전기장 적분 방정식

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전기장 적분 방정식은 전류분포(J)에 의해 발생하는 전기장(E)을 계산할 수 있는 관계다.

파생

주파수 영역의 모든 수량을 고려할 때, 전체적으로 억제된$$ 시간 의존 $e{\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle j^{}}$ w ${\displaystyle t^{}}$ $displaystyle e^{+jwt}\,}$가 가정된다.

전기장과 자기장과 관련된 맥스웰 방정식부터 시작하여 투과성 $\mu {\displaystyle }$ ${\$ 및$$ 허용률$\mu {\displaystyle }$ {\$displaystyle \epsilon$ $\backslash ,\}$의 선형 균질 매체를 가정:

${\displaystyle \nabla \time {E}=-j\omega \mu {\textbf {H}\,}$

${\displaystyle \nabla \textbf{H}}=j\omega \epsilon {\textbf {E}+{\textbf {J}\,}$

H의 분산을 포함하는 세 번째 방정식에 이어

${\displaystyle \nabla \cdot {\textbf {H}=0\,}$

벡터 미적분학에 의해 우리는 다른 벡터의 컬로서 어떤 발산없는 벡터를 쓸 수 있다, 그러므로

${\displaystyle \nabla \time {\textbf {A}={\textbf {H}\,}$

여기서 A는 자기 벡터 전위라고 불린다.이것을 위와 같은 것으로 대체하면 우리는 그것을 얻을 수 있다.

${\displaystyle \nabla \time({\textbf {E}}+j\omega \mu {\textbf {A})=0\,}$

그리고 어떤 컬이 없는 벡터는 스칼라의 경사로 쓰일 수 있다.

${\displaystyle {\textbf {E}+j\omega \mu {\textbf {A}=-\nabla \Phi}$

여기서 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi }$은(는) 전기 스칼라 잠재력이다.이러한 관계들은 이제 우리가 글을 쓸 수 있게 해준다.

${\displaystyle \nabla \times \nabla \time {A}-k^{2}{\textbf {A}={\textbf {J}-j}j\omega \epsilon \nabla \Phi,},}$

여기서 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle \Omega }$ ${\$ $\}\}\},$ 벡터 아이덴티티에 의해 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle \nabla \cdot {\textbf {A}-{2}{\textbf {A}-k^{2}={\textbf {{J}-j\omega \nabla \Phi \},}$

A의 컬만 명시했으므로, 우리는 자유롭게 그 차이를 정의하고, 다음을 선택할 수 있다.

${\displaystyle \nabla \cdot {\textbf {A}=-j\omega \epsilon \Phi \,}$

이것을 로렌츠 게이지 조건이라고 한다.A의 이전 표현은 이제 다음과 같이 감소한다.

${\displaystyle \nabla ^{2}{\textbf {A}+k^{2}{\textbf {A}=-{\textbf {J},}$

벡터 헬름홀츠 방정식이야A에 대한 이 방정식의 해법은

${\displaystyle {\textbf {A}}({\textbf {r}})={\frac {1}{4\pi }}\iiint {\textbf {J}}({\textbf {r}}^{\prime })\ G({\textbf {r}},{\textbf {r}}^{\prime })\ d{\textbf {r}}^{\prime }\,}$

여기서 $G{\displaystyle (}$ ${\displaystyle {}^{}}$, r ${\displaystyle {\prime }^{\mathrm{}}}$) ${\$ G$({\textbf {r},{\textbf {r}^{$r}^{\$prime }},}$은(는) 다음과 같은 3차원 균질 Green의 함수다.

${\displaystyle G({\textbf{r},{\textbf{r}^{r}-{\textbf{r}-{\textbf{r}}}}}}{\textbf{r}-{r}-{\textb^{r}}}},}}},}}}}$

우리는 이제 전기장 적분 방정식(EFIE)이라고 불리는 것을 쓸 수 있고, 전기장 E를 벡터 전위 A와 연관시킬 수 있다.

${\displaystyle {\textbf{E}=-j\omega \mu {\textbf {A}+{\frac {1}{j\omega \epsilon }}\nabla(\nabla \cdcdot {\textbf {A}),},},},},}$

우리는 더 나아가 EFIE를 dynadic 형태로 대표할 수 있다.

${\displaystyle {\textbf {E}}=-j\omega \mu \int _{V}d{\textbf {r}}^{\prime }{\textbf {G}}({\textbf {r}},{\textbf {r}}^{\prime })\cdot {\textbf {J}}({\textbf {r}}^{\prime })\,}$

여기서 $G{\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{\mathrm{}}}$) ${\$은(는) 다음과 같이 주어지는 dynadic 균질 Green's Function이다.

