정압 평형

이 글은 검증을 위해 추가 인용문이 필요합니다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선하는 데 도움을 주십시오. 조달되지 않은 자재는 제거될 수 있습니다.출처 : '정압 평형'– 뉴스 · 신문 · 서적 · 학자 · JSTOR (2010년 5월) (이 템플릿 메시지 삭제 방법 및 삭제 시기 확인)

유체역학에서 유체정압 평형(정압 평형, 하이드로스타시)은 중력과 같은 외부 힘이 압력-구배력에 ^[1]의해 균형을 이룰 때 발생하는 유체 또는 플라스틱 고체의 상태를 말합니다.지구의 행성 물리학에서, 중력은 행성 대기가 얇고 밀도가 높은 껍질로 무너지는 것을 막는 반면, 중력은 압력에 의해 ^[2][3]대기가 외부로 확산되는 것을 막습니다.

정수적 균형은 왜성과 작은 태양계 천체 사이의 구별되는 기준이며 천체물리학과 행성지질학에서 특징입니다.이러한 평형조건은 물체의 형태가 대칭적으로 타원체이며, 불규칙한 표면특징은 상대적으로 얇은 고체 지각의 결과로 나타난다.태양 외에도, 태양계에 존재하는 것으로 확인된 12개 정도의 평형 물체가 있다.

수학적 고려

지구의 유체 정역학적 유체의 경우:

$\displaystyle dP=-\rho (P)\cdot g(h)\cdot dh}$

힘의 합계에 의한 유도

뉴턴의 운동 법칙은 움직임이 없거나 일정한 속도 상태에 있는 유체의 부피는 반드시 0의 순력을 가져야 한다고 말한다.이것은 주어진 방향의 힘의 합계가 반대 방향의 힘의 등가 합계에 의해 반대되어야 한다는 것을 의미합니다.이 힘의 균형은 정수적 균형이라고 불립니다.

유체는 다수의 입방체 체적 요소로 분할할 수 있습니다. 단일 요소를 고려함으로써 유체의 작용을 유도할 수 있습니다.

세 가지 힘이 있습니다. 압력 P에서 입방체 상단으로 내려가는 힘은 압력의 정의에서 입방체 상부에 있는 유체의 압력 P에서 내려오는 힘입니다.

${\displaystyle F_{top}=-P_{top}\cdot A}$

마찬가지로 위쪽으로 밀어올리는 아래 유체의 압력으로 인해 체적 요소에 가해지는 힘은 다음과 같습니다.

${\displaystyle F_{bottom}=P_{bottom}\cdot A}$

마지막으로 볼륨 요소의 무게로 인해 아래쪽으로 힘이 가해집니다.밀도가 θ이고 부피가 V이고 표준 중력이 g이면 다음과 같다.

${\displaystyle F_{weight}=-\rho \cdot g\cdot V}$

이 정육면체의 부피는 정육면체의 부피를 구하는 공식인 위쪽 또는 아래쪽의 면적과 같습니다.

${\displaystyle F_{weight}=-\rho \cdot g\cdot A\cdot h}$

이러한 힘의 균형을 유지함으로써 유체에 가해지는 총 힘은

$\displaystyle \sum F=F_{bottom}+F_{top}+F_{weight}=P_{bottom}\cdot A-P_{top}\cdot A-\rho \cdot g\cdot A\cdot h}$

유체의 속도가 일정하면 이 합은 0이 된다.A로 나누면

$\displaystyle 0=P_{bottom}-P_{top}-\rho \cdot g\cdot h}$

아니면...

${\displaystyle P_{top}-P_{bottom}=-\rho \cdot g\cdot h}$

P_top - P는_bottom 압력의 변화이고 h는 체적 요소의 높이, 즉 지면 위의 거리의 변화입니다.이러한 변화가 극히 작다고 하는 것으로, 방정식을 미분 형식으로 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle dP=-\rho \cdot g\cdot dh}$

밀도는 압력에 따라 변화하고 중력은 높이에 따라 변화하므로 방정식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle dP=-\rho (P)\cdot g(h)\cdot dh}$

Navier에서 파생된 것–스토크스 방정식

마지막으로 이 마지막 방정식은 3차원 Navier를 풀어서 도출할 수 있습니다.–평형 상황에 대한 방정식을 강조합니다.

${\displaystyle u=vfrac {\displayx}=frac {\displayy}=0}$

$그럼{\displaystyle }$ 유일하게 중요하지 않은 방정식은 z$\displaystyle$z-equation인데$$, 이제 이 방정식은

$(\displaystyle\frac{\frac z}+\rho g=0)$

따라서, 정수적 균형은 특히 Navier의 단순한 평형 해법으로 간주될 수 있다.-방정식을 스토크합니다.

