하이퍼콘

구형 원뿔의 생성 라인(빨간색), 평행선(녹색) 및 하이퍼메르디안(파란색)의 입체 투영. 입체 투영의 정합성 특성 때문에 4D와 같이 곡선이 직교적으로 교차한다(노란색 점). 모든 곡선은 원 또는 직선이다. 생성자와 병렬은 3D 듀얼 콘을 생성한다. 하이퍼메르디안들은 일련의 동심원을 생성한다.

기하학에서 하이퍼콘(또는 구면 원뿔)은 방정식으로 표현되는 4차원 유클리드 공간의 형상이다.

x^{2}+y^{2}+z^{2}-w^{2}=0.

그것은 4중 표면이며 3차원 원뿔 표면의 4차원 등가물인 3-매니폴드 중 하나이다. 또한 w축에 수직인 하이퍼플레인이 있는 교차점이 구이기 때문에 구면 원뿔이라고도 한다. 4차원 우구형 하이퍼콘은 시간에 따라 팽창하는 구형으로, 팽창하는 구형의 중심이 고정된 상태로 유지되도록 단일 점원으로부터 팽창하기 시작하는 구라고 생각할 수 있다. 사선구형 하이퍼콘은 시간에 따라 팽창하는 구면일 것이고, 다시 점원으로부터 팽창하기 시작하지만 팽창하는 구의 중심이 균일한 속도로 움직인다.

파라메트릭 형식

오른쪽 구면 하이퍼콘은 함수로 설명할 수 있다.

{\becc{\becha}}}(\pi ,\tta ,t)=(ts\cos \cos \theta \cos \phoss \phi, ts\sin \t)}

원점 및 팽창 속도 s에 정점을 두고

반지름 r과 높이 h를 가진 오른쪽 구면 하이퍼콘은 함수로 설명할 수 있다.

{\becc{\frac{r}}}}}(\pi ,\ta)=(t\cos \phi \sin \theta, t\phi \cos \ta,{\frac}{r}t)}}}}}

그런 다음 함수로 사선 구면 하이퍼콘을 설명할 수 있다.

{\becc{\phi ,\ta ,t)=(v_{x}t+ts\cos \ta \cos \ta \cos \cos \cosen \phi ,v_{z}t+ts\sin \ta ,t)}

여기서 $(v_{x},v_{y},v_{z})$ $(v_{x},v_{y},v_{z})$ , $(v_{x},v_{y},v_{z})$ $(v_{x},v_{y},v_{z})$ , $(v_{x},v_{y},v_{z})$ z $(v_{x},v_{y},v_{z})$ ) ${\displaystyle(v_{x},v_{y},v_{z})$ 은 $(v_{x},v_{y},v_{z})$ 팽창하는 구체 중앙의 3-분할이다. 그러한 원뿔의 예는 움직이는 기준 프레임의 관점에서 볼 수 있는 팽창 음파(예: 제트 항공기 자체의 기준 프레임에서 볼 수 있는 음파)일 것이다.

위의 3D 서페이스는 적절한 4-콘인 4D-하이퍼볼륨을 포함한다는 점에 유의하십시오.

기하학적 해석

구형 원뿔은 두 개의 무한 나페로 구성되는데, 원점에서 만나며 3차원 원뿔 표면의 나페와 유사하다. 위쪽 nape는 양의 w 좌표를 가진 절반에 해당하며, 아래쪽 nape는 음의 w 좌표를 가진 절반에 해당한다.

0이 아닌 일부 r에 대해 하이퍼플레인의 w = 0과 w = r 사이에서 제한되는 경우, 유한한 4차원 체적을 경계하도록 (0,0,0,r)를 중심으로 한 반경 r의 3볼에 의해 닫힐 수 있다. 이 볼륨은 공식에 의해 주어진다. 1/3⁴˚r이며, 고체 원뿔과 4차원 등가물이다. 공은 4차원 원뿔의 나페 밑부분에 있는 '리드'라고 생각할 수 있으며, 기원은 그 '에이펙스'가 된다.

이 모양은 다양한 방법으로 3차원 공간에 투영될 수 있다. xyz 하이퍼플레인에 투영되면, 그것의 이미지는 공이다. xyw, xzw 또는 yzw 하이퍼플레인에 투영될 경우, 그것의 이미지는 솔리드 콘이다. 사선 하이퍼플레인에 투영될 경우, 그 이미지는 타원형 또는 타원형 염기(아이스크림 콘을 합성)가 있는 고체 원뿔이다. 이 영상들은 2차원으로 투영된 고체 원뿔의 가능한 영상의 유사점이다.

건설

하이퍼콘은 3D 콘의 구조와 유사한 방식으로 제작할 수 있다. 3D 원뿔은 작은 디스크가 한 점으로 갈수록 좁아질 때까지 서로 위로 점진적으로 쌓은 결과로 생각할 수 있다. 또는 3D 원뿔은 밑부분을 중심으로 회전하면서 직립 이등변 삼각형에 의해 휩쓸려 나가는 부피로 간주할 수 있다.

