립시츠 번

수학에서 립스치츠 도메인(또는 립스치츠 경계가 있는 도메인)은 지역적으로 립스치츠 연속함수의 그래프로 생각할 수 있다는 점에서 경계가 "충분히 규칙적인" 유클리드 공간의 도메인이다.이 용어는 독일의 수학자 루돌프 립스키츠의 이름을 따서 지어졌다.

정의

Let ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Let ${\displaystyle \Omega }$ be a domain of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ and let ${\displaystyle \partial \Omega }$ denote the boundary of ${\displaystyle \Omega }$. Then ${\displaystyle \Omega }$ is called a Lipschitz domain if for every p $지점{\displaystyle }$ p ${\displaystyle \mathrm{\in }}$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle p\in \partial \Oomega}$에는 치수 ${\displaystyle \mathrm{n}}$- 1 ${\displaystyle n-1}$의 $하이퍼플레인{\displaystyle }$ H ${\displaystyle H}$이(가) $있으며$, Lipschitz-연속 $함수{\displaystyle }$ g${\displaystyle }$: ${\displaystyle H\mathbb{}}$→ ${\displaystyle R}$ ${\$$해당$하이퍼플레인 위에 $H\rightarrow$\mathb$$ {$R}이($가) 있고 reals > ${\displaystyle r>0}$ h> ${\displaysty h>0}$이(가) 있는 경우.

• ${\displaystyle \cap C=\left\{x+y{\n}\mid x\in B_{r}(p)\cap H,\ -h<g(x)\right\}}}$
• ${\displaystyle(\partial \Oomega )\cap C=\left\{x+y{\n}\mid x\in B_{r}(p)\cap H,\g(x)=y\right\}}}}}}$

어디에

${\displaystyle \stackrel{}{n}}$→ ${\$은(는) $H{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ H$,}$에 정상인 단위 벡터다$$.

${\displaystyle B_{r}(p):$$=\\{x\in \mathb {R} ^{n}\mid$\$x-p\ <r\}}}$는 radius $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r$

${\displaystyle C:=\좌측\{x+y{\bec}\mid x\in B_{r}(p)\cap H,\ -h<h_h\right\}.}$

즉, 경계의 각 지점에서 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$은(는) 일부 립스치츠 함수의 그래프 위에 위치한 점 집합이다$$.

일반화

보다 일반적인 개념은 빌립시츠 매핑에 의해 국지적으로 경계가 flatting 가능한 도메인인 약한 립시츠 도메인의 개념이다.위의 의미에서의 립시츠 도메인을 약한 립시츠 도메인과는 대조적으로 강한 립시츠라고 부르기도 한다.

$\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ ${\displaystyle \backslash \mathrm{Oomega}}$$}$ 도메인 Ω, {\$displaystyle$ p$\in \partial \Oomega}$에 대해$$ 반경 > 0 ${\displaystyle r>0}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{지도<img\; alt="r\; >\; 0"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/23cbbcd53bd13620bc53490e3eec42790850b452"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:5.31ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="67">}}$ ${\displaystyle l_{}}$: ${\displaystyle B_{}}$ r${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle p}$)${\displaystyle }$→ Q ${\displaystystyle l_{p}:$$B_$${r}(p)\오른쪽 화살표$ Q$}$

• ${\displaystyle l_{}}$ p ${\$는 편향이다.
• ${\displaystyle l_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$ 및 $l$ ${\displaystyle {\mathrm{p}}_{}^{}}$- 1 ${\$는 모두 Lipschitz 연속 기능이다$$.
• ${\displaystyle l_{p}\왼쪽(\partial \Oomega \cap B_{r}(p)\right)=Q_{0};}$
• ${\displaystyle l_{p}\왼쪽(\Oomega \cap B_{r}(p)\오른쪽)=Q_{+};}$

여기서 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$은(는) $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에서 단위 볼 B ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle B_{1}(0)}$을 나타내며$$,

${\displaystyle Q_{0}:=\{(x_{1},\ldots,x_{n})\in Q\mid x_{n}=0\;}$

${\displaystyle Q_{+}=\{(x_{1},\ldots,x_{n})\in Q\mid x_{n}>0\}.}$

A (강력한) 립스치츠 도메인은 항상 약하게 립스치츠 도메인이지만 그 역은 사실이 아니다.강한 립슈비츠 도메인이 되지 못하는 약한 립슈비츠 도메인의 예는 2브릭스 도메인에 의해 주어진다.

Lipschitz 도메인의 적용

많은 소볼레프 내장 이론들은 연구의 영역이 립스키츠 영역일 것을 요구한다.결과적으로 많은 부분 미분방정식과 변동 문제는 립슈비츠 도메인에서 정의된다.

참조

• Dacorogna, B. (2004). Introduction to the Calculus of Variations. Imperial College Press, London. ISBN 1-86094-508-2.