일차 분해

수학에서 라스커-노에더 정리에서는 모든 노에테리아 고리는 라스커 고리라고 하고 있는데, 이는 모든 이상이 1차적 이상(원초적 이상과 관련이 있지만 그다지 동일하지는 않은)의 교차로로서 분해될 수 있다는 것을 의미한다.이 정리는 다항식 고리와 융합형 파워 시리즈 고리의 특수한 경우에 대해 에마누엘 라스커(1905)에 의해 처음으로 증명되었고, 에미 노에더(1921년)에 의해 완전 일반성으로 증명되었다.

라스커-노에더 정리는 산술의 기본 정리의 연장선이며, 보다 일반적으로 미세하게 생성된 아벨리아 집단의 기본 정리는 모든 노메테리아 고리에 이른다.정리는 모든 대수 집합이 고유하게 수정 불가능한 요소들의 유한 결합으로 분해될 수 있다고 주장함으로써 대수 기하학에서 중요한 역할을 한다.

그것은 노메트리안 링을 통해 미세하게 생성된 모듈의 모든 서브모듈이 1차 서브모듈의 유한 교차점이라고 기술하는 모듈들에 대한 직접적인 확장을 가지고 있다.여기에는 링을 모듈로 간주하여 이상이 하위 종으로 삼도록 특수한 경우로서 링에 대한 사례가 포함되어 있다.이것은 또한 주요 이상영역에 걸쳐 정밀하게 생성된 모듈에 대한 구조정리의 1차 분해 형태를 일반화하고, 한 분야에 걸친 다항식 고리의 특수한 경우 대수학 세트의 분해 형태를 유한조합(불가역)으로 일반화한다.

특성 0의^{[Note 1]} 영역에 대한 다항식 고리의 일차 분해능을 계산하기 위한 첫 번째 알고리즘은 노에더의 학생 그레테 헤르만(1926년)에 의해 발표되었다.^[1][2]그 분해는 일반적으로 비확정적인 노메트리안 고리에 대해서는 유지되지 않는다.노에더는 일차적 이상과의 교차점이 아닌 올바른 이상을 가진 비전투적인 노메테리아적 고리의 예를 들었다.

이상에 대한 일차 분해

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$을(를) 노메테리아식 교감 링이 되게$$ 하라.$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $R$$}$의 이상적인 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은(는) $적절한{\displaystyle }$ 이상이고, $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle$$x$} 및$$ $y{\displaystyle }${\$displaystyle$ $y$$}$의 각 $요소{\displaystyle }$ 쌍에 대해 기본이라고 $하며{\displaystyle }$, 예를$$ 들어$$ ${\displaystyle x}$ y$$${\$$displaystystyle$ $i$$}$$$또는$$ $일부$에 있다.$y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y$$}$의 힘은 I ${\displaystyle$ I}에 있다$.$ 동등하게, 지수 $R{\displaystyle }$/${\displaystyle R/I}$의 모든 영분할은 영분할이다$$.일차적 이상적 $Q{\displaystyle }${\$displaystyle Q$}의 래디컬은 프라임 이상적이며$$ $Q{\displaystyle }$ ${\$ ${\displaystyle -p}$ = ${\mathfrak${p}}} -primary는 p $displaystystyle{\sqrt{Q}}}}}$라고 한다$.$

$I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$이(가) R ${\displaystyle R}$에서 이상적이$$ 되도록 하라$.$ 그러면 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ I$}$은(는) 1차 이상으로 과도하게 분해된다.

${\displaystyle I}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle Q_{}}$ $displaystyle I=Q_{1}\cap \cdots \cap$ \cap $Q_{n$

Irredundancy는 다음을 의미한다.

• ${\displaystyle {Qi}_{}}$ ${\$ 중 하나를 제거하면 교차로 변경$$, 즉 우리가$$ 가진 $각{\displaystyle }$ i ${\$$displaystyle$ i$}$에 $대해$ 교차로 변경:${\displaystyle {}_{}}$changes j$$ ${\displaystyle i_{}}$ Q $q$ ${\displaystyle j_{}}$q i {\$j\neq$ i$}Q_{j}\subset Q_{i$
• 프라임 이상 ${\$은 모두 뚜렷하다$$.

