디락 스피너

양자장 이론에서 디락 스피너는 중성미자를 제외한 페르미온인 알려진 모든 기본 입자를 설명하는 스피너다. 디라크 방정식에 대한 평면파 용액에 나타나며, 특히 로렌츠 그룹의 작용에 따라 "원형적으로" 변환하는 비스피너(bispinor) 두 개의 웨일 스피너(weyl spinor)의 일정한 조합이다.

디락 스피너는 많은 면에서 중요하고 흥미롭다. 무엇보다도, 그들은 자연에서 알려진 모든 기초 입자 페르미온을 묘사하는 것처럼 중요하다; 이것은 전자와 쿼크를 포함한다. 대수적으로 그들은 어떤 의미에서는 벡터의 "제곱근"으로 행동한다. 이것은 직접 조사에서는 쉽게 드러나지 않지만, 지난 60년 동안 스핀오럴적 표현이 기하학의 기본이라는 것이 서서히 분명해졌다. 예를 들어, 사실상 모든 리만 다지관은 클리포드 대수학을 통해 스피너와 스핀 연결을 그 위에 구축할 수 있다.^[1] 디락 스피너는 밍코프스키 스페이스타임과 로렌츠 변환에 특유하다. 일반적인 경우는 상당히 비슷하다.

이 글의 나머지 부분은 양자장 이론에 관한 교과서에서 디락 스피너의 표준 제시에 특유한 공명과 규약을 사용하여 교육학적으로 서술되어 있다. 주로 평면파 용액의 대수학에 초점을 맞춘다. 로렌츠 그룹의 작용으로 디락 스피너가 변신하는 방식은 비스파이너에 관한 기사에서 논의된다.

이 기사는 디락 대표작의 디락 스피너에게 바쳐졌다. 이는 감마 행렬의 특정 표현에 해당하며, 디락 방정식의 양과 음의 에너지 솔루션을 입증하는 데 가장 적합하다. 다른 표현들이 있는데, 특히 치랄 표현은 디라크 방정식에 대한 해법의 치랄 대칭을 입증하는 데 더 적합하다. 키랄 스피너는 아래에 제시된 디락 스피너의 선형 조합으로 작성할 수 있으므로, 용액의 이산 대칭에 관한 관점의 변화 외에는 어떤 것도 손실되거나 획득되지 않는다.

정의

디락 스피너는 평면파 용액의 비스파이너다.

\cHB =\omega _{\vec{p}\;e^{-ipx}\;;;

자유 디락 방정식의

\lift(i\hbar \gamma ^{\mu }-mc\right)\psi =0\;\Rightarrow \left(i\ma ^{\mu }-m\right)\psi =0\

여기서 ( $c\,=\,\hbar \,=\,1$ = $c\,=\,\hbar \,=\,1$ = $c\,=\,\hbar \,=\,1$ $c\,=\,\hbar \,=\,1$ 단위 $c\,=\,\hbar \,=\,1$

\psi

\psi

은

\psi

(는) 상대론적 스핀-1/2 필드,

\omega _{\vec {p}}

\omega _{\vec {p}}

→

{\

은

\omega _{\vec {p}}

(는) 파장

{\vec {p}}

p

{\vec {p}}

→ {\

displaystyle {\vec

{

p}}

이(가) 있는 평면파와 관련된 디락 스피너입니다

{\vec {p}}

px\;\equiv \;p_{\mu }x^{\mu }\;\equiv \;Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}

px\;\equiv \;p_{\mu }x^{\mu }\;\equiv \;Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}

p

px\;\equiv \;p_{\mu }x^{\mu }\;\equiv \;Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}

x

px\;\equiv \;p_{\mu }x^{\mu }\;\equiv \;Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}

x μ e

px\;\equiv \;p_{\mu }x^{\mu }\;\equiv \;Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}

-

px\;\equiv \;p_{\mu }x^{\mu }\;\equiv \;Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}

p

px\;\equiv \;p_{\mu }x^{\mu }\;\equiv \;Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}

→

px\;\equiv \;p_{\mu }x^{\mu }\;\equiv \;Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}

px\;\equiv \;p_{\mu }x^{\mu }\;\equiv \;Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}

→

{\

{\

x

p^{\mu }\;=\;\left\{\pm {\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}},\,{\vec {p}}\right\}

is the four-wave-vector of the plane wave, where

{\vec {p}}

is arbitrary,

x^{\mu }

x^{\mu }

{\

은

x^\mu

(는) 주어진 관성 프레임의 4각형이다.

