칼라비 추측

수학에서 칼라비 추측은 외제니오 칼라비(1954년, 1957년)가 만들고 신퉁 야우(1977년, 1978년)가 입증한 특정 복합 다지관에 특정한 "착한" 리만 지표의 존재에 대한 추측이었다.야우는 1982년 이 증거로 필즈 메달을 일부 받았다.

칼라비 추측에 따르면 소형 케흘러 다지관은 리치의 형태가 최초의 체르누스 계급을 대표하는 어떤 주어진 2개의 형태인 같은 등급의 독특한 케흘러 계량기를 가지고 있다.특히 첫 번째 체르누스 계급이 소멸할 경우, 리치 곡률의 소멸과 같은 계급에 독특한 칼러 지표가 있다; 이것들은 칼라비-라고 불린다.Yau 다지관.

좀 더 형식적으로 칼라비 추측에 의하면 다음과 같다.

If M is a compact Kähler manifold with Kähler metric ${\displaystyle g}$ and Kähler form ${\displaystyle \omega }$, and R is any (1,1)-form representing the manifold's first Chern class, then there exists a unique Kähler metric ${\displaystyle {\tilde {g}}}$ on M with Kähler form ${\displaystyle {\tild$$e {\omega }}}$ such that ${\displaystyle \omega }$ and ${\displaystyle {\tilde {\omega }}}$ represent the same class in cohomology ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {R} )}$ and the Ricci form of ${\displaystyle {\tilde {\omega }}}$ is R.

칼라비 추측은 케흘러 다지관이 케흘러-아인슈타인 지표를 가지고 있는 문제와 밀접한 관련이 있다.

켈러-아인슈타인 지표

칼라비 추측과 밀접하게 관련된 추측에 따르면, 만약 작은 케흘러 품종이 음, 0, 또는 양성의 첫번째 체르누스 등급을 가지고 있다면, 그것은 다시 계산하기 위한 독특한 케흘러 미터법과 같은 등급의 케흘러-아인슈타인 미터법을 가지고 있다.이것은 1976년 티에리 오빈과 신퉁 야우에 의해 독립적으로 음의 최초의 체르누스 계급에 대해 증명되었다.체르누스 계급이 0일 때 그것은 칼라비 추측의 쉬운 결과로 야우에 의해 증명되었다.이러한 결과는 칼라비에 의해 명시적으로 추측된 적이 없지만, 그가 1954년 국제수학자대회 강연에서 발표한 결과에서 따랐을 것이다.^{[citation needed]}

최초의 체르누스 계급이 양성이었을 때, 위의 추측은 실제로 마쓰시마 요조의 결과로서 거짓이 되며, 이는 양의 스칼라 곡률의 케흘러-아인슈타인 다지관의 복잡한 자동화 집단이 반드시 환원된다는 것을 보여준다.예를 들어, 2개 지점에서 폭파된 복잡한 투영 평면은 Kahler-Ainstein 측정기준이 없으므로 counterrexample도 마찬가지다.복잡한 자동화로 인해 발생하는 또 다른 문제는 그것이 존재하더라도 케흘러-아인슈타인 지표에 대한 고유성의 결여로 이어질 수 있다는 것이다.그러나, 복합 자동화가 긍정적인 경우에서 발생하는 유일한 어려움은 아니다.실제로, Yau 외 연구진은 첫 번째 체르누스 클래스가 양수일 때 K-안정적인 경우에만 Kahler-Einstein 측정기준을 인정한다고 추측했다.이러한 추측의 증거는 2015년 1월 쉬시옹 첸, 사이먼 도날드슨, 송선 등이 발표했으며, 티안은 2015년 9월 16일 전자적으로 발표한 증거를 제시했다.^{[1][2][3][4][5]}