더구나 이러한 분해는 두 가지 점에서 독특하다.

• $\{{\displaystyle Q\sqrt{{}_{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{i_{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{}_{}}}$ ${\displaystyle i\}}$ ${\displaystyle \{\\sqrt {Q_{i}}\mid i\}}$ 집합은 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$에 의해 고유하게 결정되며$,$
• If ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\sqrt {Q_{i}}}}$ is a minimal element of the above set, then ${\displaystyle Q_{i}}$ is uniquely determined by ${\displaystyle I}$; in fact, ${\displaystyle Q_{i}}$ is the pre-image of ${\displaystyle IR_{\mathfrak {p}}}$ under the lo보정 맵 $R{\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {p\mathfrak{}}_{}}$ ${\$ R$\to R_{\mathfak{p$

$I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$에 대한 소수 이상의 기본 이상은 일반적으로 고유하지 않다$$(아래 예 참조).분해의 존재는 아래의 관련 소수에서 #1차 분해를 참조하십시오.

The elements of ${\displaystyle \{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}}$ are called the prime divisors of ${\displaystyle I}$ or the primes belonging to ${\displaystyle I}$. In the language of module theory, as discussed below, the set ${\displaystyle \{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}}$ is also the set$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ -module$$ $R$ ${\displaystyle$ R$/I}$의 관련 primes.$$명시적으로, $R{\displaystyle }$ ${\$이(가${\displaystyle )}$ R ${\displaystystyle R}$에 존재한다는 $것$을 의미한다$$.

${\displaystyle {\sqrt {Q_{i}}=\{f\in R\mid fg_{i}\in I\}}$^[3]

지름길로, 일부 저자들은 $R{\displaystyle /I}$ ${\displaystyle R/I}$의 관련 prime을 $단순히$ I ${\displaystyle I}$의 관련 prime이라고 부른다($$이 관행이 모듈 이론의 사용과 상충된다는 점에 유의한다).

• $\{{\displaystyle \sqrt{{Qi}_{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{}_{}}}$ ${\displaystyle i\}}$ ${\displaystyle \{{\sqrt {Q_{i}}\mid$ i$\}}$의 최소 요소는 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$을(를) 포함하는 최소 프라임 이상과 동일하며$$$$ 고립된 프라임이라고 불린다.
• 반면에, 최소 요소가 아닌 원소는 내장된 프리타임이라고 불린다.

정수 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 링의 경우$,$ 라스커-노에더 정리는 산술의 기본 정리와 동등하다.If an integer ${\displaystyle n}$ has prime factorization ${\displaystyle n=\pm p_{1}^{d_{1}}\cdots p_{r}^{d_{r}}}$, then the primary decomposition of the ideal ${\displaystyle \langle n\rangle }$ generated by ${\displaystyle n}$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} }$$$, is

${\dplaystyle \langle n\rangle =\langle p_{1}^{d_{1}:{1}\langle \cdots \cdots \cap \langle p_{r}^{d_}}}}}$

마찬가지로$$, 고유한 요인화 도메인에서 $요소$가 ${\displaystyle \mathrm{prime}}$ ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}^{}}$ =${\displaystyle {{u\mathrm{}}_{}}_{}^{}}$ p 1 d$$p$$r r, {\$displaystyle$f=up_{$1}^{1$}^{$r}\cdots p_{r}^{d_{r}}}}}}},$ $여기$서$$$u{\displaystyle }${\$displaystystyle$$$u$}$이 생성되는 주요 이상에 대한 1차 분해는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle \langle f\rangle =\langle p_{1}^{d_{1}:{1}\langle \cdots \cap \langle p_{r}^{d_}}\rangle .}}$

예

이 섹션의 예는 놀랍거나 직관에 반하는 것으로 보일 수 있는 일차 분해의 일부 특성을 설명하기 위해 설계되었다.모든 예는 필드 k 위에 있는 다항식 고리 안에 있는 이상이다.

