지오포텐셜 모델

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지구물리학 및 물리지오디에서 지오포텐셜 모델은 지구 중력장(지오포텐셜)의 영향을 측정하고 계산하는 이론적 분석이다.

뉴턴의 법칙

뉴턴의 만유인력의 법칙에 따르면 질량 분리 r의 중심과 함께 두 점 질량 m과₁ m₂ 사이에 작용하는 중력 F는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \mathbf {F} =-G{\frac {m_{1}m_{2}}:{r^{2}}\mathbf {\hat{r}}}}}}}$

여기서 G는 중력 상수, r̂은 방사형 단위 벡터다. 연속적인 질량 분포의 비점 같은 물체의 경우, 각 질량 원소 dm은 작은 부피에 걸쳐 분포된 질량으로 취급될 수 있으므로, 물체 2의 범위에 걸쳐 통합된 부피는 다음을 제공한다.

${\displaystyle \mathbf {\bar {F} =-gm_{1}\int \limits _{V}{\frac {\rho_{2}}:{r^{2}}\}\mathbf {\r}\dy\,dz}$

(1)

상응하는 중력 전위로

${\displaystyle u=-G\int \limits _{V}{\frac {\rho_{2}}:{r}\,dx\,dy\,dz}$

(2)

여기서 ρ₂ = ρ(x, y, z)은 체적 요소에서 질량 1에 이르는 방향의 질량 밀도다. $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$은 단위 질량 당 중력 전위 에너지다.

균질 구의 경우

sphererically 대칭 질량 밀도를 갖는 구의 특별한 경우, = = (s, 즉 밀도는 방사상 거리에만 의존한다.

${\displaystyle s={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\,.}$

이러한 통합은 분석적으로 평가할 수 있다. 이 경우 다음과 같이 말하는 껍데기 정리다.

${\displaystyle {\bar{F}=-{\frac {GM}{R^{2}}\\hat{r}}}}$

(3)

그에 상응하는 잠재력을 가지고.

${\displaystyle u=-{\frac {GM}{r}}}$

(4)

여기서 M = ∫_Vρ(s)dxdz는 구의 총 질량이다.

구형 고조파 표현

사실, 지구는 정확히 구형이 아니며, 주로 그것의 모양을 약간 말살시키는 극축 주위의 회전 때문이다. 이 모양이 정확한 질량 밀도 ρ = ρ(x, y, z)와 함께 완벽하게 알려져 있다면, 적분 (1)과 (2)를 수치적 방법으로 평가하여 지구의 중력장에 대한 보다 정확한 모델을 찾을 수 있을 것이다. 그러나 사실은 정반대다. 우주선과 달의 궤도를 관측함으로써 지구의 중력장을 상당히 정확하게 파악할 수 있으며, 다른 물리적 방법을 사용하여 낮은 상대적 정확도로 결정된 G 값을 사용하여 우주선 궤도를 분석한 결과 산출물 GM을 우주선 궤도를 분석함으로써 지구 질량의 최선의 추정치를 얻는다.

정의 방정식 (1)과 (2)를 통해 (통합체의 부분적 파생물을 취함) 빈 공간에 있는 신체 외부에서의 다음과 같은 미분 방정식이 신체에 의해 야기되는 분야에 유효하다는 것이 명백하다.

${\displaystyle {\frac {\partial F_{x}}{\partial x}+{\partial y}{\partial F_{y}}}{\partial F_}{z}}}{\partial z}=0}$

(5)

${\displaystyle {\frac {\fract ^{2}u}{\frac x^{2}}+{\fract y^{2}}{\frac {\fract z^}}=0}$

(6)

Functions of the form ${\displaystyle \phi =R(r)\,\Theta (\theta )\,\Phi (\varphi )}$ where (r, θ, φ) are the spherical coordinates which satisfy the partial differential equation (6) (the Laplace equation) are called spherical harmonic functions.

그들은 다음과 같은 형태를 취한다.