일반상대성이론으로부터의 유도

완벽한 유체를 위해 에너지 운동량 텐서를 꽂음으로써

${\displaystyle T^{\mu \nu}=(\rho c^{-2}+P)u^{\mu }u^{\nu }+Pg^{\mu \nu }}}$

아인슈타인 장 방정식에 포함되다

${\displaystyle R_{\mu \nu } = scfrac {8\pi G} {c^{4}}(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T)}$

보존 조건을 사용하여

${\displaystyle \displayla _{\mu }T^{\mu \nu }=0}$

등방성 좌표의 정공 대칭 상대론적 별의 구조에 대한 톨만-오펜하이머-볼코프 방정식을 도출할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {dP}{dr}=-{\frac {GM(r)\rho(r)}{r^{2}}\left(1+{\frac {P(r)}c^{2}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3R}{P}{P}{P}{P}{P}}}{P}}}{R}}$

실제로 δ와 δ는 f(δ, δ)=0 형태의 상태 방정식에 의해 별의 구성에 고유한 f와 관련된다.M(r)은 질량 밀도 θ(r)에 의해 가중된 구체의 편파이며, 가장 큰 구체의 반지름은 r이다.

$({displaystyle M(r)=4\pi \int _{0}^{r}dr'r'^2}\rho (r')}$

비상대론적 한계를 취할 때 표준 절차에 따라, 우리는 c→delative를 허용하여 인자가

$\displaystyle \left(1+{\frac {P(r)}{\rho(r)c^{2}}\right(1+{\frac {4\pi r^{3}P(r)}P(r)}{M(r)c^{2}}\right}\left(1-{-{\frac 2GM(r)}}}{right}}}{r}}}}}{right}{right}}}}$

따라서 비상대론적 한계에서 톨만-오펜하이머-볼코프 방정식은 뉴턴의 정수적 평형으로 감소한다.

${\displaystyle\frac {dP}{dr}=-{\frac {GM(r)\rho(r)}{r^{2}}=-g(r),\rho(r)\long rightrow dP=-\rh(h),g(h), dho(h)}$

(단순 표기법 h=r를 변경하고 f(δ, δ)=0을 사용하여 ^[4]θ를 P로 표현했습니다.)회전하는 축대칭 별에 대해서도 유사한 방정식을 계산할 수 있으며, 게이지 독립적인 형태로 다음과 같이 표시됩니다.

${\displaystyle {\frac _{i} {P+\rho}}-\frac _{i}+u_{t}u^{\phi}{\frac {u_{\phi}}}{u_{t}=0}$

TOV 평형 방정식과 달리 이들은 두 개의 방정식(예를 들어 항성을 다룰 때 통상적으로 구면 좌표를 기본${\displaystyle }$좌표${\displaystyle (}$ ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle r}$ ,$)$ )($tisplaystyle$ $($$t$ , $r$, \$theta$, \$phi$), 좌표 r 및$${\(\$displaystyle$ \$theta{\displaystyle }$})에 대해 실행되는 지수 i)입니다.

적용들

유체

정수적 균형은 유체정역학 및 유체 평형의 원리와 관련이 있다.정수 저울은 물 속 물질의 무게를 재기 위한 특별한 저울이다.정수적 균형은 그들의 특정한 중력을 발견하게 해준다.이 평형은 이상적인 유체가 일정한 수평 층류 상태일 때, 그리고 유체가 정지 상태이거나 일정한 속도로 수직 운동을 할 때 엄격하게 적용할 수 있습니다.또한 유속이 너무 낮아 가속도가 무시할 수 있을 때 만족스러운 근사치가 될 수 있습니다.

천체 물리학

별의 주어진 층에서, 아래에서 바깥쪽으로부터의 열압과 안쪽으로 누르는 위의 물질의 무게 사이에는 정수적 평형이 있습니다.등방성 중력장은 별을 가능한 한 가장 작은 형태로 압축합니다.정역학적 평형에서 회전하는 별은 일정한 각속도까지의 타원형 구상체이다.이러한 현상의 극단적인 예는 12.5시간의 자전 주기를 가진 별 베가이다.따라서 베가는 극지방보다 적도에서 약 20% 더 크다.임계 각속도 이상의 각속도를 가진 별은 야코비(스칼렌) 타원체가 되고, 더 빠른 회전 속도에서는 더 이상 타원체가 아니라 원형 또는 타원체이며, 스칼렌 이상의 모양은 ^[5]안정적이지 않지만 그 이상의 모양은 안정되지 않습니다.