교차점 vs.

$이상{\displaystyle }$ $I{\displaystyle }$= ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$, z ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle k[x,y,z]},$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$y {\$displaystyle$ I$=\langle x,yz\angle }$의 1차 분해는 다음과$$ 같다.

$\displaystyle I=\langle x,yz\angle =\langle x,y\angle \cap \langle x,z\angle .}$

1도의 생성기 때문에, 나는 두 개의 더 큰 이상의 산물이 아니다.유사한 예가 다음과 같이 두 개의 미지수로 주어진다.

$\displaystyle I=\langle x,y(y+1)\angle =\langle x,y\angle \cap \langle x,y+1\angle .}$

1차 대 1차 권력

$k{\displaystyle }$[ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle k[x,y$에서 ${\displaystyle \mathrm{이상적}}$인 $⟨{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$, y ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \langle$ x$,y^{2}\rangele}$은(는)${\displaystyle y}$ x$$,${\displaystyle }$y$display$ {\$displaysty$ \$langle$ x$,y\rangele }$을 연관된 일차적 이상이다$$.그것은 그것과 관련된 전성기의 힘이 아니다.

고유하지 않고 내재된 프라임

모든 양의 정수 n에 대해 $이상적$인 I${\displaystyle }$= ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle x}$⟩ ${\displaystyle$ k$[x,y]},$ ${\displaystyle x}$ ⟩ ${\displaystyle$ I$=\langle x^{2}, xy\angle }$의 $k{\displaystyle }$[ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ]}$에서 1차 분해는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle I=\langle x^{2},xy\angle =\langle x\angle \cap \langle \cap \langle x^{2},xy,y^{n}\angle .}$

관련 프리타임은

$\displaystyle \langle x\rangle \langle x,y\rangle .}$

예: 일부 필드 k에 대해 N = R = k[x, y]로 하고 M을 이상(xy², y)으로 한다.그 다음 M은 두 개의 다른 최소 1차 분해 M = (y) ( (x, y²) = (y) ( (x + y, y²)를 갖는다.최소 프라임은 (y)이고, 내장된 프라임은 (x, y)이다.

연관된 두 소수 사이의 연관되지 않은 소수

${\displaystyle k}$[ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, z ${\displaystyle ]}$, ${\displaystyle k[x,y,z],}$ 이상$$ $I{\displaystyle }$= ${\displaystyle ⟨}$ x${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ , ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle I=\langle x^{2},xy,xz\rangle$}에서 (비유니크) 1차분해가 있다$$.

${\displaystyle I=\langle x^{2},xy,xz\rangle =\langle x\langle \cap \langle \cap \langle x^{2},z^{2},xy,xz,yz\rangle .}$

${\displaystyle \mathrm{연관}}$된 기본 이상은 $⟨{\displaystyle }$ x${\displaystyle \subset }$ x ,${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle ⟩}$, ${\displaystyle \langle x\angle \subset \langle x,y,z\angle ,}$이며, $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$⟨, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \backslash }$ $\displaysty \langle x,y\rangele}$은 비관련된 기본 이상이다.

$\displaystyle \langle x\angle \langle x,y\angle \langle \langle x,y,z\angle .}$

복잡한 예

매우 단순한 예제가 아닌 한 일차 분해는 계산하기 어려울 수 있고 매우 복잡한 출력을 가질 수 있다.다음의 예는 이처럼 복잡한 출력을 제공하도록 설계되었으며, 그럼에도 불구하고 손으로 작성한 계산에 접근할 수 있도록 설계되었다.

내버려두다

${\displaystyle {\reasoned}P&=a_{0}x^{m}+a_{1}x^{m-1}y+\cdots +a_{m}y^{m}\\Q&=b_{0}x^{n}+b_{1}x^{n-1}y+\cdots +b_{n}y^{n}\end{aigned}}}}$

be two homogeneous polynomials in x, y, whose coefficients ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m},b_{0},\ldots ,b_{n}}$ are polynomials in other indeterminates ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{h}}$ over a field k.That is, P and Q belong to ${\displaystyle R=k[x,y,z_{1},\ldots ,z_{h}],}$ and it is in this ring that a primary decomposition of the ideal ${\displaystyle I=\langle P,Q\rangle }$ is searched.일차 분해 계산을 위해 먼저 1이 P와 Q의 가장 큰 공통점이라고 가정한다.