${\displaystyle {\displaysty}g(x,y,z)&={\frac {1}{r^{n+1}}P_{n}^{n}^{m}(\sin \theta )\cos m\varphi \&#0&\leq m\\leq n\n\n&n&=0,1,2,\dots \\\h(x,y,z)&={\frac {1}{r^{n+1}}}}}}}}}}}}}P_{n}^{m}^{m}(\sin \theta )\sin m\varphi \1&\leq m\leq n\n&=1,2,\dots \end{aigned}}}}}}}$

(7)

여기서 구면 좌표(r, θ, φ)가 사용되며, 참조를 위해 데카르트(x, y, z) 단위로 여기에 제시된다.

${\displaystyle {\displaysty}x&=r\cos \theta \cos \varphi \\y&=r\cos \thin \varphi \z&=r\sin \theta \lined}}}}}$

(8)

또한 P는⁰_n Legendre 다항식이고 P는^m_n 1≤m n n은 연관된 Legendre 함수다.

n = 0, 1, 2, 3의 첫 번째 구형 고조파들은 아래 표에 제시되어 있다.

n	구형 고조파
0	${\displaystyle {\frac {1}{r}}$
1	${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}P_{1}^{0}(\sin \theta )={\frac {1}{r^{2}}}\sin \theta }}$
	${\displaystyle {\frac{1}{r^{2}}P_{1}^{1}{1}{1}{1}(\sin \theta )\cos \varphi ={\frac{1}{r^{2}}}\cos \theta \cos \varphi }}}$
	${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}P_{1}^{1}{1}{1}{1}{1}(\sin \theta )\sin \varphi ={\frac{1}{r^{2}}}\cos \theta \sin \varphi }}}$
2	${\displaystyle {\frac{1}{r^{3}P_{2}^{0}(\sin \theta )={\frac {1}{r^{3}}{\frac {1}{1}{1}{1}}}{{1}}}}}{3}}}}}{\frac{3\sin ^}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$
	${\displaystyle {\frac {1}{r^{3}P_{2}^{1}(\sin \theta )\cos \varphi ={\frac {1}{r^{3}}}3\sin \cos \theta \cos \cos \varphi }}}}}$
	${\displaystyle {\frac{1}{r^{3}P_{2}^{1}(\sin \theta )\sin \varphi ={1}{r^{3}}}}}\sin \theta \cos \theta \sin \sin \varphi }}}}}}}}$
	${\displaystyle {\frac {1}{r^{3}}P_{2}^{2}^{2}(\sin \theta )\cos 2\varphi ={\frac {1}{1}{r^{3}}}3\cos ^{2}\ta \cos 2\varphi }}}}}}$
	${\displaystyle {\frac{1}{r^{3}}P_{2}^{2}^{2}(\sin \theta )\sin 2\varphi ={\frac {1}{1}{r^}}}3\cos ^{2}\theta \sin 2\varphi }}}}}}}}}}}}}}}$
3	${\displaystyle {\frac{1}{r^{4}P_{3}^{0}(\sin \theta )={\frac {1}{r^{4}{\1}{1}{1}}}{\frac {1}{1}}}}\sin \cin \(5\sin ^{2}\ta -3)}$
	${\displaystyle {\frac{1}{r^{4}}P_{3}^{1}(\sin \theta )}\cos \varphi ={\frac{1}{1}{r^{4}}{\frac {3}{3}}}}}{2}}\cos \cos \cos \varpi \cos \varpi \cos \varvarvarpi }$
	${\displaystyle {\frac{1}{r^{4}}P_{3}^{1}(\sin \theta )}\sin \varphi ={1}{r^{4}}{\frac {3}{3}}}{2}}\cos \cosinvarphi }}}}}$
	${\displaystyle {\frac{1}{r^{4}}P_{3}^{2}(\sin \theta )\cos 2\varphi ={\frac {1}{r^{4}}15\sin \theta \cos ^{2}\cos 2\varphi }}}}$
	${\displaystyle {\frac {1}{r^{4}}P_{3}^{2}(\sin \theta )\sin 2\varphi ={\frac {1}{r^{4}15\sin \theta \cos ^{2}\ta \sin 2\varphi }}}}}}}}$
	${\displaystyle {\frac{1}{r^{4}}P_{3}^{3}}{3}(\sin \theta )\cos 3\varphi ={\frac {1}{1}{r^}15\cos ^{3}\teta \cos 3\varphi }}}}}$
	${\displaystyle {\frac{1}{r^{4}P_{3}^{3}^{3}(\sin \theta )\sin 3\varphi ={\frac {1}{1}{r^}15\cos ^{3}\ta \sin 3\varphi }}}}}}}$