만약 이 별에 근처에 거대한 동반성 물체가 있다면, 조력도 작용하여, 회전만 할 때 별을 스칼렌 모양으로 변형시켜 구형으로 만들 것입니다.그 예로는 Beta Lyrae가 있습니다.

정수적 균형은 은하단의 중심부에 존재할 수 있는 유체의 양을 제한하는 은하단 내 매질에도 중요합니다.

우리는 또한 은하단에서 암흑 물질의 속도 분산을 추정하기 위해 정수적 평형의 원리를 사용할 수 있습니다.바리온 물질(또는 그 충돌)만이 X선 방사선을 방출합니다.단위 부피당 절대 X선 광도는 L ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{\delta }_{}}$ B ( ${\displaystyle {}_{}}$B ) ${\displaystyle b_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$2 ( \ $displaystyle${ $L } _$ { X } = \ $Lambda$( T$_$ { $B$} ) \ $rho$_ { $B$}^2$}$、 여기서 $T{\displaystyle {}_{}}$ _ $display$ $style$ T _ { B$$} } ρ$$ ρ ρ$$ $\rho {\displaystyle {}_{}}$ B$$。$le \Lambda (T)}$는 온도와 기본 상수의 함수입니다.중입자 밀도는 위의 $방정식{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ P ${\displaystyle =}$ - ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle g}$ d$$ \ $displaystyle dP$= -\$rho gdr$을 만족한다.

$\displaystyle p_{B}(r+dr)-p_{B}(r)=-dr{\frac {rho _{B}(r)G}{r^{2}\int _{0}^{r}4\pi r^{2},\rho _{M}(r)-dr}$

적분은 클러스터의 총 질량을 측정한 $값$으로 r$\displaystyle$r은 클러스터의$$ 중심까지의 적절한 거리입니다.이상 기체 $법칙{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ B ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$B / ${\displaystyle m_{}}$B { $display style$ p _ { B } =$kT$_ { $B }$ \ $rho$_ { $B$} $$($$ { $style$ k$$}는$$ 볼츠만의 $상수$이고$$ { \ $displaystyle m_{B$}}는$$ 후방 입자의 특성입니다.)

${\displaystyle {frac {dr}\frac {kT_{B}(r)\rho_{B}}{m_{B}}\right)=-{\frac {rho_{B}(r)G}{r^2}\int {0^{r}pi}, r2$

${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle b_{}}$B (${\displaystyle r}$ $){$ $displaystyle$ r$^{2}/\rho$ _${B}(r)}$를 곱하여 r$\displaystyle$ r$}$의 수율에 $대한{\displaystyle }$ 미분

${\displaystyle {\frac {d} {\frac {r^{2}} {\rho _{B}(r)}} {\frac {dr}} {\frac {kT_{B}(r)\rho _{B}{m_{B}}\pi=오른쪽 gright ]}$

차가운 암흑물질 입자가 등방성 속도 분포를 갖는다고 가정하면 이러한 입자에 동일한 유도체가 적용되며, 그 밀도 ${\displaystyle {\theta }_{}}$ D $=$ M - ${\displaystyle {\delta }_{}}$ B$(\$ style $\rho$_{D}=\$rho$_{$M}-\rho$ _${B})$는 비선형 미분 방정식을 만족한다.

${\displaystyle {\frac {d} {\frac {r^{2}} {\rho _ {D}(r)}} {\frac {dr}} {\frac {kT_{D}(r)\rho _{D} {m_D}\pi}\right = gr4}}$

완벽한 X선과 거리 데이터를 사용하여 성단의 각 지점의 바리온 밀도를 계산하여 암흑 물질 밀도를 계산할 수 있습니다.${\displaystyle {다음}_{}^{}}$으로 속도분산δ D2$(\$ _${D}^2})$를 계산할 수 있습니다. 이 값은 다음과 같습니다.

${\displaystyle_{D}^{2}=black{kT_{D}}{m_{D}}}.}$

중심밀도비 ${\displaystyle b_{}\mathrm{B}}$ (${\displaystyle }$0${\displaystyle }$) / ${\displaystyle m_{}}$M (${\displaystyle 0}$ $){$ $displaystyle \rho$_ { $B }$ / \$rho$_ { $M$} ($0$ )는$$ 클러스터의 적색 $편이{\displaystyle }$z { $displaystyle$z}에$$ 의존하며 다음과 같이 표시됩니다.

$\displaystyle \rho _{B}(0)/\rho _{M}(0)\propto (1+z)^{2}\left({\frac {\theta }{s}}\right)^3/2}$

여기서$\theta {\displaystyle }$ {$displaystyle \theta}$는 $클러스터$의 각도 폭이고 s$${\$displaystyle$ s$}$는 클러스터까지의 적절한 거리입니다.비율 값은 다양한 조사의 ^[6]경우 .11 ~ .14입니다.