이 조건은 내게 키 1의 주요 구성요소가 없다는 것을 의미한다.내가 두 원소에 의해 생성되기 때문에, 이것은 완전한 교차점(더 정확히 말하면, 그것은 완전한 교차점인 대수 집합을 정의한다)이라는 것을 의미하며, 따라서 모든 일차 구성요소는 높이 2를 가진다.그러므로, 내가 연상되는 프리타임은 정확히 내가 포함된 키 2의 프리타임 이상이다.

$⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle x,y\angle }$이(가) I의 관련 전성기라는 것을$$ 따른다.

$D{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle k}$[ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… , z ${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle D\in k[z_{1},\ldots ,z_{h}}}$을(를) x, y, p, Q의 균일한 결과물이 되도록$$ 한다.As the greatest common divisor of P and Q is a constant, the resultant D is not zero, and resultant theory implies that I contains all products of D by a monomial in x, y of degree m + n – 1. As ${\displaystyle D\not \in \langle x,y\rangle ,}$ all these monomials belong to the primary component contained in ${\displaystyle ⟨x,y⟩.}$${\displaystyle \langle$ x$,y\rangele .}$ 이$$ 기본 구성 요소는 P와 Q를 포함하며, 로컬리제이션 하에서 1차 분해의 동작은 이 기본 구성 요소가

${\displaystyle \{t \exists e,D^{e}t\in I\}}$

요컨대, ${\displaystyle \mathrm{우리}}$는 일차적인 구성요소를 ${\displaystyle \mathrm{가지고}}$ 있는데, 매우 단순한 관련 프라임 $⟨{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$, y ${\displaystyle ⟩}$, ${\displaystyle \langle x,y\rangele ,}$ 그러한$$ 모든 생성 세트는 모든 독립체를 포함한다.

다른 기본 구성 요소는 D를 포함한다.P와 Q가 충분히 일반적이라면(예를 들어 P와 Q의 계수가 구별되는 불분명한 불분명한 경우), P, Q, D에 의해 생성되는 또 다른 일차적 요소만 존재한다는 것을 증명할 수 있다.

기하학적 해석

대수 기하학에서 아핀 대수 집합 V(I)는 다항 링 $R{\displaystyle }$= k${\displaystyle }$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, …${\displaystyle }$, ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$의 이상 I의 공통 0 집합으로 정의된다.$}$

과도한 1차 분해

${\displaystyle I=Q_{1}\cap \cdots \cap Q_{r}}$

I는 V(I_i)를 대수 집합 V(Q)의 조합으로 분해하는 것을 정의하는데, 이 조합은 두 개의 작은 대수 집합의 조합이 아닌 것으로 해석할 수 없다.

If ${\displaystyle P_{i}}$ is the associated prime of ${\displaystyle Q_{i}}$, then ${\displaystyle V(P_{i})=V(Q_{i}),}$ and Lasker–Noether theorem shows that V(I) has a unique irredundant decomposition into irreducible algebraic varieties

${\displaystyle V(I)=\빅컵 V(P_{i}),}$

조합이 관련된 최소 프리타임으로 제한되는 경우.이 최소 연관 소수들은 I 과격파의 주요 구성 요소들이다.이러한 이유로, I의 급진파의 일차적 부패를 I의 원시적 부패라고 부르기도 한다.

최소 소수점에 해당하는 일차 분해(대수 집합 분해뿐만 아니라)의 성분들은 분리되었다고 하며, 다른 성분들은 내장되어 있다고 한다.

대수적 품종의 분해에 대해서는 최소한의 소수만이 흥미롭지만 교차로 이론에서는 보다 일반적으로 체계 이론에서는 완전한 일차 분해는 기하학적 의미를 갖는다.