${\displaystyle {\textbf {G}}({\textbf {r}},{\textbf {r}}^{\prime })={\frac {1}{4\pi }}\left[{\textbf {I}}+{\frac {\nabla \nabla }{k^{2}}}\right]G({\textbf {r}},{\textbf {r}}^{\prime })\,}$

해석

EFIE는 일련의 소스 J에 주어진 복사 필드 E를 설명하며, 따라서 안테나 분석 및 설계에 사용되는 기본 방정식이 된다.그것은 어떤 종류의 안테나의 현재 분포가 알려지면 어떤 종류의 안테나라도 방사장을 계산하는 데 사용될 수 있는 매우 일반적인 관계다.EFIE의 가장 중요한 측면은 한이 없는 지역 또는 무한대에 위치한 지역의 방사선/스캐터링 문제를 해결할 수 있게 해준다는 것이다.닫힌 표면의 경우 자기장 적분 방정식 또는 결합장 적분 방정식을 사용할 수 있으며, 두 경우 모두 EFIE에 비해 조건 번호가 개선된 일련의 방정식을 얻을 수 있다.그러나 MFIE와 CFIE는 여전히 공명성을 포함할 수 있다.

산란 문제의 경우 알려진 입사 필드 ${\displaystyle E_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 기인하는$$ 미지의 산란 필드 $E{\displaystyle {}_{}}$ s ${\$를 결정하는 것이 바람직하다$.$ 안타깝게도 EFIE는 산란 필드를 사건 필드가 아닌 J와 연결하므로 J가 무엇인지 알 수 없다.이러한 종류의 문제는 EFIE를 ${\$와 J만으로 작성할 수 있도록 사건 및 산란장에 경계 조건을 부과함으로써 해결할 수 있다.일단 이것이 이루어지면, 적분 방정식은 모멘트의 방법과 같은 적분 방정식에 적합한 숫자 기법으로 해결될 수 있다.

메모들

헬름홀츠 정리에 의해 벡터 장은 그 다양성과 컬에 의해 완전히 설명된다.분산이 정의되지 않았기 때문에, 우리가 A의 분차에 대한 이 정의를 모든 후속 분석에서 일관되게 사용한다면, 위의 로렌츠 게이지 조건을 선택함으로써 정당화될 수 있다.그러나 ${\displaystyle \nabla }$ ⋅ $\$ ${\displaystyle other\mathbf{}}$ choices \$nabla \cdot \mathbf {A}}$에 대한 다른 선택은 그대로 유효하고$$ 모두 동일한 현상을 설명하는 다른 방정식으로 이어지며, ${\displaystyle \nabla }$ A ${\$의 선택에 대한 방정식의 해법은 동일한 전자기장으로 이어지며$$, 동일한 물리적 사전이 된다.그 들판과 전하에 대한 이해는 그들에 의해 가속화된다.

만약 양이 그 선택에 있어서 이 정도의 자유를 보여준다면, 그것은 실제 물리적인 양으로 해석되어서는 안 된다고 생각하는 것은 당연하다.결국 우리가 자유롭게 choose$$ $\cdot {\displaystyle \mathrm{}}$\ ${\displaystyle A\mathbf{}}$ ${\$를) 무엇으로든 선택할 수 있다면, $A{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$는) 고유하지$$ 않다.실험에서 측정된$$ $A{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 "진정한" 값은 무엇인가?If ${\displaystyle \mathbf {A} }$ is not unique, then the only logical answer must be that we can never measure the value of ${\displaystyle \mathbf {A} }$. On this basis, it is often stated that it is not a real physical quantity and it is believed that the fields ${\displaystyle \mathbf {E} }$ and ${\displa$$ystyle \mathbf {B}}$이$($가) 실제 물리적 수량이다.

그러나 충전된 입자의 위치에서 $E{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$과$($와) $B$ ${\$의 값이 모두 0인$$ 실험이 하나 이상 있지만 그럼에도 불구하고 국소 자기 벡터 전위의 존재에 의해 영향을 받는다. 자세한 내용은 Aharonov-Bohm 효과를 참조하십시오.그럼에도 불구하고 Aharonov-Bohm 실험에서 조차 $A{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$는) 절대 계산에 들어가지 않고$$ 입자의 경로를 따라 along$$${\displaystyle \mathrm{}\times }$ ${\displaystyle A\mathbf{}}$ ${\$ {$A}만$측정 가능한 효과를 결정한다.

참조

• 깁슨, 월튼 C.전자석의 모멘트 방법.채프먼 & 홀/CRC, 2008. ISBN978-1-4200-6145-1
• 해링턴, 로저 F.시간-화학적 전자기장.맥그로힐, 1961년ISBN 0-07-026745-6
• 발라니스, 콘스탄티누스 A.고급 엔지니어링 전자석.1989년 와일리ISBN 0-471-62194-3
• 씹어, 벵 C.비균질 미디어의 파도와 들판.IEEE 프레스, 1995.ISBN 0-7803-4749-8
• 라오, 윌튼, 글리슨.임의 형상의 표면에 의한 전자기 산란.IEEE 안테나 및 전파 거래, vol, AP-30, 1982년 5월 3일. doi:10.1109/TAP.1142818