지수집적자

지수 통합자는 일반적인 미분 방정식, 특히 초기 가치 문제를 해결하기 위한 수치적 방법의 한 종류다.수치 분석에서 나온 이 큰 등급의 방법은 초기 값 문제의 선형 부분의 정확한 통합에 기초한다.선형 부분은 정확히 통합되기 때문에, 이것은 미분 방정식의 강성을 완화하는데 도움이 될 수 있다.지수 통합자는 수치 일반 미분 방정식에 대해 명시적이거나 암시적이거나 수치 부분 미분 방정식의 시간 통합자 역할을 하도록 구성될 수 있다.

배경

적어도 1960년대로 거슬러 올라가면, 이러한 방법들은 슈페와^[1] 교황에 의해 인정되었다.^[2]후기 기하급수적 통합자들이 연구 활동 영역이 되었다. 자세한 내용은 Hochbruck과 Ostermann(2010)을 참조하십시오.^[3]원래 뻣뻣한 미분방정식을 해결하기 위해 개발된 이 방법은 열방정식과 같은 포물선 문제뿐만^[4] 아니라 쌍곡선을 포함한 부분미분방정식을 해결하기 위해 사용되어 왔다.

소개

형태의 초기 가치 문제를 고려하지만

${\displaystyle u'(t)=Lu(t)+N(u(t)),\qquad u(t_{0})=u_{0},\qquad \qquad(1)}$

여기서 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$은(는) 선형 항으로 구성되며, $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$은(는) 비선형 항으로 구성된다$$.이러한 문제는 보다 일반적인 초기 가치 문제에서 발생할 수 있다.

${\displaystyle u'(t)=f(u(t),\qquad u(t_{0})=u_{0}}}$

고정 또는 로컬 상태 $u{\displaystyle {}^{}}$ u$∗{\$에 대해 로컬로 선형화한 후 $:$

${\displaystyle L={\frac {\partial f}{\partial u}}{{*};\qquad N=f(u)-Lu.}$

여기서 $\partial {\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{f}{\mathrm{}}}$u ${\displaystyle \frac{u}{}}$ ${\$ f$}{\partial u}}}$은 u ${\displaystyle u$}($$f의 자코비안)과 관련하여$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyf}$의 부분파생물을 말한다$$.

0시부터 $이후$까지 이 문제의 정확한 통합은 매트릭스 지수(matrix 지수$)$를 사용하여 정확한 해법에 대한 적분 방정식을 정의할 수 있다$$$.$^[3]

${\displaystyle u(t)=e^{Lt}u_{0}+\int_{0}^{t}e^{L(t-\tau )}N\왼쪽(u\tau \오른쪽)\,d\tau .\qquad (2)}$

이것은 피카르-린델뢰프 정리에 사용된 정확한 적분과 유사하다.$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle N\equiv 0}$의 경우$,$ 이 공식은 선형 미분 방정식에 대한 정확한 해법이다.

수치적 방법은 등식 (2)의 분리가 필요하다.그것들은 Runge-Kutta discetation,^[5][6][7] 선형 다단계 방법 또는 다양한 다른 옵션에 기초할 수 있다.

지수 로젠브로크 방법

기하급수적인 로젠브로크 방법은 경직된 일반 미분 방정식의 큰 시스템을 해결하는 데 매우 효율적인 것으로 나타났는데, 대개 시간 의존적(파라볼릭) PDE의 공간적 소산에서 기인한다.이러한 통합체는 (1)의 연속적인 선형화를 기반으로 숫자 솔루션 ${\displaystyle u_{}}$ ${\$에 따라 구성된다.

$u'(t)=L_{n}u(t)+N_{n}(u(t)),\qquad u(t_{0})=u_{0},\qquad (3)}$

여기서 ${\displaystyle {Ln}_{}}$= ${\displaystyle \partial \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{f}{\mathrm{}}{u}_{}}$ ${\displaystyle \frac{u}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}{u}_{}}$ n ${\displaystyle {}_{}}$ ,${\displaystyle N}$ n${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle u}$)${\displaystyle }$= f )${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}_{}}$ n ${\displaystyle {}_{}.}$ ${\displaystyle L_{n}={\frac {\partial$ f$}{\$partial $u}}}{\partial u_{n},$$N_{n}(u)=f(u)-L_{n}u.}$$$ 이 절차는 각 단계에서 $\partial {\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{N_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \frac{u}{}{u}_{}}$ n ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle {\frac {\partial N_{n}}{\partial u}}}{\partial$ u$}}=0$이라는 장점을 누린다$.$$}}$ 이는 주문$$ 조건의 유도를 상당히 단순화하고 $비선형성{\displaystyle }$ N${\displaystyle (u}$ ${\displaystyle (}$ $){\displaystyle N(u(t)}$을(를) 통합할 때 안정성을 향상시킨다$.$ 다시 말하지만, 상수변동식 공식 (2)을 $적용$하면 t +${\$}과$$ 같이 정확한 용액을 시간에 제공한다.