연관된 소수에서 일차 분해

오늘날에는 관련 소수 이론 내에서 이상과 모듈의 일차적 분해를 하는 것이 일반적이다.특히 부르바키의 영향력 있는 교과서 알제브레 정류장은 이런 접근법을 취하고 있다.

R은 링이 되고 M은 그 위에 있는 모듈을 놓아라.By definition, an associated prime is a prime ideal appearing in the set ${\displaystyle \{\operatorname {Ann} (m) 0\neq m\in M\}}$ = the set of annihilators of nonzero elements of M. Equivalently, a prime ideal ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ is an associated prime of M if there is an injection ofR-모듈 ${\displaystyle R}$/ ${\displaystyle p\mathfrak{}}$ ${\displaystyle \hookrightarrow }$ M ${\displaystyle$ R$/{\mathfrak{p}\hookrightarrow$ M$\}.$

M의 0이 아닌 원소의 전멸기 집합의 최대 요소는 원시적 이상임을 보여줄 수 있으며, 따라서 R이 노메테리아 고리일 때 M은 연관된 M의 프라임이 존재하는 경우에만 0이 아니다.

연관된 M의 소수점 집합은 Ass R${\displaystyle {}_{}\mathrm{ass}}$ (${\displaystyle }$M${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M)}$ 또는$$ ${\displaystyle \mathrm{Ass}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ass}(M)$로 표시된다$.$ 정의에서 직접,

• $만약{\displaystyle }$M =${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ i ${\displaystyle M_{}}$ i$${\$displaystyle$ M$=\bigoplus _{i$ 그렇다면 ${\displaystyle \mathrm{Asss})}$(${\displaystyle \underset{}{M}}$) = ⁡ ${\displaystyle i}$ Ass${\displaystyle }$ ( ${\displaystyle M_{}}$) ${\displaysty \operatorname {Ass}=\bigcup _{i$
• For an exact sequence ${\displaystyle 0\to N\to M\to L\to 0}$, ${\displaystyle \operatorname {Ass} (N)\subset \operatorname {Ass} (M)\subset \operatorname {Ass} (N)\cup \operatorname {Ass} (L)}$.^[4]
• R이 $노메테리아$ 링인 경우 ${\displaystyle \mathrm{Ass}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \mathrm{Supp}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle }$M${\displaystyle }$) ${$ Supp \ ( ${\displaystyle M}$ ) {\$displaysty$ ^[5]\$operatorname {Ass} ($M)\subset $\operatorname$ {$Supped}($$M)}$이$(가)$ 지원을 $참조$한다.또한 ${\displaystyle \mathrm{Ass}}$ ${\displaystyle (M}$) ${\displaystyle \operatorname {Ass}(M)$의 최소 요소 집합은 ${\displaystyle \mathrm{Supp}}$ supp$) {\displaysty \operatorname$ {$Supple}(M)$의 최소 요소 집합과 동일하다$.$^[5]

만약 M이 R에 걸쳐 정밀하게 생성된 모듈이라면, 하위조종의 상승 순서가 유한하다.

${\displaystyle 0=M_{0}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n-1}\subsetneq M_{n}=M\,}$

일부 주요 이상을 나는{\displaystyle R/{\mathfrak{p}모든 M관련 산하 최고급 제품의 집합들에게서 나타난다 각각의 반드시 M.[6]게다가의 지원에 나는{{\m\displaystyle p은 각 지수 Mi/Mi−1 R동형은 그러한/p}_{나는}}나는}}_{나는}{\displaystyle{\mathfrak{p}p.athfrak${{p}_{i}}$; 즉,

${\displaystyle \mathrm{Ass}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle M}$)${\displaystyle \subset \{{\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$p ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \mathrm{supp}}$ supp ${\displaystyle \mathrm{supp}}$ ${\displaystyle \backslash }$ \$\displaystyle \operatorname {Ass}$ (M$)\subset \{\\mathfrak {p}{p}}{n}}}},\subset \operatorname {Sup$^[7]

(일반적으로 이러한 포함은 동일성이 아니다.)특히 ${\displaystyle \mathrm{Ass}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle \operatorname {Ass}(M)}$은 M이 미세하게 생성될 때 유한 집합이다$$.