4D 하이퍼콘은 4방향으로 작은 볼이 한 지점에 가까워질 때까지 계속적으로 서로 위로 쌓거나, 4방향으로 똑바로 서 있는 4면체(theadron)에 의해 휩쓸려 나가는 하이퍼볼륨을 3D 하이퍼콘이 놓인 3D 하이퍼플레인에서 자유롭게 자전하는 것과 유사하게 구성될 수 있다.

측정

하이퍼볼륨

4차원 피라미드와 원뿔의 하이퍼볼륨은

H={\frac {1}{4}Vh

여기서 V는 베이스의 부피, h는 높이(베이스의 중심과 꼭지점 사이의 거리)이다. 기본 ${\textstyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ 이 ${\textstyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ V = 4 ${\textstyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ ${\textstyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ r 3 ${\textstyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ {\ $textstyle V={\frac$ {4}{ $3}}\pi r$ ^{3 $}}}}}$ 인 구형 콘의 경우 ${\textstyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ 하이퍼볼륨은

H={\frac {1}{4}Vh={\frac {1}{1}{1}}}\좌측({\frac {4}{3}\pi r^{3}\우측)h={\frac {1}{1}{3}}h

표면적량

The lateral surface volume of a right spherical cone is ${\textstyle LSV={\frac {4}{3}}\pi r^{2}l}$ where $r$ is the radius of the spherical base and $l$ is the slant height of the cone (the distance between the 2D surface of the sphere and the apex). 구면기반의 표면적은 어느 구면과도 같으며, 4 ${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ ${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ r ${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ ${\$ {\ $frac{4}{3}}\pi$ r $^{3}}}.$ 따라서 오른쪽 구면 원뿔의 총 표면적은 다음과 같이 표현할 수 있다 ${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

반지름 및 높이

${\frac {4}{3}}\pi r^{3}+{4}+{4}}{3}\pi r^{2}{\sqrt{r^{2}+h^{2}}}}$
( ${\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$ 부피 + 측면 3D 표면 부피, ${\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$ ${\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$ 2 ${\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$ + h ${\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$ {\ $displaystyle$ {\ $sqrt$ { $r^{2$ }+ $h$ 2} $}}}}$ 은 ${\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$ (는) 비스듬한 높이)
${\frac {4}{3}\pi r^{2}\왼쪽(r+{\sqrt{r^{2}+h^{2}}\오른쪽)$
여기서 $r$ $r$ 은 $r$ (는) $h$ 이고h {\ $displaystyle h}$ 은(는) 높이다 $h$ .

반지름 및 경사 높이

${\frac {4}{3}}\pi r^{3}+{\frac {4}{3}\pi r^{2}l$
${\frac {4}{3}\pi r^{2}\왼쪽(r+l\오른쪽)$
여기서 $r$ $r$ 은 $r$ 반지름이고 $l$ $l$ 은 $l$ 기울어진 높이다.

표면 면적, 반지름 및 경사 높이

${\frac {1}{1}{3}Ar+{\frac {1}{3}Al$
${\frac {1}{3}A\왼쪽(r+l\오른쪽)$
여기서 $A$ ${\displaystyle$ $A$ $}$ 은 $A$ (는 $)$ 기본 $r$ 이고 $r$ , r {\ $displaystyle$ r}은(는) 반지름이며, $l$ ${\displaystyle$ l $}$ 은(는) 기울어진 높이입니다 $l$ .

시간적 해석

구형 원뿔 방정식의 w 좌표를 거리 ct로 해석하면 t는 좌표시간이고 c는 빛의 속도(상수)로 해석하면 특수상대성이론에서 라이트 원뿔의 형상이 된다. 이 경우 방정식은 보통 다음과 같이 표기된다.

x^{2}+y^{2}+z^{2}-(ct)^{2}=0,

빛의 구형파 전선에 대한 방정식이기도 하다.^[1] 위쪽 나페는 미래의 라이트 콘이고 아래쪽 나페는 과거의 라이트 콘이다.^[2]

참고 항목

참조

^ A. Halpern (1988). 3000 Solved Problems in Physics. Schaum Series. Mc Graw Hill. p. 689. ISBN 978-0-07-025734-4.
^ R.G. Lerner, G.L. Trigg (1991). Encyclopedia of Physics (2nd ed.). VHC publishers. p. 1054. ISBN 0-89573-752-3.

[1] A. Halpern (1988). 3000 Solved Problems in Physics. Schaum Series. Mc Graw Hill. p. 689. ISBN 978-0-07-025734-4.

[2] R.G. Lerner, G.L. Trigg (1991). Encyclopedia of Physics (2nd ed.). VHC publishers. p. 1054. ISBN 0-89573-752-3.

[1]

[2]

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