${\displaystyle u(t_{n+1})=e^{h_{n}L_{n}}u(t_{n})+\int _{0}^{h_{n}}e^{(h_{n}-\tau )L_{n}}N_{n}(u(t_{n}+\tau ))d\tau .\qquad (4)}$

이제 아이디어는 노드 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $c_{i}$와 중량 ${\displaystyle b_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle {}_{}}$ n $){\displaystyle b_{i}(h_{n}L_$${n}L_{$$n}}}}}}$을(를$)$ 사용하여 (4)의 적분을 대략적으로 추정하는 것이다.$$이는 다음과 같은 $종류$의 s -${\displaystyle }$s - ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle a}$ g ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle s-stage}$ 명시적$$ 지수 로젠브록 방법을 산출한다. 자세한 내용은 Hochbruck and Ostermann(2006) Hochbruck, Ostermann 및 Schweitzer(2009)를 참조한다.

${\displaystyle U_{ni}=e^{c_{i}h_{n}L_{n}{n}u_{n}+h_{n}\sum _{j=1}^{i-1}a_{n}(h_{n}L_{n}}}})N_{n}(U_{nj}),}$

${\displaystyle u_{n+1}=e^{h_{n}L_{n}{n}u_{n}+h_{n}\sum _{i=1}b_{n}{n}{n}L_{n}}}}}N_{n}(U_{ni})}$

${\displaystyle u_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle u}$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$)${\displaystyle }$, U ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle u}$(${\displaystyle t_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ i ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle h_{}}$= t${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}{}_{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$U_{ni}\관련 u(t_{n}+c_{i}h_{n}),h_{n}=t_{n+1}-t_{n$계수 a $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j{}_{}}$( z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle b_{}}$$$${\displaystyle i{}_{}}$( $z$${\displaystyle }$) ${\displaystyle a_{ij}(z), b_{i}(z$)},${i}(z)},$ 여기서 계수는 $일반적$으로 전체 함수 $φ$ $(c$ ${\displaystyle {}_{}}$ $z$)의 선형 조합으로 선택된다$.$

${\displaystyle \varphi _{0}(z)={^{k}=\int_{0}^{1}e^{1-\theta )z}{\frac{k-1}{{k-1)!}}}.\theta,\cHB k\geq 1.}$

이러한 함수는 재귀 관계를 만족한다.

${\displaystyle \varphi _{k+1}(z)={\frac {\varphi _{k}-\varphi _{k}(0)}{z}}},\ k\geq 0.}$

${\displaystyle {Dn}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle N_{}}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$)${\displaystyle }$- N (${\displaystyle {}_{}{u}_{}}$n ) ${\displaystyle D_{ni}=N_{n}(U_{ni}-{n}-{n}(u_n}$ 참조)의 차이를 도입함으로써 구현을 위해 보다 효율적인 방법으로 재구성할 수 있다$($ 참조).

${\displaystyle U_{ni}=u_{n}+c_{n}h_{n}}\varphi _{1}(c_{i}h_{n}L_{n}f(u_{n})+f({j=2}^{i-1}a}(h_{n}L_{n}}})D_{nj}}$

${\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+h_{n}\varphi _{1}{1}{n}f(u_{n})+h_{n}\sum _{i=2}^{s}b_{n}({n}L_{n}}}}}}})D_{ni}}$

적응적 단계 크기로 이 계획을 구현하기 위해서는 현지 오류 추정을 위해 다음과 같은 내장 방법을 고려할 수 있다.