지구 중력 전위의 모델은 합이다.

${\displaystyle u=-{\frac {\mu }{r}}+\sum _{n=2}^{N_{z}}{\frac {J_{n}P_{n}^{0}(\sin \theta )}{r^{n+1}}}+\sum _{n=2}^{N_{t}}\sum _{m=1}^{n}{\frac {P_{n}^{m}(\sin \theta )\left(C_{n}^{m}\cos m\varphi +S_{n}^{m}\sin m\varphi \right)}{r^{n+1}}}}$

(9)

여기서 $\mu {\displaystyle }$= ${\displaystyle G}$ M ${\displaystyle \mu =GM}$ 및$$ 좌표(8)는 기준 타원체 중심에 원점이 있고 극축 방향에 z축이 있는 공간까지 확장된 표준 측지 기준 시스템에 상대적이다.

지역 용어(Zonal terms)는 다음 형식의 항을 참조한다.

${\displaystyle {\frac {P_{n}^{0}(\sin \theta )}{r^{n+1}}\quad n=0,1,2,\dots }}$

그리고 용어들은 형식상의 용어들을 가리킨다.

${\displaystyle {\frac {P_{n}^{m}(\sin \theta )\cosm\varphi }{r^{n+1}}\\ch\leq m\leq n=1,2,\dots }}$

${\displaystyle {\frac {P_{n}^{m}(\sin \theta )\sin m\varphi }{r^{n+1}:{n+1}:{n2}}:$

n = 1에 대한 영역 및 테스럴 용어는 (9)에서 제외된다. m=0과 m=1 항을 모두 가진 n=1 계수는 다극 팽창에서 임의 지향 쌍극 항에 해당한다. 중력은 물리적으로 쌍극자 문자를 나타내지 않으므로 n = 1의 적분 특성은 0이어야 한다.

그런 다음 서로 다른 계수 J_n, C_n^m, S는_n^m 계산된 우주선 궤도와 관측된 우주선 궤도 사이의 가능한 최선의 합치를 얻는 값을 받는다.

홀수⁰_n n에 대한 P(x⁰_n) = -P(-x) 비제로 계수 J는_n 지구의 질량 분포에 대한 적도 평면에 상대적인 "북남" 대칭의 결여에 해당한다. 0이 아닌 계수 C_n^m, S는_n^m 지구의 질량 분포에 대한 극축 주위의 회전 대칭의 부족, 즉 지구의 "삼축성"에 해당한다.

n의 큰 값에 대해 (r^{(n + 1)} in (9)로 나눈) 위의 계수들은 예를 들어 킬로미터와 초를 단위로 사용할 때 매우 큰 값을 취한다. 문헌에서 지구 반경에 가까운 일부 임의의 "기준 반경" R을 소개하고 치수가 없는 계수를 사용하는 것이 일반적이다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {J_{n}}}&=-{\frac {J_{n}}{\mu \ R^{n}}},&{\tilde {C_{n}^{m}}}&=-{\frac {C_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}},&{\tilde {S_{n}^{m}}}&=-{\frac {S_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}}\end{aligned}}}$

그리고 잠재력을 다음과 같이 쓰는 것.