Let ${\displaystyle M}$ be a finitely generated module over a Noetherian ring R and N a submodule of M. Given ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M/N)=\{{\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{n}\}}$, the set of associated primes of ${\displaystyle M/N}$, there eXist 하위 모듈 Q ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Q_{i}\subset M}:$ ${\displaystyle \mathrm{Asss<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; Q\_\{i\}\backslash subset\; M\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/3eb37a3d6c4bcaa9c63b6dd2385d76b3a2bc59d6"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:8.179ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="325">}}$ ass${\displaystyle }$(${\displaystyle M}$ /${\displaystyle {Qi}_{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ p ${\displaystyle i_{}}$}${\displaysty \operatorname {Ass}(M/Q_{i})$$=\{{{\mathfrak{p}_$${i}\}}$ 및

${\displaystyle N=\bigcap _{i=1}^{n}Q_{i}.}$^[8][9]

A submodule N of M is called ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-primary if ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M/N)=\{{\mathfrak {p}}\}}$. A submodule of the R-module R is ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-primary as a submodule if and only if it is a ${\displaystyle {\mathfrak$${p}}$ - 1차$$ 이상. 따라서 $M{\displaystyle }$= R ${\displaystyle M=R}$일 때 위의 분해는 정확하게 이상에 대한 1차 분해다$.$

Taking ${\displaystyle N=0}$, the above decomposition says the set of associated primes of a finitely generated module M is the same as ${\displaystyle \{\operatorname {Ass} (M/Q_{i}) i\}}$ when ${\displaystyle 0=\cap _{1}^{n}Q_{i}}$ (without finite generation, there무한히 많은 연관 소수일 수 있다.)

연관된 프리타임의 속성

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$을(를) 노메트리안 링이 되게$$ 하라.그러면

• R에 대한 영분위기의 집합은 R의 관련 소수들의 조합과 같다(R의 제로디비저의 집합은 0이 아닌 원소의 전멸기 집합의 조합이며, 그 최대 분위는 소수들이 연관되어 있기 때문이다.^[10]
• 동일한 이유로, R-모듈 M의 관련 소수점 조합은 정확히 M에 대한 0-divisor 집합, ${\displaystyle 즉}$ 내형성 m${\displaystyle }m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{rm}}$ ${\displaystyle ,}$ $M$→ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m\mapsto rM,$ M$\to$ M$}$이 주입되지 않는 요소$$ r이다.^[11]
• Given a subset ${\displaystyle \Phi \subset \operatorname {Ass} (M)}$, M an R-module , there exists a submodule ${\displaystyle N\subset M}$ such that ${\displaystyle \operatorname {Ass} (N)=\operatorname {Ass} (M)-\Phi }$ and ${\displaystyle \operatorn$$ame {Ass}(M/N)=\Phi$ $\}.$^[12]
• $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S\subset R}$을(를) 승수 하위 집합으로 하고$$, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ -module$$ 및 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ $\Phi}$을$($를) S ${\displaystystyle S}$과 교차하지 않는$$ $모든{\displaystyle }$ 기본 $이상$ 집합으로$$ 설정하도록 한다$.$

  ${\displaystyle {\mathfak{p}\mapsto S^{-1}{\mathfrak{p},\operatorname {Ass} _{R}(M)\Phi \to \operatorname {Ass} _{S^{-1}R}(S^{-1}M)}}}}}}}})$

편견이다.^[13]${\displaystyle \mathrm{또한}}$ ${\displaystyle {\mathrm{Ass}}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( M${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cap }$ ∩ = =${\displaystyle }$= ⁡${\displaystyle {}_{}(}$ ${\displaystyle {ass}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ass { ${$ \$displaystyle$ \operatorname ${Ass} _{R}(M)\cap \Phi$ =\$operatorname {Ass}$ $_{R$}{-$1}M$^[14]