${\displaystyle {\u}_{n+1}=u_{n}+h_{n}{n}\varphi_{1}{1}(h_{n}L_{n})f(u_{n})+f({n})+h_{i=2}^{b}{n}}{n}(h_{n}L_{n})}}}}}}}}}}}}}}}}}}})D_{ni}}$

동일한 $단계{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{Un}}_{}}$i {\$displaystyle U_${ni$}$를 사용하지만 가중치 ${\displaystyle b_{}}$는 $"{\$

편의상 명시적 지수 로젠브록 방법의 계수와 그 내장 방법의 계수는 다음과 같은 소위 환원된 푸줏대감을 사용하여 나타낼 수 있다.

${\displaystyle c_{2}}$
${\displaystyle c_{3}}$	${\displaystyle a_{32}}$
$\displaystyle \vdots }$	$\displaystyle \vdots }$		$\ddots }$
${\displaystyle c_{s}}$	${\displaystyle a_{s2}}$	${\displaystyle a_{s3}}$	$\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle a_{s,s-1}$
	${\displaystyle b_{2}}:$	${\displaystyle b_{3}}$	$\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle b_{s-1}$	${\displaystyle b_{s}}$
	${\displaystyle {\b}_{2}}:$	${\displaystyle {\b}_{3}}$	$\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle {\b}_{s-1}$	${\displaystyle {\b}_{s}}$

경직된 주문 조건

더욱이, 개혁적 접근방식은 국부적 오류를 분석하여 지수적 로젠브로크 방법의 경직된 순서 조건을 순서 5까지 도출할 수 있는 새롭고 단순한 방법을 제공하는 것으로 루안 및 오스터만(2014a)^[8]에 나타나 있다.B 시리즈 개념의 연장과 함께 이 새로운 기법의 도움으로, 임의 질서의 기하급수적인 로젠브로크 통합자들에 대한 경직된 질서 조건을 도출하기 위한 이론이 마침내 루안과 오스터만(2013년)에서 제시되었다.^[9]예를 들어, 그 작업에서는 다음 표에 기술된 지수 로젠브록 방법의 엄격한 순서 조건이 도출되었다.

${\displaystyle {\begin{array}{c c c }\hline No.&{\text{Stiff order condition}}&{\text{Order}}\\\hline 1&\sum _{i=2}^{s}b_{i}(Z)c_{i}^{2}=2\varphi _{3}(Z)&3\\\hline 2&\sum _{i=2}^{s}b_{i}(Z)c_{i}^{3}=6\varphi _{4}(Z)&4\\\hline 3&\sum _{i=2}^{s}b_{i}(Z)c_{i}^{4}=24\varphi _{5}(Z)&5\\4&\sum _{i=2}^{s}b_{i}(Z)c_{i}K\psi _{3,i}(Z)=0&5\\\hline 5&\sum _{i=2}^{s}b_{i}(Z)c_{i}^{5}=120\varphi _{6}(Z)&6\\6&\sum _{i=2}^{s}b_{i}(Z)c_{i}^{2}M\psi _{3,i}(Z)=0&6\\7&\sum _{i=2}^{s}b_{i}(Z)c_{i}K\psi _{4,i}(Z)=0&6\\\hline \end{array}}}$

여기서 Z${\displaystyle }$, ${\displaystyle K}$, M${\displaystyle }$. ${\$은 임의 제곱 행렬을 나타낸다$$.

수렴분석

지수 로젠브록 방법에 대한 안정성과 수렴 결과는 일부 바나흐 공간에서 강하게 연속되는 세미그룹의 틀에서 증명된다.

예

아래에 제시된 모든 계획은 경직된 질서 조건을 충족하므로 경직된 문제를 해결하는 데도 적합하다.

제2차순법

가장 단순한 지수형 로젠브록 방법은 지수형 로젠브록-을러 방식이며, 예를 들어, 호흐브룩 외 연구진 등이 순서 2를 가지고 있다.(2009):

${\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+h_{n}\\varphi _{1}{1}(h_{n}L_{n}f(u_{n}).}$

3차 방법

3차 지수 로젠브록 방법의 종류는 호흐브루크 외에서 도출되었다.exprb32로 명명된 (2009)는 다음과 같이 주어진다.

exprb32:

1
	${\displaystyle 2\varphi _{3}}$
	0

라고 쓰여 있는.

${\displaystyle U_{n2}=u_{n}+h_{n}\varphi_{1}{1}(h_{n}L_{n}f(u_{n}),}$

${\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+h_{n}\\varphi _{1}{1}{n}f(u_{n})+h_{n}\2\varphi _{3}(h_{n}L_{n}{n}}}{n}}}}}}}}}}})D_{n2},}$

여기서 ${\displaystyle {Dn}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$= ${\displaystyle N_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$U ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle N_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ )${\displaystyle }$. ${\displaystyle D_{n2}=N_{n}(U_{n2})-{n}(u_{n}).$$}$

이 계획의 가변 단계 크기 구현을 위해, 지수 Rosenbrock-Euler를 포함시킬 수 있다.

