점 집합 삼각측량

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 삭제하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2021년 6월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

점 집합을 한 삼각 측량 P{\displaystyle{{P\mathcal}}}은 유클리드 공간 R은 P{\displaystyle{{P\mathcal}의 볼록 선체 커버 d(^{d}}은 단체의. 단지}}그리고 vertices P{\displaystyle{{P\mathcal}에} 속하}평면에서 .[1](whe에.n${\displaystyle \mathcal{P}}$ ${\$은($$는$)$ $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ {\$displaystyle$ \$mathb {R}^{2$}}$}$의 점 집합이며 삼각형은 가장자리 및 정점과 함께 삼각형으로 구성된다.일부 저자는 $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 모든 점이 삼각형의 꼭지점이라고 요구한다$$.^[2]이 경우 평면에서 점$$ $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 점 집합에 대한 삼각측정은 $대신{\displaystyle \mathcal{}}$ P$${\$displaystyle${\$mathcal {P}$의 점들 사이의 비교차 가장자리의 최대 집합으로 정의할 수 있다$.$ 평면에서 삼각측정은 평면 직선 그래프의 특별한 경우다.

특히 흥미로운 종류의 삼각형은 들로나이 삼각측량이다.그것들은 보로노이 다이어그램의 기하학적 듀얼이다.평면에 있는$$ $점{\displaystyle \mathcal{}}$P {\$displaystyle {\mathcal{P}}$의 점 집합 델로나이 삼각측량에는 가브리엘 그래프, 가장 가까운 인접 그래프 및 $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 최소 신장 트리가 포함되어 있다$.$

삼각형에는 여러 가지 응용 프로그램이 있으며, 예를 들어 최소 중량 삼각형과 같은 일부 기준에 따라 주어진 점의 "좋은" 삼각형을 찾는 데 관심이 있다.때로는 모든 삼각형이 큰 각(긴 삼각형 및 좁은("분할형") 삼각형을 피하는 등 특수 속성이 있는 삼각형을 갖는 것이 바람직하다.^[3]

평면의 점을 연결하는 가장자리 집합이 주어진 경우, 삼각측정이 포함되는지 여부를 결정하는 문제는 NP-완전이다.^[4]

정삼각형

Some triangulations of a set of points ${\displaystyle {\mathcal {P}}\subset \mathbb {R} ^{d}}$ can be obtained by lifting the points of ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ into ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d+1}}$ (which amounts to add a coordinate ${\displaystyle x_{d+1}}$ to$P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 각 포인트는 들어올린 점 세트의 볼록한 선체를 계산하고, 이 볼록한 선체의 하단 $면$을 ${\displaystyle {}^{}}$ d$${\$displaystyle \mathb{R}$^{$d}}$에 다시 투영함으로써$.$The triangulations built this way are referred to as the regular triangulations of ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$. When the points are lifted to the paraboloid of equation ${\displaystyle x_{d+1}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{d}^{2}}$, this construction results in the Delaunay triangulation of${\displaystyle \mathcal{P}}$ ${\$ 이 구조물이 삼각측량을 제공하려면 들어올린 점 세트의 하단 볼록 선체가 단순화되어야 한다는 점에 유의하십시오.Delaunay 삼각형의 경우, $이것$은 P ${\$의 $d{\displaystyle }$+ 2 ${\displaystyle d+2}$ 포인트가$$ 동일한 구에 있지$$ 않도록 요구하는 양이다.

평면 내 콤비네이터틱스

Every triangulation of any set ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ of ${\displaystyle n}$ points in the plane has ${\displaystyle 2n-h-2}$ triangles and ${\displaystyle 3n-h-3}$ edges where ${\displaystyle h}$ is the number of points of ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ in the$P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 볼록 선체의 경계$.$ 이것은 직설적인 오일러 특성 논쟁에서 따온 것이다.^[5]

평면에서 삼각측량을 작성하는 알고리즘

삼각분할 알고리즘 : 포인트 세트 $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 볼록한 선체를 찾아$$ 이 선체를 다각형으로 삼각측량한다.내부 점을 선택하고 이 점을 포함하는 삼각형의 세 꼭지점에 가장자리를 그린다.모든 내부 지점이 소진될 때까지 이 프로세스를 계속하십시오.^[6]

증분 알고리즘 : X 좌표에 따라$$ $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 포인트를 정렬한다.처음 세 점은 삼각형을 결정한다.순서 세트의 다음$$ 포인트 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$을(를) 고려하여 이전에 고려했던 포인트${\displaystyle }${${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{p_{1$}, $...,p_{k}\}}}}$과(와) 연결하십시오$$.$P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ ${\mathcal$$${$P$$}$이(가) 모두 처리될$$ 때까지 한 번에$$ $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$displaystyle ${\mathcal$ {P} 한 점을 추가하는 이 프로세스를 계속하십시오.^[7]

다양한 알고리즘의 시간 복잡성

다음 표는 다른 최적성 기준에 따라 평면에서 점 집합의 삼각형 구성에 대한 시간 복잡성 결과를 보고하며, $여기$서 n ${\displaystyle n}$은 점 수입니다.

		최소화하다	극대화하다
최소의	각		${\displaystyle O(n\log n)}$ (Delaunay 삼각측량)
최대치의		${\displaystyle O(n^{2}\log n)}$ [8] [9]
최소의	면적	${\displaystyle O(n^{2})}$ [10]	${\displaystyle O(n^{2}\log n)}$ [11]
최대치의		${\displaystyle O(n^{2}\log n)}$ [11]
최대치의	정도	NP-완전 학위7로
최대치의	괴벽.	${\displaystyle O(n^{3})}$ [9]
최소의	가장자리 길이	${\displaystyle O(n\log n)}$ (가장 가까운 점 쌍 문제)	NP-완전 [13]
최대치의		${\displaystyle O(n^{2})}$ [14]	${\displaystyle O(n\log n)}$ (볼록스 선체 사용)
의 합계		NP-하드 (최소-중량 삼각측량)
최소의	키,		${\displaystyle O(n^{2}\log n)}$ [9]
최대치의	경사지게 하다	${\displaystyle O(n^{3})}$ [9]

참고 항목

• 메쉬 생성
• 다각형 삼각측량

메모들

참조