균등분포

이 글에는 참고문헌, 관련 독서 또는 외부 링크 목록이 수록되어 있으나 인라인 인용구가 부족하여 출처가 불분명하다. 보다 정밀한 인용문을 도입하여 이 글을 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2019년 8월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

수학에서 균질 분포는 유클리드 공간 Rⁿ 또는 Rⁿ \ {0}에 대한 분포 S로, 대략적으로 말해서,

${\displaystyle S(tx)=t^{m}S(x)\,}$

모든 t > 0에 대하여.

더 정확히 말하면, $\mu {\displaystyle {}_{}{t}_{}}$ : ${\displaystyle xx}$x / ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mu _{t}:x\mapsto$ x$/t}$을(를) R의ⁿ 스칼라 분할 연산자로$$ 두도록 한다.다음과ⁿ 같은 경우ⁿ R 또는 R \ {0}의 분포 S는 도 m의 균일하다.

$\displaystyle S[t^{-n}\varphi \circu \mu _{t}=t^{m}S[\varphi ]}$

모든 양의 real t 및 모든 테스트 기능에 대해 for.국소적으로 통합할 수 있는 기능에 대한 동질성의 일반적인 개념을 재현하기 위해⁻ⁿ t의 추가 요소가 필요하며, Jacobian의 변수 변화에서 비롯된다.숫자 m은 실제일 수도 있고 복잡할 수도 있다.

푸리에 분석의 많은 기법, 특히 푸리에 변환의 많은 기법이 충족되려면 필요하지만, 주어진 균일한 분포를 Rⁿ \ {0}에서 R에ⁿ 대한 분포로 확장하는 것은 비교가 되지 않는 문제가 될 수 있다.그러나 그러한 연장은 고유하지는 않을지라도 대부분의 경우에 존재한다.

특성.

S가 Rⁿ \ {0} 도 α에 대한 균일한 분포인 경우 S의 약한 첫 번째 부분 파생 모델

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}}}$

α-1의 학위를 가지고 있다.더욱이, 오일러의 동질 함수 정리의 한 버전은 다음과 같다: 분포 S는 만약의 경우에 한해서만 α의 동질이다.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial S}{\partial x_{i}}=\alpha S.}$

원차원

동질 분포의 완전한 분류는 한 차원에서도 가능하다.R \ {0}에 대한 균일한 분포는 다양한 전원 기능에 의해 제공된다.전력함수 외에도, R에 대한 균일한 분포에는 Dirac 델타 함수와 그 파생상품이 포함된다.

Dirac 델타 함수는 도 -1의 균일하다.직관적으로,

${\displaystyle \int_{\mathb {R}\delta (tx)\dx=\int_{\mathb {R}}\delta (y/t)\{\frac {t}{t}={-1}\varphi (0)}$

변수 y = tx를 "sv"에서 변경.더욱이 델타함수 Δ의^(k) k번째 약한 파생상품은 도 -k-1의 균일하다.이러한 분포는 모두 원점으로만 구성되며, R \ {0}에 걸쳐 지역화되었을 때 이러한 분포는 모두 동일하게 0이다.

x^α
₊

한 차원에서는 함수가

${\displaystyle x_{+}^{\present }={\case}x^{\case}{\case}}}{\cext{{}}}}}}}}}$

R \ {0}에서 로컬로 통합할 수 있으므로 분포를 정의하십시오.분포는 도 α의 동질이다.Similarly ${\displaystyle x_{-}^{\alpha }=(-x)_{+}^{\alpha }}$ and ${\displaystyle x ^{\alpha }=x_{+}^{\alpha }+x_{-}^{\alpha }}$ are homogeneous distributions of degree α.

단, 이러한 분포 각각은 Re(α) > -1이 제공한 모든 R에서 국소적으로만 통합할 수 있다.그러나 위의 공식에 의해 순진하게$$ 정의된 $x{\displaystyle {}_{}^{}}$ +${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ 함수 x + α ≤ -1에 대해 로컬로 통합할 수 없음에도 불구하고 매핑은 실패함

${\displaystyle \cHB \mapsto x_{+}^{\cHB }}}}$

강화 분포의 위상학적 벡터 공간에 대한 오른쪽 반평면으로부터 홀로모르픽 함수다.각 음의 정수 α = -1, -2, ....에 간단한 극을 가진 독특한 용모형 확장을 인정한다.결과적인 확장은 α의 동질성이며, 만약 α가 음의 정수가 아니라면, 한편으로는 관계가 있기 때문이다.

${\displaystyle x_{+}^{\barphi \mu _{t}=t^{\mu_{t}={\1}x_{+}^{\displaysty }}}$

holds and holomorphic in α > 0. 반면에 양쪽은 모두 α로 비오형적으로 확장되어, 따라서 정의영역 전체에서 동등하게 유지된다.

정의 영역 전체에서 x는^α
₊ 또한 다음과 같은 속성을 만족한다.

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}x_{+}^{\properties }=\properties x_{+}^{\frac -:1}}$
• ${\displaystyle xx_{+}^{\n1}^{\displaystyle xx_{+}^{\message +1}}$

기타 확장자

검정력 함수의 정의를 음의 정수에서 R의 균일한 분포로 확장하는 몇 가지 뚜렷한 방법이 있다.

