플립 그래프

4각형(왼쪽 위), 5각형(오른쪽 위), 6각형(아래쪽)의 플립 그래프.

치수 1(상단-우측), 2(상단-좌측 및 중앙 행), 3(하단 행)의 플립 예.

플립 그래프는 정점이 조합형 또는 기하학적 객체인 그래프를 말하며, 플립이라고 하는 기본적인 연산을 통해 이 물체들을 서로 얻을 수 있을 때 가장자리가 두 개로 연결된다.플립 그래프는 기하학적 그래프의 특별한 경우다.

눈에 띄는 플립 그래프 중에서 연상케드라나^[1] 사이클로헤드라와 같은 다면체의 1-스켈레톤을 발견한다.^[2]

예

원형 플립 그래프는 $볼록$ n $n$ -곤 $n$ $\pi$ $\pi$ 의 그것이다 $\pi$ 이 그래프의 정점은 $\pi$ {\ $displaystyle \pi }$ 의 삼각형이며 $\pi$ 두 삼각형은 단일 내부 가장자리마다 그 안에 인접해 있다.이 경우 플립 수술은 볼록한 사각형의 대각선을 교환하는 것으로 이루어진다.이러한 대각선은 플립 그래프에서 인접한 두 삼각형이 다른 내부 가장자리들이다.결과 플립 그래프는 Tamari 격자의^[3] Hasse 다이어그램과 $(n-3)$ - $(n-3)$ ) ${\displaystyle (n-3)$ -차원 $(n-3)$ 연관체의 1-제골 모두이다.^[1]

이 기본구성은 여러 가지 방법으로 일반화될 수 있다.

유클리드 공간의 유한한 점 집합

$T$ $T$ 을(를) ${\mathcal {A}}\subset \mathbb {R} ^{d}$ ⊂ R ${\mathcal {A}}\subset \mathbb {R} ^{d}$ ${\$ dd $}\displaystyle {\$ $mathcal$ ${A$ }\ $subset \mathb{R}$ ^{ $d$ $}}$ 의 유한 집합 삼각형이 되도록 $T$ 한다 ${\mathcal {A}}\subset \mathbb {R} ^{d}$ 어떤 조건에서는 $T$ ${\mathcal {A}}$ ${\$ $displaystystytyle$ { $A$ $}$ 을 뒤집어서 ${\mathcal {A}}$ 삼각형으로 변환할 수 있다.이 작업은 $T$ $T$ 이(가) 회로를 삼각측량하는 $T$ $($ A {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {$ A})을(를) 수정하는 작업으로 구성된다. ${\mathcal {A}}$ More precisely, if some triangulation $\tau ^{-}$ of a circuit $z\subset {\mathcal {A}}$ is a subset of $T$ , and if all the cells (faces of maximal dimension) of $\tau ^{-}$ have the same link $\lambda$ in $T$ ${\displaystyle T$ $\lambda {\mathord {\star }}\tau ^{-}$ $\lambda {\mathord {\star }}\tau ^{-}$ $\lambda {\mathord {\star }}\tau ^{-}$ - ${\$ 를 $\lambda {\mathord {\star }}\tau ^{-}$ $\lambda {\mathord {\star }}\tau ^{+}$ $\lambda {\mathord {\star }}\tau ^{+}$ + $\lambda {\mathord {\star }}\tau ^{+}$ \ $displaysty \lambda {\\mathord {\}\tau$ $\lambda {\mathord {\star }}\tau ^{+}$ 로 $T$ 하여 $T$ T ${\\displaystytystystyt} 내$ 에서 플립을 수행할 수 있다.