양주파수 용액을 위한 Dirac 스핀러는 다음과 같이 쓸 수 있다.

\c{p}}={\begin{bmatrix}\phi \\\\frac {{\becc{\sigma}}}}{E_{\vec}+m}\pi \end{bmatrix},},},

어디에

\phi

\phi

은

\phi

(는) 임의의 2각형이며,

{\vec {\sigma }}

→

{\

은

\vec{\sigma}

(는) 파울리 벡터,

E_{\vec {p}}

E_{\vec {p}}

→

{\

은

E_{\vec {p}}

(는) 양의 제곱근

E_{\vec {p}}\;=\;+{\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}}

E_{\vec {p}}\;=\;+{\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}}

→

E_{\vec {p}}\;=\;+{\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}}

=

E_{\vec {p}}\;=\;+{\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}}

+ m

E_{\vec {p}}\;=\;+{\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}}

+

E_{\vec {p}}\;=\;+{\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}}

→ 2

{\

자연 단위에서 m이² p에² 추가되거나 m이 ${p\!\!\!/}$ / ${\$ $\!/},$ m은 보통 단위로 mc를 의미하며, E에 m을 더하면 m은 보통 단위로 mc를² 의미한다. m을 $\partial _{\mu }$ ${\$ 또는 $\partial _{\mu }$ $\nabla$ or ${\$ $displaystyle$ $\nabla }$ 에 추가하면 일반 $\nabla$ 단위로 ${mc \over \hbar }$ \ $mc \over \hbar }}}}}($ 역수축 콤프턴 파장이라고 함)을 의미한다.

디락 방정식에서 파생

디락 방정식은 그 형태를 가지고 있다.

\left(-i{\bec{\becdot {\bec}\\becc{\bea }+\bea m\right)\bei{\frace \bea{\beason t}\,},

4회전 $Ω$ 에 대한 표현을 도출하기 위해서는 행렬 $α$ 와 $β$ 를 구체적인 형태로 제시해야 한다. 그들이 취하는 정확한 형태는 표현에 의존한다. 이 글의 전체에는 Dirac 표현이 사용된다. 이 표현에서 행렬은 다음과 같다.

{\vec {\alpha }}={\begin{bmatrix}\mathbf {0} &{\vec {\sigma }}\\{\vec {\sigma }}&\mathbf {0} \end{bmatrix}}\quad \quad \beta ={\begin{bmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &-\mathbf {I} \end{bmatrix}}

이 두 개의 4×4 행렬은 디락 감마 행렬과 관련이 있다. $여기$ 서 0과 $나$ 는 2×2 매트릭스라는 점에 유의한다.

다음 단계는 양식의 해결책을 찾는 것이다.

\psi =\omega e^{-ip\cdot x}=\omega e^{-i\left(Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}\right)}

=

\psi =\omega e^{-ip\cdot x}=\omega e^{-i\left(Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}\right)}

\psi =\omega e^{-ip\cdot x}=\omega e^{-i\left(Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}\right)}

\psi =\omega e^{-ip\cdot x}=\omega e^{-i\left(Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}\right)}

\psi =\omega e^{-ip\cdot x}=\omega e^{-i\left(Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}\right)}

\psi =\omega e^{-ip\cdot x}=\omega e^{-i\left(Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}\right)}

=

\psi =\omega e^{-ip\cdot x}=\omega e^{-i\left(Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}\right)}

\psi =\omega e^{-ip\cdot x}=\omega e^{-i\left(Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}\right)}

- i

\psi =\omega e^{-ip\cdot x}=\omega e^{-i\left(Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}\right)}

-

\psi =\omega e^{-ip\cdot x}=\omega e^{-i\left(Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}\right)}

→

\psi =\omega e^{-ip\cdot x}=\omega e^{-i\left(Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}\right)}

x

\psi =\omega e^{-ip\cdot x}=\omega e^{-i\left(Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}\right)}

→

\psi =\omega e^{-ip\cdot x}=\omega e^{-i\left(Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}\right)}

)

{\

e

^{-ip\cdot x}=\i\left(Et-{\vec}\

vec}\

cdot{\x\rig

,

동시에 $Ω$ 을 두 개의 2와이어로 분할:

\omega ={\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}\,

=

\omega ={\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}\,

[

\omega ={\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}\,

\omega ={\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}\,

\omega ={\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}\,

\omega ={\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}\,

{\

displaystyle \omega ={\bmatrix}\phi

\\\

chi

\end

{bmatrix

결과.

