클레라우트의 정리(중력)

클레라우트의 정리는 중력장과 원심력의 작용 아래 정수 평형에서 점성이 있는 회전 타원체의 표면 중력을 특징으로 한다. 그것은 알렉시스 클로드 클라이라우트에 의해 1743년에 출판되었는데, 이 논문은^[1] 지구가 말살된 회전 타원체라는 물리적, 측지학적 증거를 종합한 논문이다.^[2][3] 처음에는 지구 표면의 어느 지점의 중력을 그 지점의 위치와 연관시켜 지구의 타원성을 다른 위도에서 중력을 측정하여 계산할 수 있도록 하기 위해 사용되었다. 오늘날 그것은 대체로 소미글리아나 방정식으로 대체되어 왔다.

역사

지구가 구면이라는 것은 고대로부터 알려져 있었지만, 17세기경에는 완벽한 구체는 아니라는 증거가 축적되고 있었다. 1672년 장 리커는 중력이 지구 위에 일정하지 않다는 첫 번째 증거를 발견했다; 그는 프랑스령 기아나의 카이엔느로 진자 시계를 가져갔고 그것이 잃어버린 것을 발견했다. 파리에서의 그것과 비교했을 때, 하루에 2 ½분.^[4][5] 이것은 중력의 가속도가 파리보다 카이엔에서 덜하다는 것을 보여주었다. 진자중력계는 세계 외딴 지역으로 항해할 때 취하기 시작했으며, 중력 가속도는 적도보다 극지방에서 약 0.5% 더 높으며 위도가 증가함에 따라 중력이 완만하게 증가한다는 사실이 서서히 밝혀졌다.

영국의 물리학자 아이작 뉴턴은 자신의 프린키마티카(1687)에서 이 점을 설명하면서 지구의 형상에 대한 이론과 계산을 개략적으로 설명했다. 뉴턴은 지구가 정확하게 구체는 아니지만, 지구 자전의 원심력 때문에 극지방에서 약간 평평해진 타원형 모양을 하고 있다는 이론을 정확하게 세웠다. 지구의 표면은 적도보다 극지방의 중심에 더 가깝기 때문에, 그곳에서는 중력이 더 강하다. 기하학적 계산을 이용하여 그는 지구의 가상 타원형 모양에 대해 구체적인 주장을 했다.^[6]

프린키아의 목표는 자연 현상에 대한 정확한 답을 제공하는 것이 아니라, 과학에서 이러한 미해결 요인에 대한 잠재적 해결책을 이론화하는 것이었다. 뉴턴은 과학자들에게 설명되지 않은 변수를 더 자세히 살펴보라고 강요했다. 그가 영감을 준 두 명의 저명한 연구자는 알렉시스 클레라우트와 피에르 루이스 모퍼투이스였다. 그들은 둘 다 지구의 형상에 대한 뉴턴 이론의 타당성을 증명하려고 노력했다. 그러기 위해 그들은 자오선 호를 정확하게 측정하기 위해 라플란드로 원정길에 올랐다. 그러한 측정으로 그들은 지구의 편심도, 완벽한 구체로부터의 이탈 정도를 계산할 수 있었다. 클라이로트는 지구가 타원형이라는 뉴턴의 이론은 맞지만 계산이 틀렸다는 것을 확인하고, 그의 연구 결과를 가지고 런던 왕립학회에 편지를 썼다.^[7] 학회는 이듬해인 1737년 '철학적 거래'에 그의 발견을 폭로한 기사를 실었다. 클레로우는 뉴턴의 방정식이 어떻게 부정확한지 보여주었고, 지구에 타원형 모양을 증명하지 못했다.^[8] 그러나 그는 이론의 문제점을 수정했는데, 사실상 뉴턴의 이론이 옳다는 것을 증명할 수 있을 것이다. 클레로우는 뉴턴이 자신이 한 모양을 선택할 이유가 있다고 믿었지만, 프린키아에서는 그것을 지지하지 않았다. 클레라우트의 글은 그의 주장을 뒷받침하는 유효한 방정식도 제공하지 않았다. 이것은 과학계에서 많은 논란을 일으켰다.

클레로우가 1743년에 테리 드 라 피규어 데 라 테레르를 쓴 후에야 적절한 대답이 제공되었다. 그 속에서 그는 오늘날 더 공식적으로 클레라우트의 정리라고 알려진 것을 공포했다.

공식

위도 φ에 있는 스피로이드 표면의 중력 g에 의한 가속을 위한 클레라우트의 공식은 다음과 같았다.^[9][10]

${\displaystyle g(\varphi )=G_{e}\왼쪽[1+\왼쪽({\frac {5}{2}}m-f\오른쪽)\sin ^{2}\varphi \right]\,}$

여기서 $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\$는 적도에서의 중력 가속도 값이며, m 적도에서 원심력 대 중력의 비율이며, 지구의 자오선 부분의 평탄화 f는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle f={\frac {a-b}{a}\,}$

(여기서 a = 세미모어 축, b = 세미모어 축).

클라이로트는 신체가 일정한 밀도의 동심 동축 척추 층으로 구성되어 있다는 가정 하에 이 공식을 도출했다.^[11] 이 작업은 이후 라플레이스에 의해 추진되었는데, 라플레이스는 동일한 밀도의 표면이 스페로이드라는 초기 가정을 완화시켰다.^[12] 스톡스는 1849년에^[13] 외부 표면이 평형의 회전체인 한 어떤 밀도 법칙에도 정리가 적용된다는 것을 보여주었다.^[14][15] 주제의 역사, 그리고 g에 대한 보다 상세한 방정식은 칸에서 찾아볼 수 있다.^[16]

g에 대한 위의 표현은 소미글리아나 방정식(Carlo Somigliana 이후)으로 대체되었다.

지오디

지구의 회전력 형상은 지구가 축을 중심으로 자전하면서 발생하는 중력과 원심력 사이의 상호작용이 빚어낸 결과다.^[17][18] 그의 공국에서 뉴턴은 균일하게 회전하는 지구의 평형 모양은 1/230이 주어진 평탄화 f를 가진 회전 타원체라고 제안했다.^[19][20] 그 결과, 중력은 적도에서 극지방으로 증가한다. 클라이라우트의 정리를 적용함으로써 라플레이스는 f = 1/330인 15개의 중력 값에서 찾아냈다. 현대의 추정치는 1/298.25642이다.^[21] 자세한 내용은 지구의 그림을 참조하십시오.

지오디 참조 지구 모델 구성에 대한 자세한 설명은 채팅 필드를 참조하십시오.^[22]

참조