${\displaystyle u=-{\frac {\mu }{r}}\left(1+\sum _{n=2}^{N_{z}}{\frac {{\tilde {J_{n}}}P_{n}^{0}(\sin \theta )}{{({\frac {r}{R}})}^{n}}}+\sum _{n=2}^{N_{t}}\sum _{m=1}^{n}{\frac {P_{n}^{m}(\sin \theta )({\tilde {C_{n}^{m}}}\cos m\varphi +{\tilde {S_{n}^{m}}}\sin m\varphi )}{{({\frac {r}{R}})}^{n}}}\right)}$

(10)

(9)에서 지배적인 용어( -μ/r 이후)는 "J₂ 용어"이다.

${\displaystyle u={\frac {J_{2}\P_{2}\{2}^{0}(\sin \theta )}{r^{3}}{\frac {1}{1}{1}{r^{3}}{\frac{1}{1}{2}}(\sin ^{2}\ta -1)===1}J_{2}{\frac {1}{r^{5}}{\frac {1}{1}{2}}(3z^{2}-r^{2}})}$

좌표계 상대

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\varphi }}&=-\sin \varphi {\hat {x}}+\cos \varphi {\hat {y}}\\{\hat {\theta }}&=-\sin \theta \,(\cos \varphi {\hat {x}}+\sin \varphi {\hat {y}})+\cos \theta {\hat {z}}\\{\hat {r}}&=\cos \theta \,(\cos \varphi {\hat {x}}+\sin \varphi {\hat {y}})+\sin \theta {\hat {z}}\end{aligned}}}$

(11)

그림 1에 "J₂ 용어"에 의해 발생하는 힘의 구성요소는 다음과 같다.

${\displaystyle {\reasoned}F_{\theta }&=-{\frac {1}{r}}\ {\frac {\partial u}{\partial \theta }}=-J_{2}\ {\frac {1}{r^{4}}}3\ \cos \theta \ \sin \theta \\F_{r}&=-{\frac {\partial u}{\partial r}}=J_{2}\ {\frac {1}{r^{4}}}{\frac {3}{2}}\ \left(3\sin ^{2}\theta \ -\ 1\right)\end{aligned}}}$

(12)

단위 벡터가 있는 직사각형 좌표계(x, y, z)에서 힘 구성 요소는 다음과 같다.

${\displaystyle {\reasoned}F_{x}&=-{\frac {\partial u}{\partial x}}=J_{2}\\\frac {x}{r^{7}}\왼쪽(6z^{2}-{\frac {3}{2}}(x^{2}+y^{2}\오른쪽)\\F_{y}&=-{\frac {\partial u}{\partial y}{{2}\\\prac {y}{r^{7}}\\\frac {3}-{3}{{3}}}{x^{2}+y^{2}}\오른쪽)\\F_{z}&=-{\partial u}{\partial z}}{\partial z}}}{{r^{7}\\\frac {z}{7}}}}\좌측(3z^{9}-{9}}}{2}}}(x^{2}+y^{2}\rig)\end{liged}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

(13)

"J₃ 용어"에 해당하는 힘의 성분

${\displaystyle u={\frac {J_{3}P_{3}^{0}(\sin \theta )}{r^{4}{\frac {1}{1}{r^1}{4}{\frac {1}{1}}}}}{\frac \te -3\rig)==}}J_{3}{\frac {1}{r^{7}}{\frac {1}{1}:{2}}:z\왼쪽(5z^{2}-3r^{2}\}\오른쪽)}$

이다

${\displaystyle {\reasoned}F_{\theta }&=-{\frac {1}{r}{r}{{r^{5}}{\frac {1}{1}{r^{5}}{\frac {1}{3}}}{\compact \cos \ta \{2}\tea -1\right)\\\\\\\}\\\\F_{r}&=-{\frac {\partial u}{\partial r}}{{3}{\frac {1}{r^{5}}}2\sin \theta \left (5\sin ^{2}\theta -3\right)\end}}}}}}}}}}$

(14)