위의 모든 정보를 사용하여 Dirac 방정식에 연결하면

E[ϕ χ])[나는 σ →→ ⋅ p→ − m1세→ ⋅ pσ m][ϕ χ]{\displaystyle E{\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}};{나는}및 ={\begin{bmatrix}m\mathbf{\vec{\sigma}}\cdot{\vec{p}}\\{\vec{\sigma}}\cdot{\vec{p}}&-m\mathbf{나는}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\phi \\\chi. \end

{bmatrix

이 행렬 방정식은 실제로 두 개의 결합된 방정식이다.

{\begin{aligned}\left(E-m\right)\phi &=\left({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\chi \\\left(E+m\right)\chi &=\left({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\phi \end{aligned}}

$χ$ 에 대한 2차 방정식을 풀고 1차 방정식을 얻는다.

\omega ={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}\,

= [

\omega ={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}\,

\omega ={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}\,

→

\omega ={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}\,

p

\omega ={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}\,

→ E

\omega ={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}\,

+

\omega ={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}\,

]

\omega ={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}\,

displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}\phi \\\\\\\frac {{\becc{\p}}}}}{E+m}}}\phi \end{bmatrix

이 솔루션에는 $E=+{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}$ = $E=+{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}$ + p $E=+{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}$ → $E=+{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}$ + $E=+{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}$ $E=+{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}$ ${\$ }+m $^{2$ }가 있어야 한다는 점에 유의하십시오.2 $}}:$ ${\vec {p}}={\vec {0}}$ 가 $E=+{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}$ p → ${\vec {p}}={\vec {0}}$ = 0 ${\vec {p}}={\vec {0}}$ → ${\$ { $p}={\vec{0$ 인 프레임에서 용액이 유효하도록 하기 위해.

이 경우 에너지 기호의 유도. 우리는 잠재적으로 문제가 될 ${\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi$ 있는 용어 ${\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi$ → ${\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi$ p → E + ${\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi$ ${\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi$ ${\frac {{\vec {\sigma }}\cdot{\e+m}\pi$ 을(를) 고려한다 ${\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi$

$E=+{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}$ = $E=+{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}$ + $E=+{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}$ $E=+{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}$ + $E=+{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}$ $E=+{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}$ ${\$ } ${\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\rightarrow 0$ 선명하게 ${\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\rightarrow 0$ → ${\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\rightarrow 0$ ${\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\rightarrow 0$ → ${\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\rightarrow 0$ + m ${\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\rightarrow 0$ → 0 ${\patchstyle$ {\ $frac {{\\becc{\sigma}}\cdot {\$ e+ $m}}{{{E+m}}}\$ 오른쪽 $화살표$ $0}$ 은(는)으로 ${\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\rightarrow 0$ p ${\vec {p}}\rightarrow {\vec {0}}$ → 0 → ${\vec {p}}\rightarrow {\vec {0}}$ → ${\vec{\$ p ${\vec {p}}\rightarrow {\vec {0}}$
반면에 $E=-{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}$ = $E=-{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}$ - $E=-{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}$ $E=-{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}$ + $E=-{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}$ $E=-{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}$ ${\$ }로 한다. ${\hat {n}}$ p ${\vec {p}}=p{\hat {n}}$ → = ${\vec {p}}=p{\hat {n}}$ $^{\$ ${{\$ $vec$ }=p ${\hat{n}}}$ 은(는) 단위 벡터를 $p\rightarrow 0$ 하여 ${\hat {n}}$ $p\rightarrow 0$ p → $p\rightarrow 0$ {\ $displaystyp p\오른쪽 화살표$ 0 $}$ 을 ${\vec {p}}=p{\hat {n}}$ (를) 두십시오 $p\rightarrow 0$

{\begin{aligned}E=-m{\sqrt {1+{\frac {p^{2}}{m^{2}}}}}&\rightarrow -m\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {p^{2}}{m^{2}}}\right)\\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}&\rightarrow p{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\hat {n}}}{-m-{\frac {p^{2}}{2m}}+m}}\propto {\frac {1}{p}}\rightarrow \infty \end{aligned}}

따라서 음성 용액은 분명히 생략해야 하며, $E=+{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}$ = $E=+{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}$ + $E=+{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}$ 2 $E=+{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}$ + $E=+{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}$ $E=+{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}$ ${\$ 2}+ $m^{2$ } $E=+{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}$ 끝 유도.

이 조각들을 조립하면, 완전한 양의 에너지 용액은 일반적으로 다음과 같이 쓰여진다.