X{\mathord {\star }}}{{Y}=\{x\컵 {y}:(x,y)\in {X{\mathord{\time}}}{{}}{Y}}\

그리고 $\tau ^{+}$ + ${\$ 는 $\tau ^{+}$ 라돈의 파티션 정리에 의해 $z$ $z$ 의 다른 고유한 삼각 측량이다 $z$ 그 조건이 공정, 공중제비를 가능하다, 이 작업 결과 확실한{\displaystyle{{A\mathcal}의 삼각 측량에서 만들기}}에 상응하는 플립 그래프, A{\displaystyle{{A\mathcal}의 vertices 있는 triangulations}.[4]}과 가장자리, 대칭에 해당하는 자연적 그는 밝혔다.ne두 플립 그래프가 일치하므로 볼록한 폴리곤의 플립 그래프는 ${\mathcal {A}}$ ${\$ 이 ${\mathcal {A}}$ (가) 볼록 $n$ ${\displaystyn}$ -곤의 $n$ 정점 집합일 때 일치한다.

위상학적 표면

다른 종류의 플립 그래프는 위상학적 표면의 삼각측량을 고려하여 얻는다:^[5] 그러한 ${\mathcal {S}}$ S ${\$ 을(를) 고려하고 ${\mathcal {S}}$ 그 위에 한정된 $n$ $n$ 의n {\ $displaystyle$ n}을(를) 배치하고, 어떤 두 개의 호도 교차하지 않도록 호로 연결한다.이 호 집합이 최대일 때 ${\mathcal {S}}$ ${\$ 을 삼각형으로 ${\mathcal {S}}$ 분해한다.또한 여러 개의 호(정점 쌍이 동일한 간결한 호) 또는 루프가 없는 경우, 이 호 집합은 S ${\$ { $S}$ 의 삼각측량을 정의한다 ${\mathcal {S}}$

이 설정에서는 연속 변환으로 서로 얻을 수 있는 ${\mathcal {S}}$ ${\mathcal {S}}$ ${\$ 의 두 삼각형이 동일하다.

두 삼각형은 그들이 구성하는 호들 중 정확히 한 개씩 다를 때 뒤집기로 연관된다.이 두 삼각형은 꼭지점 수가 반드시 동일하다는 점에 유의한다.유클리드 사례에서와 같이 ${\mathcal {S}}$ ${\$ 의 플립 그래프는 정점이 $S$ ${\displaystyle {\$ $mathcal {S}$ 의 ${\mathcal {S}}$ $n$ 삼각형이고, 그 사이의 가장자리가 플립에 해당하는 그래프다 ${\mathcal {S}}$ .이 정의는 접해 있는 위상학적 표면으로 바로 확장될 수 있다.

지표면의 플립 그래프는 지표면이 위상 디스크일 때 일치하고 $n$ 에는 n ${\displaystyle$ n $}개$ 의 점이 $n$ 배치되므로 $n$ ${\displaystyle$ n $}$ -곤의 $n$ 그래프를 일반화한다.

기타 반전 그래프

다른 많은 플립 그래프는 삼각형의 대체 정의를 사용하여 정의할 수 있다.예를 들어, 정점이 a $(2d+2)$ ( $(2d+2)$ + $(2d+2)$ ) ${\displaystyle (2d+$ 2)} -곤의 $(2d+2)$ 중심 대칭 삼각형이고 가장자리가 두 개의 중심 대칭 플립을 수행하는 작업에 해당하는 플립 $d$ 는 d ${\displaystyle$ d $}$ - 차원 $d$ 사이클로헤드론의 1-제골격이다.^[2]또한 위상학적 표면의 대체 플립 그래프를 고려할 수 있는데, 이 표면의 삼각형에서 여러 개의 호와 루프를 허용함으로써 정의된다.

플립 그래프는 삼각측량 이외의 조합 객체를 사용하여 정의할 수도 있다.그러한 결합 객체의 예로는 평면에서 주어진 영역의 도미노 기울기가 있다.이 경우 플립은 인접한 두 도미노가 사각형을 덮을 때 수행될 수 있다. 플립은 도미노를 사각형의 중앙을 90도 회전시켜 동일한 영역의 다른 도미노 타일링을 야기한다.