그리고

${\displaystyle {\reasoned}F_{x}&=-{\frac {\partial u}{\partial x}}=J_{3}{\frac {xz}{r^{9}}\왼쪽(10z^{2}-{\frac {15}{2}}(x^{2}+y^{2}\오른쪽)\\F_{y}&=-{\partial u}{\partial y}{\partial y}}{{3}{\frac {yz}{r^{9}}}}}}\좌측(10z^{15}-{15}}}{2}+y^{2}}\오른쪽)\\F_{z}&=-{\frac {\partial u}{\partial z}}=J_{3}{\frac {1}{r^{9}}}\left(4z^{2}\ \left(z^{2}-3(x^{2}+y^{2})\right)+{\frac {3}{2}}(x^{2}+y^{2})^{2}\right)\end{aligned}}}$

(15)

계수에 대한 정확한 숫자 값은 서로 다른 지구 모델 간에 차이가 있지만(일부 정도는) 가장 낮은 계수에 대해서는 거의 정확하게 일치한다.

JGM-3 모델의 경우(아래 참조) 값은 다음과 같다.

μs = 398600.155km³s³⁻²

J₂ = 1.7553 × 10km³¹⁰⁵⁻²

J₃ = -2.61913 × 10km³s¹¹⁶⁻²

예를 들어, 반경 6600 km(지구 표면에서 약 200 km)에서₃ J/(Jr₂)는 약 0.002이다. 즉, "J₃ 용어"에서 "J₂ 힘"에 대한 보정은 2 permille의 순서로 되어 있다. J의₃ 음의 값은 지구 적도 평면의 점 질량의 경우 지구 "북남"의 질량 분포를 위한 대칭성의 결여로 인해 중력이 약간 남쪽으로 기울어져 있음을 의미한다.

구형 고조파 유도

다음은 지구의 중력장을 모형화하는 데 사용되는 구형 고조파들의 콤팩트한 파생이다. 구형 고조파들은 형태의 고조파 함수를 찾는 접근에서 파생된다.

$\displaystyle \phi =R(r)\\\Theta(\theta )\\Phi(\varphi )}$

(16)

여기서 (r, θ, φ)는 방정식 (8)에 의해 정의된 구형 좌표다. 간단한 계산에 의해 어떤 함수 f에 대해서도 그것을 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\ =\ {1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\cos \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\cos \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\cos ^{2}\theta }{\note }{2}f \over \varphi ^{2}}}$

(17)

(17)에 (16)이라는 표현을 도입하면 그 의미를 알 수 있다.

${\displaystyle {\frac {r^{2}}{\phi }}\left({\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}\right)\ ={\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)+{\frac {1}{\세타 \cos \theta }{\frac {d}{d\theta }}}\왼쪽(\cos \theta {\frace {d\\)세타 }{d\theta }}}}\오른쪽)+{\frac {1}{\\Phi \cos ^{2}\theta }{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}:$

(18)

용어로

${\displaystyle {\frac{1}{R}{\frac {d}{dr}}\왼쪽(r^{2}{\frac {dR}{dr}\오른쪽)}$

변수 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$과(와) 합에만 의존함

${\displaystyle {\frac {1}{\세타 \cos \theta }{\frac {d}{d\theta }}}\왼쪽(\cos \theta {\frace {d\\)세타 }{d\theta }}}}\오른쪽)+{\frac {1}{\\Phi \cos ^{2}\theta }{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}:$

변수 θ과 φ에만 의존한다. 만약의 경우에 한해서만 φ이 조화롭다는 것을 알게 된다.

${\displaystyle {\frac{1}{R}{\frac {d}{dr}}\왼쪽(r^{2}{\frac {dR}{dr}\right)=\lambda }}$

(19)

그리고

${\displaystyle {\frac {1}{\세타 \cos \theta }{\frac {d}{d\theta }}}\왼쪽(\cos \theta {\frace {d\\)세타 }{d\theta }}}}\오른쪽)+{\frac {1}{\\Phi \cos ^{2}\theta }{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}=-\lambda }}}$

(20)

일부 상수 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda$ $\}.$

from (20) then from (20) then follow that.