반면에, 복합 치수 2의 특별한 경우, 양의 첫 번째 체르누스 계급을 가진 콤팩트한 복합 표면은 그것의 자동형성이 환원되는 경우에 한해 케흘러-아인슈타인 계수를 인정한다.이 중요한 결과는 종종 강톈에 기인한다.톈의 증명 이후, 관련 논쟁의 일부 단순화 및 개선들이 있었다; 오다카, 스팟티, 쑨의 논문은 다음과 같이 인용했다.따라서 이러한 Kahler-Ainstein 지표를 인정하는 복잡한 표면은 정확히 복잡한 투영 평면이며 투영 라인의 두 복사본의 산물이며 투영 평면의 블로업이다.^{[citation needed]}

칼라비 추측의 증거 개요

칼라비는 칼라비 추측을 복잡한 몽게-암페어 유형의 비선형 부분 미분 방정식으로 변형시켰고, 이 방정식이 최대 한 가지 해답을 가지고 있다는 것을 보여줌으로써 필요한 케흘러 메트릭의 고유성을 확립했다.

야우는 연속성 방법을 사용하여 이 방정식의 용액을 구성함으로써 칼라비 추측을 증명했다.여기에는 먼저 더 쉬운 방정식을 푼 다음, 쉬운 방정식의 해법이 하드 방정식의 해법으로 연속적으로 변형될 수 있다는 것을 보여주는 것이 포함된다.Yau의 해결책 중 가장 어려운 부분은 해결책의 파생상품에 대한 확실한 선험적 추정치를 입증하는 것이다.

칼라비 추측을 미분방정식으로 변환

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가$)$ $Kahler{\displaystyle }$ 형식 Ω {\displaystyle $\omega }$을(를) 가진 복잡한 콤팩트 매니폴드라고$$ 가정하자$.$ 같은 클래스에 있는 다른 Kahler 형식은 모두 형식이다.

$\desplaystyle \omega +dd'\varphi }$

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 일부 부드러운 함수 $for{\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$의 경우 상수를 추가할 수 있는 고유한 기능$.$따라서 칼라비 추측은 다음과 같은 문제와 동등하다.

Let $F{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle f^{}}$ ${\$는 $평균$ 값이 1인 M ${\displaystyle$ M$}$에서 $양$의 부드러운 함수가 된다.그 다음에는 다음과 같은 부드러운 실제 함수 $function{\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi$ $\}$ ;이 있다.

${\displaystyle (\omega +dd'\varphi )^{m}=e^{f}\omega ^{m}}}$

$및{\displaystyle }$ ▼ ${\displaystyle \varphi }$; 상수를 추가할 때까지 고유함.

단일함수 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$에 대한 복합 몽에-암페어 유형의 방정식이며$,$ 최고 순서의 관점에서 비선형이기 때문에 특히 풀기 어려운 부분 미분 방정식이다.$f$${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\$$displaystyle$ $f=$$0}$이$($가) 해결책이면$$ 쉽게 풀 수 있다$.$연속성 방법의 개념은 $풀$ 수$$있는 f {\$displaystyle$ f$}$의 집합이 열린 상태와 닫힌 상태임을 $보여줌$으로써 모든$$f {\$displaystyle$ f$}$에 대해 풀 수 있음을 보여주는 것이다.해결할 수 있는 $f$ ${\displaystyle f}$ 집합은 비어 있지 않고, $모든{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$ 집합이 연결되어 있으므로, 이는$$ 모든 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에 대해 해결할 수 있음을 보여준다$.$

매끄러운 기능에서 매끄러운 기능에 이르는 맵으로 $정의$된 defined$$ ${\displaystyle \varphi }$에서 F ${\displaystyle$ F$}$까지 $이동$

${\displaystyle F=(\omega +dd'\varphi )^{m}/\omega ^{m}}$

주입적이거나 낙담적이지 않다.상수를 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$에 추가해도$$ F ${\displaystyle F}$이$($가) 변경되지 않기 때문에 $주입$되지 않으며$,$ F {\$displaystyle$ F$}$이(가$$) 양수여야 하고 평균 값 1이어야 하므로 돌출적이지 않다.그래서 우리는 평균값 0으로 정규화된 함수$$ $functions{\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$으로 제한된 지도를 보고, 이 지도가 평균값 1을 가진$$ $양$의${\displaystyle }$F = ${\displaystyle {}^{}}$ = ${\displaystyle e^{}}${\$displaystyle F=e^{f}$의 집합에 대한 이형성인지 묻는다.칼라비와 야우는 그것이 실로 이소모르피즘임을 증명했다.이것은 아래에 설명된 몇 가지 단계로 이루어진다.