χ^α
₊

음의 정수에 있는^α
₊ x의 극은 리노멀라이징을 통해 제거할 수 있다.놓다

${\displaystyle \chi _{+}^{+}}={\frac {x_{+}^{\alpha }}{\Gamma (1+\alpha )}}}.}$

이것은 α의 전체 함수다.음의 정수에서는

${\displaystyle \chi _{+}^{-k}=\cHB ^{(k-1)}$

${\displaystyle {}_{}^{}}$ $\chi {\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\$에 속성이 있음$$

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}\chi _{+}^{\pair }=\chi _{+}^{\pair -1}$
• ${\displaystyle x\chi _{+}^{+}^{+}=\cHB \chi _{+}^{\cHB +1}.$

${\displaystyle {\underline{x}^{k}}$

두 번째 접근법은 k = 1, 2, ...에 대한 분포 $x$${\displaystyle {\_}^{}}$ ${\$를 정의하는 것이다.

${\displaystyle {\underline{x}^{-k}={\frac {(-1)^{k-1}{(k-1)!}}{\frac{d^{k}}{dx^{k}}\log x .}$

이는 전력 기능의 원래 특성을 명확하게 유지한다.

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\underline {x}^{-k}=-k{\underline{x}^{-k-1}$
• ${\displaystyle x{\underline{x}^{-k}={\underline{x}^{-k+1},\displays{\text{}k}1.}$

이러한 분포는 또한 시험 기능에 대한 작용으로 특징지어진다.

${\displaystyle {\c}^{-k}=\int _{-\frac {\phi(x)-\sum _{j-1}x^{j-1}x^{j}\phi ^{(j)}(0)/j!}}{x^{k}}}\,dx,}$

따라서 힐버트 변환에서 발생하는 1/x의 Cauchy 기본 가치 분포를 일반화한다.

(x ± i0)^α

또 다른 균질 분포는 분포 한계에 의해 주어진다.

$(x+i0)^0}(x+i\epsilon )^{\reason }=\lim _{\epsilon \downarrow 0}(x+i\epsilon )^{\reas }}$

즉, 시험 기능에 따라 행동하는 것이다.

$(x+i0)^{\alpha }[\varphi ]=\lim _{\epsilon \downarrow 0}\int_{\mathb {R}(x+i\epsilon )^{\alpha }\varphi (x)\dx.}$

로그의 분기는 상부 하프 평면에서 단일 값을 가지며 양의 실제 축을 따라 자연 로그와 일치하도록 선택된다.전체 함수의 한계로서 (x + i0)[^αφ]는 α의 전체 함수다.마찬가지로

${\displaystyle (x-i0)^{\data }=\lim _{\epsilon \downarrow 0}(x-i\epsilon )^{\mission }}}}$

또한 모든 α에 대해 잘 정의된 분포임

Re α > 0일 때,

${\displaystyle (x\pm i0)^{}}^{}\x_{+}^{}\pm i\pi \x_{-}^{\message }}}}}$

그런 다음 α가 음의 정수가 아닐 때마다 분석적 연속성에 의해 유지된다.기능적 관계의 영속성에 의해

${\displaystyle {\frac}{dx}(x\pm i0)^{\dx}(x\pm i0)^{\pm -1}.}$

음의 정수에서는 정체성이 유지된다(R \ {0}의 분포 수준에서).

${\displaystyle (x\pm i0)^{-k}=x_{+}^{-k}+(-1)^{k}x_{-}^{-k}\pm \pi i(-1)^{k}{\frac {\frac ^{(k-1)}{{(k-1)}{(k-1)!}},}$

그리고 특이점들은 R에 잘 정의된 분포를 주기 위해 취소된다.두 분포의 평균은 $x{\displaystyle {\underset{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\_}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$k ${\$:

${\displaystyle {\frac {(x+i0)^{-k}+(x-i0)^{-k}}{-2}}={\underline{x}^{-k}.}$

두 분포의 차이는 델타 함수의 배수:

${\displaystyle (x+i0)^{-k}-(x-i0)^{-k}=2\pi i(-1)^{k}{\frac {\frac{(k-1)}{{(k-1)}{(k-1)!}},}$

'플멜지 점프 관계'로 알려져 있지

분류

다음의 분류 정리는 (Gel'fand & Shilov 1966, §3.11)을 포함한다.S는 R \ {0}에 대한 α의 균일한 분포가 되도록 한다.그런 다음 $일부{\displaystyle }$ 상수 a, b에 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ S${\displaystyle }$= ${\displaystyle x{}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ -${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ S$=ax_{+}^{+}^{\alpha }{+bx_{-}^{\alpha }}}}}}.$R에 대한 모든 분포 S는 도 α α α α -1, -2, ...의 동질 분포도 이 형식이다.그 결과, R \ {0}에 대한 도 α α α α -1, -2, ...의 모든 균일한 분포는 R까지 확장된다.

마지막으로, R에 대한 음의 정수인 도 -k의 균일한 분포는 모두 형식이다.

${\displaystyle a{\underline{x}^{-k}+b\properties ^{(k-1)}}$

상위 치수

원점이 삭제된 유클리드 공간 Rⁿ \ {0}에 대한 균일한 분포는 항상 형식이다.

${\displaystyle S(x)=f(x/ x ) x ^{\lambda }\,}$

(1)

여기서 ƒ은 단위 구 S에ⁿ⁻¹ 분포한다.균질 분포 S의 정도인 숫자 λ은 실제일 수도 있고 복잡할 수도 있다.

Rⁿ \ {0}에 대한 (1) 형식의 균일한 분포는 Re provided > -n이 제공한 R에ⁿ 대한 균일한 분포로 고유하게 확장된다.실제로, 1차원 사례와 유사한 분석적 연속성 인수는 모든 ≠ - -n, -n-1, ....에 대해 이를 확장한다.

참조

• Gel'fand, I.M.; Shilov, G.E. (1966), Generalized functions, vol. 1, Academic Press.
• Hörmander, L. (1976), Linear Partial Differential Operators, Volume 1, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-00662-6.
• Taylor, Michael (1996), Partial differential equations, vol. 1, Springer-Verlag.