${\displaystyle {\frac {1}{\Theta }}\cos \cos \theta \{d}{d\theta}}}\좌측(\cos \cos \theta {\frac {d\\)Theta }{d\theta }}\}\+\lambda \cos ^{2}\theta \+\\\\frac {1}{\\\Phi }{{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}\\\0}$

처음 두 용어는 변수 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$에만 의존하고$$ 세 번째 용어는 $변수{\displaystyle }$ { ${\displaystyle \varphi }$에만 의존한다$.$

구면 좌표로서의 φ의 정의에서 φ(φ)은 2 2 기간과 함께 주기적이어야 하며 따라서 one은 반드시 다음과 같은 것을 가져야 한다.

${\displaystyle {\frac {1}{\Phi }{{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}=-m^{2}}:$

(21)

그리고

${\displaystyle {\frac {1}{\Theta }}\cos \cos \theta \{d}{d\theta}}}\좌측(\cos \cos \theta {\frac {d\\)세타 }{d\theta }}}\{d\}\오른쪽)\ +\lambda \cos ^{2}\theta =m^{2}}$

(22)

(21)에 대한 해결책의 패밀리로서 일부 정수 m에 대해서는 다음과 같다.

$\displaystyle \Phi(\varphi )\ =a\\cos m\varphi \+\b\\\sin m\varphi }$

(23)

가변 치환 포함

$\displaystyle x=\sin \theta }$

방정식(22)이 형태를 취하다

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\좌측(\좌측(1-x^{2}\우측){\frac {d\)세타 }{dx}}\오른쪽)+\왼쪽(\lambda -{\m^{2}}:{1-x^{2}}\오른쪽)\세타 =0}$

(24)

(19)부터 다음 단계에 따라 솔루션을$$ $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }($으)로 설정하십시오.

${\displaystyle R(r)={\frac {1}{r^{n+1}:{n+1}}}}}}}$

반드시 그것을 가져야 한다.

${\displaystyle \lambda =n(n+1)}$

P_n(x)가 미분 방정식의 솔루션인 경우

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\왼쪽(\왼쪽(1-x^{2}\\오른쪽)\\\\\\frac {dP_{dx}}\{dx}\오른쪽)\+\\n(n+1)\{n}=0}$

(25)

따라서 m = 0에 해당하는 전위가 있다.

${\displaystyle \phi ={\frac {1}{r^{n+1}}\ P_{n}(\sin \theta )}$

z축 주위의 회전 대칭은 조화 함수임

${\displaystyle {Pn}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle P_{n}^{m}(x)}$이(가) 미분 방정식의 솔루션인$$ 경우

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\left(1-x^{2}\right)\ {\frac {dP_{n}^{m}}{dx}}\right)\ +\ \left(n(n+1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\ P_{n}^{m}\ =\ 0}$

(26)

M ≥ 1로 1은 잠재력이 있다.

${\displaystyle \phi ={\frac {1}{r^{n+1}\P_{n}^{m}(\sin \theta )\\(a\\cos m\varphi \+\b\\sin m\varphi )}$

(27)

여기서 a와 b는 임의의 상수로서 on에 의존하므로 z축을 중심으로 회전 대칭이 되지 않는 고조파 함수다.

미분 방정식(25)은 범례 다항식이 정의한 범례 미분 방정식이다.

${\displaystyle {\reasoned}P_{0}(x)&=1\\P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}n!}}}\{d^{n}\왼쪽(x^{2}-1\오른쪽)^{n}}{dx^{n}}\cHB n\geq 1\\\end{aigned}}}$

(28)

해결책이다.

임의계수 1/(2nⁿ!)를 선택하여 홀수 n의 경우_n P(1) = -1 및 P_n(1) = 1을 만들고 짝수 n의 경우 P_n(1) = P_n(1) = 1을 만든다.