${\displaystyle {\hat{u}_{n+1}=u_{n}+h_{n}\varphi_{1}{1}(h_{n}L_{n}f(u_{n}}).}$

콕스와 매튜스의 4차 ETDRK4 방식

Cox와 Matthews는^[5] 그들이 도출하기 위해 Maple을 사용한 4차 방법 지수적 시간 차이점화(ETD) 방법을 설명한다.

우리는 그들의 표기법을 사용하고, 알 수 없는 기능이 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이고$,$ 알려진 솔루션 ${\displaystyle u_{}}$ ${\$ $u_$${n}$이 t ${\displaystyle {시간}_{}}$ t ${\$t_${n$}}에 있다고 가정한다$.$ 나아가, 시간 의존성이 있는 우측을 명시적으로 사용할 것이다.${\displaystyle \mathcal{N}}$= ${\displaystyle N\mathcal{}}$ (${\displaystyle u}$ ,${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle${\$mathcal{N}={\mathcal{N}(u,t$ .

세 가지 단계 값이 먼저 구성된다.

${\displaystyle a_{n}=e^{Lh/2}u_{n}+L^{-1}\좌측(e^{Lh/2}-I\우측){\mathcal {N}{{n}}}}$

${\displaystyle b_{n}=e^{Lh/2}u_{n}+L^{-1}\좌측(e^{Lh/2}-I\우측){\mathcal{N}}(a_{n}}}}, t_{n}+h/2)}}}}}$

${\displaystyle c_{n}=e^{Lh/2}a_{n}+L^{-1}\left(e^{Lh/2}-I\right)\left(2{\mathcal {N}}(b_{n},t_{n}+h/2)-{\mathcal {N}}(u_{n},t_{n})\right)}$

최종 업데이트는 다음과 같다.

${\displaystyle u_{n+1}=e^{Lh}u_{n}+h^{-2}L^{-3}\left\{\left[-4-Lh+e^{Lh}\left(4-3Lh+(Lh)^{2}\right)\right]{\mathcal {N}}(u_{n},t_{n})+2\left[2+Lh+e^{Lh}\좌측(-2+Lh\우측)\우측)\좌측({\mathcal {N}(a_{n},t_{n}+h/2)+{\mathcal{N}(b_{n}},t_{n}+h/2)\right)+\left[-4-3Lh-(Lh)^{2}+e^{Lh}\left(4-Lh\right)\right]{n}{n}}}}{n}}}}\rig.}$

순진하게 구현될 경우, 위의 알고리즘은 부동 소수점 반올림 오류로 인한 수적 불안정성을 겪는다.^[10]왜 그런지 알아보려면 첫 번째 기능을 고려하십시오.

${\displaystyle \varphi _{1}(z)={\frac {e^{z}-1}{z},}$

ETDRK4의 3단계는 물론, 1차 오일러 방식으로 존재한다.$z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$의 작은 값의 경우 이 기능은 숫자 취소 오류로 인해 문제가 발생한다$.$단, 등고선 적분 접근법 또는 Padé 근사치를 통해 ${\displaystyle {\phi \mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$함수를$$ 평가하면 이러한 수치 문제를 피할 수 있다.^[11]

적용들

지수 통합자들은 예를 들어 분자역학,^[12] VLSI 회로 시뮬레이션,^[13][14] 컴퓨터 그래픽과 같은 과학 및 시각 컴퓨팅에서 경직된 시나리오의 시뮬레이션에 사용된다.^[15]그것들은 또한 하이브리드 몬테카를로 방법의 맥락에서도 적용된다.^[16]이러한 애플리케이션에서 기하급수적인 통합업체는 큰 시간 스텝 기능과 높은 정확도의 장점을 보여준다.그러한 복잡한 시나리오에서 매트릭스 함수의 평가를 가속화하기 위해 기하급수적인 통합자들은 종종 Krylov 하위 공간 투영 방법과 결합된다.

참고 항목

• 일반 선형 방법

메모들

참조

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외부 링크

• GPGPU 통합업체
• 메쉬프리 지수 통합자를 위한 코드