행성 지질학

정역학적 평형의 개념은 또한 천문학적인 물체가 행성인지, 왜행성인지, 아니면 작은 태양계 천체인지를 결정하는 데 있어 중요해졌다.2006년 국제천문연맹이 채택한 행성의 정의에 따르면 행성과 왜행성의 특징 중 하나는 행성 자체의 강성을 극복하고 유체정역학적 평형을 가정하기에 충분한 중력을 가진 천체라는 것이다.이러한 물체는 행성 4의 베스타와 같은 정력에 가까운 물체나 이전의 정력적인 물체도 분화할 수 있고, 일부 정수적인 물체(특히 칼리스토)는 형성 이후 완전히 분화되지 않았음에도 불구하고 종종 세계(평면)의 차별화된 내부와 지질을 가지고 있다.종종 평형 모양은 지구의 경우와 같이 타원형 구면체이다.그러나 동기 궤도에 있는 위성들의 경우, 거의 단방향 조력이 스칼렌 타원체를 만든다.또한 왜성 하우메아라고 알려진 행성은 현재 평형 상태에 있지는 않지만 빠른 자전으로 인해 스칼렌이다.

이전에는 얼음 물체가 암석 물체보다 유체 정역학적 평형을 이루기 위해 더 적은 질량을 필요로 하는 것으로 여겨졌다.평형 형상으로 보이는 가장 작은 물체는 396km의 얼음 위성 미마스이고, 분명한 평형 형상으로 알려진 가장 큰 얼음 물체는 420km의 얼음 위성 프로테우스이며, 명백한 평형 형상으로 보이는 가장 큰 바위 물체는 약 520km의 팔라스와 베스타이다.그러나 미마스는 현재 회전하는 동안 실제로 유체 정역학적 평형 상태에 있지 않다.유체 정역학적 평형 상태에 있는 것으로 확인된 가장 작은 물체는 945km의 얼음 행성인 케레스이며, 반면 유체 정역학적 평형에서 현저한 편차를 보이는 것으로 알려진 가장 큰 물체는 이아페투스가 대부분 투과성 얼음으로 이루어져 있고 바위가 ^[7]거의 없는 것으로 알려져 있다.1,469 킬로미터에 있는 이 위성은 구면도 아니고 타원체도 아니다.대신, 그것은 독특한 적도 ^[8]능선 때문에 오히려 이상한 호두 같은 모양을 하고 있다.일부 얼음 물체는 적어도 부분적으로 지표면 아래 바다 때문에 평형 상태에 있을 수 있는데, 이것은 IAU(내부 강체 힘을 극복하는 중력)에 의해 사용되는 평형의 정의가 아니다.더 큰 물체들도 비록 타원형이지만 유체정역학적 평형을 벗어납니다: 예를 들어 3,^[9]474 km에 있는 지구의 달과 4,880 km에 있는 ^[10]수성 행성입니다.

고체는 표면이 불규칙하지만 국소적인 불규칙성은 지구적 균형과 일치할 수 있다.예를 들어, 지구상에서 가장 높은 산의 거대한 기반인 마우나 케아는 주변 지각의 수준을 변형시키고 낮추어 전체 질량 분포가 평형에 근접하도록 했다.

대기 모델링

대기 중 공기의 압력은 고도가 높아짐에 따라 감소한다.이 압력 차이는 압력-구배력이라고 불리는 상승력을 일으킵니다.중력은 대기를 지구에 묶어두고 고도에 따른 압력 차이를 유지하며 이를 균형 있게 한다.

보석학

보석학자들은 원석의 비중을 결정하기 위해 정수 저울을 사용한다.보석학자는 그들이 정수적 균형으로 관찰하는 비중을 원석에 대한 표준화된 정보 카탈로그와 비교해서 조사 중인 원석의 정체성이나 종류를 좁히는 데 도움을 줄 수 있다.

「 」를 참조해 주세요.

• 태양계의 중력적으로 둥근 천체 목록; 자체 중력으로 인해 둥근 타원체 모양을 가진 천체 목록(단, 정수적 평형 상태에 있을 필요는 없음)
• 스태틱스
• 이풍선 실험

메모들

레퍼런스

• White, Frank M. (2008). "Pressure Distribution in a Fluid". Fluid Mechanics. New York: McGraw-Hill. pp. 63–107. ISBN 978-0-07-128645-9.

외부 링크

• 스트로벨, 닉(2001년 5월).닉 스트로벨의 천문학 노트입니다
• Richard Pogge, 오하이오 주립대학교 천문학과 유튜브 시연