처음 6개의 레전드르 다항식:

${\displaystyle {\reasoned}P_{0}(x)&=1\\\P_{1}(x)&=x\\\p_{2}(x)&={\frac{1}:{1}{1}:{1}:{1}:{1}{1}:{1}}}{{{1}}}\\\\\\\\\\\\\\\P_{3}(x)&={\frac {1}{1}{2}}\왼쪽(5x^{3}-3x\오른쪽)\\P_{4}(x)&={\frac {1}{1}{8}\왼쪽(35x^{4}-30x^{2}+3\오른쪽)\\\\\P_{5}(x)&={\frac {1}{1}{8}\왼쪽(63x^{5}-70x^{3}+15x\오른쪽)\\\end{aigned}}}}}$

(29)

미분방정식(26)에 대한 해법은 관련된 범례함수다.

${\dx^{n}^{n}^{m}=\좌측(1-x^{2}\\우측)^{\frac {m}{2}}\\\frac {d^{p_{n}}}{dx^}}}{dx^}}}}\quad 1\leq m\leq n}$

(30)

그러므로 한 사람은 그것을 가지고 있다.

${\dx^{n}^{m}(\sin \theta )=\cos ^{m}\theta \{d^{n}}{dx^{n}}}}{dx^{n}}}}(\sin \theta )}}}$

우주선 궤도의 수치적 전파에 사용되는 재귀 알고리즘

우주선 궤도는 움직임 방정식의 수치적 통합에 의해 계산된다. 이를 위해 중력, 즉 전위의 구배를 계산해야 한다. 효율적인 재귀 알고리즘은 N ${\displaystyle z_{}}$ ${\$ 및$$ N ${\displaystyle t_{}}$ ${\$영역 및 테제럴 용어의 최대 정도)에 대한 중력을 계산하도록 설계되었으며, 그러한 알고리즘은 표준 궤도 전파 소프트웨어에서 사용된다.

사용 가능한 모델

NASA와 ESRO/ESA가 일반적으로 사용한 최초의 지구 모델은 고다드 우주비행센터가 개발한 'Goddard Earth Models'로 'GEM-1', 'GEM-2', 'GEM-3' 등이 있다. 이후 고다드 우주비행센터가 대학과 민간기업과 협력해 개발한 'JGM-1', 'JGM-2', 'JGM-3'를 가리키는 '공동 지구중력 모델'이 나왔다. 새로운 모델들은 일반적으로 그들의 전구체보다 더 높은 순서의 조건을 제공했다. EGM96은 N_z = N_t = 360을 사용하여 130317 계수를 생성한다. EGM2008 모델도 이용할 수 있다.

몇 미터 궤도 결정/확정 정확도가 필요한 일반 지구 위성의 경우 N_z = N_t = 36 (1365 계수)로 잘린 "JGM-3"는 일반적으로 충분하다. 공기 드레이그 모델링으로 인한 부정확성과 태양 복사 압력은 중력 모델링 오류로 인한 부정확성을 초과할 것이다.

The dimensionless coefficients ${\displaystyle {\tilde {J_{n}}}=-{\frac {J_{n}}{\mu \ R^{n}}}}$, ${\displaystyle {\tilde {C_{n}^{m}}}=-{\frac {C_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}}}$, ${\displ$$aystyle {\tilde {S_{n}^{m}}}=-{\frac {S_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}}}$ for the first zonal and tesseral terms (using ${\displaystyle R}$ = 6378.1363 km and ${\displaystyle \mu }$ = 398600.4415 km³/s²) of the JGM-3 model are

영역 계수

n
2	−0.1082635854×10−2
3	0.2532435346×10−5
4	0.1619331205×10−5
5	0.2277161016×10−6
6	−0.5396484906×10−6
7	0.3513684422×10−6
8	0.2025187152×10−6

