum _{d^{2} n}\mu \left({\frac {n}{d^{2}}}\오른쪽).}$

리우빌 함수의 디리클레 역은 뫼비우스 함수의 절대값인 ${\displaystyle {\mathrm{\lambda }}^{}}$- ${\displaystyle 1{}^{}}$( n${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mu \mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle {}^{}n}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \lambda ^{1}(n)= \mu (n) =\mu ^{2}(n$)이며$,$ 제곱 없는 정수의 특성함수다$$. 또한 ${\displaystyle \lambda }$(${\displaystyle }$n ) ${\displaystyle \mu }$( ${\displaystyle n}$) =${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( n${\displaystyle }$) ${\displaystyle \lambda (n)\mu (n)=\mu ^{2}(n)}$.

시리즈

리우빌 기능을 위한 디리클레트 시리즈는 리만 제타 기능에 의해 관련된다.

${\displaystyle {\frac {\zeta(2s)}{\\zeta(s)}}}}}}{n=1}sum _{n=1}^{n=1}{n=1}^{n^{s}}}}.}$

Liouville 기능을 위한 Lambert 시리즈는

${\displaystyle \sum \n=1}^{n1}{n}}{1-q^{n}}}}=\sum _{n=1}^{n^{n^}}}}}}}}}{n^{1}}}}}}}}}{{1}}}}}\vartha _{3}(q)-1}-1}-1}-1}오른쪽)\\}\\crig)\crig)$

여기서 $\vartheta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle q}$ ) ${\displaystyle \vartheta _{3}(q)$은 야코비 세타 함수다.

가중치 합산함수에 대한 추측

폴리야 추측(Polya assume)은 조지 폴리야가 1919년에 한 추측이다. 정의

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{L}}}$( ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ k${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$( k${\displaystyle }$) ${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)}($OEIS의 순서 A002819),

추측에 $의하면{\displaystyle }$ l ( n${\displaystyle }$) ${\displaystyle \le }$ 0${\displaystyle L(n)\leq 0}$은(는) n > 1이다. 이것은 거짓으로 드러났다. 가장 작은 반례는 n = 906150257로 1980년 다나카 미노루가 발견했다. 그 후 무한히 많은 양의 정수 n에 대해 L(n) > 0.0618672√n이 나타난 반면,^[1] 무한히 많은 양의 정수 n에 대해서도 L(n) < -1.3892783√n과 같은 방법을 통해서도 나타날 수 있다.^[2]

> ${\displaystyle \varepsilon >0}$에 대해 리만 가설을 가정하면, $합계함수{\displaystyle }$ L${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$≡ ${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle$ L$(x)\equiv L_{0}(x)$은 다음과$$ 같은 경계로 되어 있다.

$L(x)=O\좌({\sqrt{x}}\exp \좌(C\cdot \log \log x\우)\좌(\log \log x\우)^{5/2+\varepsilon }\우)}}$

서 C> ${\displaystyle C>0}$은 어떤 절대 제한 상수다.^[2]

관련 합 정의

${\displaystyle T(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda(k)}{k}}.}$

충분히 큰 n ≥ n에₀ 대해 T(n) ≥ 0이 되는지는 얼마간 공개되었다(이 추측은 간혹 - 비록 잘못 인용되기는 하지만, Pal Turan에 대한 것이다). 이것은 하셀그로브(1958)에 의해 반증되었는데, 그는 T(n)가 무한히 자주 부정적인 값을 취한다는 것을 보여주었다. 이러한 긍정의 추측을 확인했더라면 파울 투란이 보여준 것처럼 리만 가설을 증명할 수 있었을 것이다.

일반화

보다 일반적으로, 우리는 (위의 경우와 $같이{\displaystyle }$) 특별한 ${\displaystyle 경우\mathbb{}}$L$($${\displaystyle x}$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0{}_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ $\alpha \in \mathbb${$R}}$에 대해 정의된 Lioville 함수에 대한 가중 합계 함수를 다음과 같이$$ 고려할 수 있다$.$$=L_{0}(x)}$ 및$$ $T{\displaystyle (x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}x}$) ${\displaystyle T(x)=$$L_{1}(x)}$ ^[2]

${\displaystyle L_{\alpha }(x):=\sum _{n\leq x}{\frac {\probda (n)}{n^{\message }}}.}$

이러한 $\alpha {\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$^{-$1}$- 가중치$$ 요약 함수는 Mertens 함수 또는 Moebius 함수의 가중 요약 함수와 관련이 있다. 사실, 우리는 그렇게 말되지 않은 비가중치 또는 보통 함수 $L{\displaystyle }$($){\displaystyle L(x)}$이 합계와 정확히$$ 일치한다는 것을 알고 있다.

${\dplaystyle L(x)=\sum _{d^{2}\leq x}왼쪽({\frac {x}{d^{2}}}\오른쪽)=\sum _{d^{d^{d^}}}\mu(n)=\sum_{n\leq {d^{n}}}{d^2}}\mu(n)\n).}$

더욱이 이러한 기능들은 유사한 경계 무증상 관계를 만족시킨다.^[2] 예를 들어, $0{\displaystyle \mathrm{}\alpha \frac{\mathrm{\alpha }}{}}$ 1 2$${\$displaystyle 0\leq \alpha \leq${\$frac{$1}{1}2$}}$분마다 다음과 같은 절대 C > ${\displaystyle C_{\alpha$}}}$0}$이(가) 있음을 알 수 있다$.$

${\displaystyle L_{\alpha }(x)=O\left(x^{1-\alpha }\exp \left(-C_{\alpha }}{\frac {(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}\right)).}$

Perron의 공식을 적용하거나, 키(반복) Mellin 변환에 의해 동등하게, 우리는 그것을 가지고 있다.