특성.

다상성

연관성 및 사이클로헤드라를 제외하고, 다수의 폴리토페는 1-골격이 플립 그래프라는 특성을 가지고 있다.For instance, if ${\mathcal {A}}$ is a finite set of points in $\mathbb {R} ^{d}$ , the regular triangulations of ${\mathcal {A}}$ are the ones that can be obtained by projecting some faces of a $(d+1)$ -dimensional polytope on $\mathbb {R} ^{d}$ $\mathbb {R} ^{d}$ $\mathbb {R} ^{d}$ ${\$ { $R}$ ^{d $\mathbb {R} ^{d}$ ${\mathcal {A}}$ {\ $displaystyle {\mathcal {A}$ 의 플립 그래프에서 이러한 삼각측정에 의해 유도된 하위 그래프는 폴리토프의 1-골격으로, ${\mathcal {A}}$ ${\$ { $A}$ 의 2차 폴리토프다 ${\mathcal {A}}$ ^[6]

연결성

다면 플립 그래프는 이 속성에 의해 연결된다.1930년대 클라우스 바그너에 의해 보여지듯이 위상학적 구체의 플립 그래프가 연결되어 있다.^[7]연결된 플립 그래프 중에서 어떤 유한한 2차원 점 집합의 플립 그래프를 발견하기도 한다.^[8]고차원 유클리드 공간에서는 상황이 훨씬 더 복잡하다.플립 그래프가 분리된 $\mathbb {R} ^{d}$ $\mathbb {R} ^{d}$ ${\$ {R} $^{d}$ 의 유한 집합은 $d$ ${\dplaystyle d}$ 이(가) 최소 5일 $d$ 때마다 발견되었다.^[4]^[9]^[10]

4차원 하이퍼큐브 정점 세트의 플립 그래프가 연결된 것으로 알려져 있다.^[11]그러나 유한 3차원 및 4차원 점 집합의 플립 그래프가 항상 연결되어 있는지 여부는 아직 알 수 없다.^[4]

참조

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[RS-2] Simion, Rodica (2003), "A type-B associahedron", Advances in Applied Mathematics, 30 (1–2): 2–25, doi:10.1016/S0196-8858(02)00522-5, MR 1979780

[3] Tamari, Dov (1962), "The algebra of bracketings and their enumeration", Nieuw Archief voor Wiskunde, Series 3, 10: 131–146, MR 0146227

[DRS-4] De Loera, Jesús A.; Rambau, Jörg; Santos, Francisco (2010). Triangulations, Structures for Algorithms and Applications. Algorithms and Computation in Mathematics. Vol. 25. Springer.

[5] Negami, Seiya (1994), "Diagonal flips in triangulations of surfaces", Discrete Mathematics, 135 (1–3): 225–232, doi:10.1016/0012-365X(93)E0101-9, MR 1310882

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[7] Wagner, Klaus (1936), "Bemerkungen zum Vierfarbenproblem", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 46: 26–32

[8] Lawson, Charles L. (1972), "Transforming triangulations", Discrete Mathematics, 3: 365–372, doi:10.1016/0012-365X(72)90093-3, MR 0311491

[9] Santos, Francisco (2000), "A point set whose space of triangulations is disconnected", Journal of the American Mathematical Society, 13: 611–637, doi:10.1090/S0894-0347-00-00330-1, MR 1758756

[10] Santos, Francisco (2005), "Non-connected toric Hilbert schemes", Mathematische Annalen, 332: 645–665, arXiv:math/0204044, doi:10.1007/s00208-005-0643-5, MR 2181765

[11] Pournin, Lionel (2013), "The flip-Graph of the 4-dimensional cube is connected", Discrete & Computational Geometry, 49: 511–530, arXiv:1201.6543, doi:10.1007/s00454-013-9488-y, MR 3038527

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