테스럴 계수

n	m	C	S
2	1	−0.3504890360×10−9	0.1635406077×10−8
	2	0.1574536043×10−5	−0.9038680729×10−6
3	1	0.2192798802×10−5	0.2680118938×10−6
	2	0.3090160446×10−6	−0.2114023978×10−6
	3	0.1005588574×10−6	0.1972013239×10−6
4	1	−0.5087253036×10−6	−0.4494599352×10−6
	2	0.7841223074×10−7	0.1481554569×10−6
	3	0.5921574319×10−7	−0.1201129183×10−7
	4	−0.3982395740×10−8	0.6525605810×10−8

따라서 JGM-3에 따르면 J₂ = 0.1082635854×10⁻² × 6378.1363² × 398600.4415 km⁵/s² = 1.7553×10¹⁰ km⁵/s², J³ = -0.25324356×10⁻⁵ × 6378.1363³ × 398600.4415 km⁶/s²² = -2.61913×10¹¹ km⁶/s이다.

참조

• 엘야스버그 인공위성 비행 이론, 이스라엘 과학번역 프로그램 (1967)
• Lerch, F.J., Wagner, C.A., Smith, D.E., Sandson, M.L., Brownd, J.E., Richardson, J.A.,"Gravitational Field Models for the Earth (GEM1&2)", Report X55372146, Goddard Space Flight Center, Greenbelt/Maryland, 1972
• Lerch, F.J., Wagner, C.A., Putney, M.L., Sandson, M.L., Brownd, J.E., Richardson, J.A., Taylor, W.A., "Gravitational Field Models GEM3 and 4", Report X59272476, Goddard Space Flight Center, Greenbelt/Maryland, 1972
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• Lerch, F.J., Wagner, C.A., Klosko, S.M., Belott, R.P., Laubscher, R.E., Raylor, W.A., "Gravity Model Improvement Using Geos3 Altimetry (GEM10A and 10B)", 1978 Spring Annual Meeting of the American Geophysical Union, Miami, 1978
• Lerch, F.J., Klosko, S.M., Laubscher, R.E., 바그너, C.A., "Geos3 (GEM9와 10)를 이용한 중력 모델 개선", 제84권, B8권, 페이지 3897-3916, 1979.
• Lerch, F.J., Putney, B.H., Wagner, C.A., Klosko, S.M. ""해양학 애플리케이션을 위한 Goddard 지구 모델(GEM 10B 및 10C)"," Marine-Geodesy, 5(2), 페이지 145-187, 1981.
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• Lerch, F.J., Nerem, R.S., Putney, B.H., Felsentreger, T.L., Sanchez, B.V., Klosko, S.M., Patel, G.B., Williamson, R.G., Chinn, D.S., Chan, J.C., Rachlin, K.E., Chandler, N.L., McCarthy, J.J., Marshall, J.A., Luthcke, S.B., Pavlis, D.W., Robbins, J.W., Kapoor, S., Pavlis, E.C., " Geopotential Models of the Earth from Satellite Tracking, Altimeter and 표면 중력 관측: GEMT3 및 GEMT3S", NASA 기술 메모 104555, Goddard 우주 비행 센터, 그린벨트/매릴랜드, 1992년
• Lerch, F.J., Nerem, R.S., Putney, B.H., Felsentreger, T.L., Sanchez, B.V., Marshall, J.A., Klosko, S.M., Patel, G.B., Williamson, R.G., Chinn, D.S., Chan, J.C., Rachlin, K.E., Chandler, N.L., McCarthy, J.J., Luthcke, S.B., Pavlis, N.K., Pavlis, D.E., Robbins, J.W., Kapoor, S., Pavlis, E.C., "A Geopotential Model from Satellite Tracking, Altimeter and 표면 중력 데이터: GEMT3", 지구물리학 연구 저널, 99권, B2호, 페이지 2815-2839, 1994
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외부 링크

• http://cddis.nasa.gov/lw13/docs/papers/sci_lemoine_1m.pdf
• http://geodesy.geology.ohio-state.edu/course/refpapers/Tapley_JGR_JGM3_96.pdf