${\displaystyle {\frac {\alpha +2s)}{\zeta (\alpha +s)}}}{1}^{1}{\cdot\int \int _{1}{\frac {L_{\alpha }(x){x^{s+1}dx,},}}}}},}}}}}}dx,},}}$

다음 역 변환을 통해 반전되어 > 1 ${\displaystyle$ x$>1$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle T\geq$ 1$}$ 및$$ < 1 2{\$displaystyle 0$\leq $\alpha <{\frac{1}{2}}}}}}}}$을 표시할 수 있다.

${\displaystyle L_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi \imath }}\int _{\sigma _{0}-\imath T}^{\sigma _{0}+\imath T}{\frac {\zeta (2\alpha +2s)}{\zeta (\alpha +s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{s}}ds+E_{\alpha }(x)+R_{\alpha }(x,T),}$

where we can take ${\displaystyle \sigma _{0}:=1-\alpha +1/\log(x)}$, and with the remainder terms defined such that ${\displaystyle E_{\alpha }(x)=O(x^{-\alpha })}$ and ${\displaystyle R_{\alpha }(x,T)\rightarrow 0}$ as ${\displa$$ystyle T\rightarrow \infit$ $\}.$

특히, 만약 그 리만 가설(RH)과 모든은 0의 사실이다, ρ이 리만 제타 함수의 12+ı γ{\displaystyle \rho){\frac{1}{2}}+\imath \gamma},, 다음 중 0≤α<>;12{\displaystyle 0\leq \alpha<>{\frac{1}{2}}}, 탭 ≥ 1{\disp이 단순하고 표시될 것으로 추정한다.laysty$르 x\geq$ 1$}$${\displaystyle {}_{}{}_{}}$v${\displaystyle v_{}}$ 1 {$display$ 1 {\$displaystyle$\{T_{v}\}$_{v\geq$ 1$}$${\displaystyle \mathrm{\_}}${v\$leq$ v+1$}$의 무한 시퀀스가 존재하며$$, 이러한$$ 모든 v에 대해$$ $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle T}$ v + 1 ${\$leq $T_{v}\leq v+1$}을 만족한다.

${\displaystyle L_{\alpha }(x)={\frac {x^{1/2-\alpha }}{(1-2\alpha )\zeta (1/2)}}+\sum _{ \gamma <T_{v}}{\frac {\zeta (2\rho )}{\zeta ^{\prime }(\rho )}}\cdot {\frac {x^{\rho -\alpha }}{(\rho -\alpha )}}+E_{\alpha }(x)+R_{\alpha }(x,T_{v})+I_{\alpha }(x),}$

서 점점 작아지는 0< 2- ${\displaystyle 0<\varepsilon <{\frac {1}{2}}-\message }$에 대해 정의한다.

${\displaystyle I_{\alpha }(x):={\frac {1}{2\pi \imath \cdot x^{\alpha }}}\int _{\varepsilon +\alpha -\imath \infty }^{\varepsilon +\alpha +\imath \infty }{\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{(s-\alpha )}}ds,}$

그리고 남은 기간 동안

${\displaystyle R_{\alpha }(x,T)\ll x^{-\alpha }+{\frac {x^{1-\alpha }\log(x)}{T}+{\frac {x^{1-\alpha }}{T^{1-\varepsilon }\log(x)},}$

물론 $T{\displaystyle }$ →$∞$ {\$displaystyle T\rightarrow \infit }$으로 0을 나타내는 경향이 있다$.$ 이러한 정확한 분석 공식 확장은 다시 가중된 Mertens 함수 사례에 해당하는 것과 유사한 특성을 공유한다. 이후ζ(1/2)<0{\displaystyle \zeta(1/2)<0}은 이전 공식에서 우세한 주요 용어는 우편에 관한 이러한 기능의 가치관의 부정적인 편견이라고 예측했다 또한, 우리의 Lα({\displaystyle L_{\alpha}())}의 형태로 M에 때문에 또 다른 유사점()){M())\displaystyle}이 있ositive 자연수

참조

• Polya, G. (1919). "Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 28: 31–40.
• Haselgrove, C. Brian (1958). "A disproof of a conjecture of Polya". Mathematika. 5 (2): 141–145. doi:10.1112/S0025579300001480. ISSN 0025-5793. MR 0104638. Zbl 0085.27102.
• Lehman, R. (1960). "On Liouville's function". Math. Comp. 14 (72): 311–320. doi:10.1090/S0025-5718-1960-0120198-5. MR 0120198.
• Tanaka, Minoru (1980). "A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function". Tokyo Journal of Mathematics. 3 (1): 187–189. doi:10.3836/tjm/1270216093. MR 0584557.
• Weisstein, Eric W. "Liouville Function". MathWorld.
• A.F. Lavrik (2001) [1994], "Liouville function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press