기하급수적 등가 척도

수학에서 측정의 지수적 등가성은 큰 편차 이론의 관점에서 확률 측정의 두 시퀀스나 집단이 어떻게 "같다"는가를 의미한다.

정의

Let ${\displaystyle (M,d)}$ be a metric space and consider two one-parameter families of probability measures on ${\displaystyle M}$, say ${\displaystyle (\mu _{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$ and ${\displaystyle (\nu _{\varepsilon })_{\varepsilon >0}}$.이 두 가문은 존재한다면 기하급수적으로 동등하다고 한다.

• 1-모수 확률 공간군, , ) > 0{\$displaystyle (\Oomega$,\$Sigma$_{\$varepsilon$}},$P_{\varepsilon }}}}{\varepsilon$
• $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ -값$$ 랜덤 변수 )> ${\$(${\barepsilon }}}_$${\$ >$0},$ ( Z >${\$ ($Z_{\varepsilon })_{\varepsilon >0},}}}}}}}},$

그런

• 각 ε<>를 사용하여 들어 0{\displaystyle \varepsilon>0}, P({\displaystyle P_{\varepsilon}}Yε{\displaystyle Y_{\varepsilon}의-law(그push-forward 조치 데려간)}은μ ε{\displaystyle \mu_{\varepsilon}}와 Zε{\displaystyle의 P({\displaystyle P_{\varepsilon}}-law.Z_{\v$arpsilon }}$은(는) ${\$ $\}\}\},$
• for each ${\displaystyle \delta >0}$, "${\displaystyle Y_{\varepsilon }}$ and ${\displaystyle Z_{\varepsilon }}$ are further than ${\displaystyle \delta }$ apart" is a ${\displaystyle \Sigma _{\varepsilon }}$-measurable event, i.e.

$\displaystyle {\big \{}\big \}\big \d(Y_{\barepsilon })(\omega }), Z_{\barepsilon }}}\delta {\big \}\sigma _{\varepsilon}}}}}$

• > 0 ${\displaystyle \property$ >$0}$에 대해

${\displaystyle \limsup \downarrow 0}\,\varepsilon \log P_{\barepsilon }{\varepsilon }}{d(Y_{\varepsilon }}, Z_{\big )}\delta {\delta=-\inft.}}}.$

무작위 변수 ) >0 ${\$ ) ${\$의 두 계열도 기하급수적으로 동등하다고 한다.

특성.

지수 등가성의 주된 용도는 큰 편차 원리에 관한 한 기하급수적으로 동등한 척도의 집단을 구별할 수 없다는 것이다.좀 더 정밀하게, 만약 큰 편차 원칙(μ ε)ε하고,ε 을(μ ε){\displaystyle 1세} 좋은률 함수;0{\displaystyle(\mu_{\varepsilon})_{\varepsilon>0}}과(ν ε)ε 을과 0{\displaystyle(\mu_{\varepsilon})_{\varepsilon>0}};0{\displaystyle(\n을 보유하고 있다.u_{\varepsil$}}_{\varepsilon >0}}$은 기하급수적으로 등가인데, 그렇다면 같은 큰 편차 원리가 ( > {\$displaystyle (\$nu $_{\varepsilon }}_{\varepsilon >0}$에 대해 유지되는 것과 동일한 좋은 비율 $함수{\displaystyle }$ I ${\\displaystyleylon I$

참조

• Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998). Large deviations techniques and applications. Applications of Mathematics (New York) 38 (Second ed.). New York: Springer-Verlag. pp. xvi+396. ISBN 0-387-98406-2. MR 1619036. (제4.2.2절 참조)