용액의 고유성

솔루션이 고유하다는 것을 입증하는 것은 다음과 같은 경우

${\displaystyle (\omega +dd'\varphi _{1}^{m}=(\omega +dd'\varphi _{2}}^{m})}$

그₁ 다음, and과₂ differ은 상수에 의해 다르다. 따라서 둘 다 평균값 0을 갖기 위해 정규화된 경우에는 같아야 한다.칼라비는 평균값의 차이를 보여줌으로써 이를 증명했다.

${\displaystyle d(\varphi _{1}-\varphi _{2}) ^{2}}$

기껏해야 0인 표현으로 주어진다.명백하게 0 이상이기 때문에 0이 되어야 하기 때문에

${\displaystyle d(\varphi _{1}-\varphi _{2}=0}$

결국 and과₁ φ이₂ 상수로 차이를 보이게 된다.

F의 세트가 열려 있다.

가능한 F의 집합이 열려 있다는 것을 증명하는 것은 (평균값 1의 부드러운 함수의 집합에서) 어떤 F에 대한 방정식을 풀 수 있다면 충분히 가까운 F에 대해 해결할 수 있다는 것을 보여주는 것을 포함한다.칼라비는 바나흐 공간에 대한 암묵적 함수 정리를 사용하여 이것을 증명했다: 이것을 적용하기 위해서는 위의 미분 연산자의 선형화가 역행성이라는 것을 보여주는 것이 주된 단계다.

F 세트가 닫혔다.

이것이 증거 중에서 가장 어려운 부분이고, 야우가 한 부분이었다.F가 가능한 함수 φ의 이미지의 닫힘에 있다고 가정한다.즉, 해당함수₁ F, F₂, ...가 F로 수렴되는 함수₁ ,, φ₂, ...의 순서가 있으며, 문제는 s의 일부 부속이 솔루션 φ으로 수렴되는 것을 보여주는 것이다.이를 위해 Yau는 로그(f_i)의 상위 파생상품 측면에서 함수 φ과_i 그 상위 파생상품에 대한 일부 선행 한계를 찾는다.이러한 한계를 찾으려면 긴 일련의 하드 추정치가 필요하며, 각각 이전 추정치보다 약간 개선된다.Yau가 얻는 경계는 함수 φ_i 모두 적절한 바나흐 공간의 콤팩트한 부분집합에 있다는 것을 보여주기에 충분하므로 수렴성 서열을 찾을 수 있다.이 하위열은 이미지 F와 함수 φ로 수렴되며, 이는 가능한 이미지 F의 세트가 닫혔음을 보여준다.

참조

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• Matsushima, Yozô (1957). "Sur la structure du groupe d'homéomorphismes analytiques d'une certaine variété kählérienne". Nagoya Mathematical Journal. 11: 145–150. doi:10.1017/s0027763000002026. MR 0094478.
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• Tian, Gang (1990). "On Calabi's conjecture for complex surfaces with positive first Chern class". Inventiones Mathematicae. 101 (1): 101–172. Bibcode:1990InMat.101..101T. doi:10.1007/bf01231499. MR 1055713. S2CID 59419559.
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외부 링크

• Yau, Shing Tung (2009), "Calabi-Yau manifold", Scholarpedia, 4 (8): 6524, Bibcode:2009SchpJ...4.6524Y, doi:10.4249/scholarpedia.6524