• 이상적인 J를 포함하는 것에 관한 기본적인 이상적 최소치는 $A{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{s}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( R${\displaystyle /J}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \mathrm {Ass} _{R}(R/J$)에 있다$.$$}}$이러한$$ 프라임은 정확하게 고립된 프라임이다.
• 모듈 M over R은 M이 미세하게 생성되고 A ${\displaystyle \mathrm{s}}$( M${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm {Ass} (M)}$이(가) 최대 이상으로 구성된$$ 경우에만 길이가 한정된다.^[15]
• $렛{\displaystyle }$ A${\displaystyle }$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\to B}$을(를) 노메테리아 링과 A 위에 평평한 F a B-모듈 사이의 고리 동형상(ling homorphism)이$$ 되게 하라.그리고 각 A-모듈 E에 대해

${\displaystyle \operatorname {Ass} _{B}(E\otimes _{A}F)=\bigcup _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Ass} (E)}\operatorname {Ass} _{B}(F/{\mathfrak {p}}F)}$.^[16]

논노메테리아 사건

다음 정리는 반지가 그것의 이상을 위해 일차 분해되는 데 필요한 충분한 조건을 제공한다.

그 증거는 일련의 연습으로서 아티야-맥도날드 제4장에 제시되어 있다.^[17]

일차분해를 갖는 이상에 대해서는 다음과 같은 고유성 정리가 있다.

이제, 이상적인 I와 I에 대한 최소 Prime P인 모든 정류 링 R에 대해, 국산화 지도 아래 I R의_P 사전 이미지는 I를 포함하는 가장 작은 P-primary 이상이다.^[18]따라서 선행 정리의 설정에서 최소 소수 P에 해당하는 1차 이상 Q는 또한 I를 포함하는 가장 작은 P-primary 이상이며 I의 P-primary 성분이라고 불린다.

예를 들어 Prime P의 power P가ⁿ 1차 분해(primary power)를 갖는 경우, 그 P-primary 성분은 P의 n번째 상징적 힘이다.

이상에 대한 첨가 이상

이 결과는 현재 이상에 대한 첨가 이론으로 알려진 분야에서 최초의 것으로, 이상에 대한 특별한 계층의 교차점으로서 이상을 표현하는 방법을 연구한다."특수계급"에 대한 결정, 예를 들어 1차적 이상에 대한 결정 자체가 문제다.비전향의 경우 3차 이상 등급은 1차 이상 등급의 유용한 대체품이다.

메모들

참조

• M. 아티야, I.G. 맥도날드, 정류 대수학 소개, 애디슨-웨슬리, 1994.ISBN 0-201-40751-5
• 부르바키, 알제브레 정류장
• Danilov, V.I. (2001) [1994], "Lasker ring", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960, esp. 섹션 3.3.
• Hermann, Grete (1926), "Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale", Mathematische Annalen (in German), 95: 736–788, doi:10.1007/BF01206635. Communications in Computer 대수 32/3 (1998년)의 영어 번역 : 8-30
• Lasker, E. (1905), "Zur Theorie der Moduln und Ideale", Math. Ann., 60: 19–116, doi:10.1007/BF01447495
• Markov, V.T. (2001) [1994], "Primary decomposition", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Matsumura, Hideyuki (1970), Commutative algebra
• Noether, Emmy (1921), "Idealtheorie in Ringbereichen", Mathematische Annalen, 83 (1): 24–66, doi:10.1007/BF01464225
• Curtis, Charles (1952), "On Additive Ideal Theory in General Rings", American Journal of Mathematics, The Johns Hopkins University Press, 74 (3): 687–700, doi:10.2307/2372273, JSTOR 2372273
• Krull, Wolfgang (1928), "Zur Theorie der zweiseitigen Ideale in nichtkommutativen Bereichen", Mathematische Zeitschrift, 28 (1): 481–503, doi:10.1007/BF01181179

외부 링크

• "Is primary decomposition still important?". MathOverflow. August 21, 2012.