\psi ^{(+)}=u^{(\phi )}({\vec {p}})e^{-ip\cdot x}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}e^{-ip\cdot x}

위에서는 다음 섹션에서 파생된 $\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}},$ 정규화 요인 $\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}},$ + $\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}},$ $\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}},$ ${\$ 을(를) 도입한다.

대신 $\phi \,$ ${\$ 에 대한 첫 번째 방정식을 풀면 다음과 같은 다른 솔루션 $\phi \,$ 세트가 발견된다.

\omega ={\begin{bmatrix}-{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{-E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}\,

=

\omega ={\begin{bmatrix}-{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{-E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}\,

[ -

\omega ={\begin{bmatrix}-{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{-E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}\,

→

\omega ={\begin{bmatrix}-{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{-E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}\,

\omega ={\begin{bmatrix}-{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{-E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}\,

→

\omega ={\begin{bmatrix}-{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{-E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}\,

- E

\omega ={\begin{bmatrix}-{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{-E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}\,

+

\omega ={\begin{bmatrix}-{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{-E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}\,

\omega ={\begin{bmatrix}-{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{-E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}\,

]

\omega ={\begin{bmatrix}-{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{-E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}\,

displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}-{\bech {{\

bech {{\

cdot{\\\\e+m}}}\chi \end{bmatrix

이 경우 $E=-\textstyle {\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}$ = $E=-\textstyle {\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}$ - $E=-\textstyle {\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}$ → $E=-\textstyle {\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}$ + $E=-\textstyle {\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}$ 2 ${\$ }이 용액은 $E=-\textstyle {\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}$ 입자가 ${\vec {p}}={\vec {0}}$ → ${\vec {p}}={\vec {0}}$ = ${\vec {p}}={\vec {0}}$ → ${\$ 인 프레임에서 유효하도록 한다 $E=-\textstyle {\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}$ ${\vec {p}}={\vec {0}}$ 그 증거는 이전의 경우와 유사하게 뒤따른다. 이것이 소위 부정적인 에너지 해결책이다. 명시적으로 부정적인 에너지를 가지고 다니는 것은 때때로 혼란스러워질 수 있기 때문에, 에너지와 추진력 모두에 표시를 뒤집고, 이것을 다음과 같이 쓰는 것은 관습적이다.

\psi ^{(-)}=v^{(\chi )}({\vec {p}})e^{ip\cdot x}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}e^{ip\cdot x}

추가 개발에서는 $(+){\$ type $\psi ^{(+)}$ 솔루션을 입자 솔루션이라고 하며, 양기를 전달하는 양의 질량 스핀-1/2 입자를 기술하고, $\psi ^{(-)}$ ( - $\psi ^{(-)}$ ) ${\$ type $\psi ^{(-)}$ 솔루션을 항정신병 용액이라고 다시 기술한다.-질량 스핀-1/2 입자, 다시 양기를 운반한다. 실험실 프레임에서, 항정신병 비행기 파장에 있는 플립사인은 "시간상 역행하고 있다"고 암시하는 등, 여전히 서로 매우 이중적이긴 하지만, 둘 다 양의 질량과 양의 에너지를 가지고 있는 것으로 간주된다. "뒤로 돌아가는 시간"에 대한 해석은 다소 주관적이고 부정확하며, 자신의 유일한 증거가 이러한 해결책일 때 손사래를 치기에 충분하다. 그것은 정량화된 디락 분야를 고려할 때 더 강력한 증거를 얻는다. "상호 반대"가 되는 이 두 가지 솔루션에 대한 보다 정확한 의미는 아래의 충전 결합에 관한 섹션에 설명되어 있다.

회전 방향

투 스핀

디락 표현에서 두 개의 스핀에 대한 가장 편리한 정의는 다음과 같다.

\phi^{1}={\bmatrix}1\\\0\end{bmatrix}\nd \properties \phi ^{2}={\matrix}0\1\end{bmatrix},},

그리고

\chi ^{1}={\bmatrix}0\\\1\end{bmatrix}\nd\nd{bmatrix}\nd{bmatrix},

파울리 행렬

Pauli 행렬은

\sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\quad \quad \sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}\quad \quad \sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}

이것들을 이용하여, 사람들은 때때로 Pauli 벡터라고 불리는 것을 얻는다.

{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}=\sigma _{1}p_{1}+\sigma _{2}p_{2}+\sigma _{3}p_{3}={\begin{bmatrix}p_{3}&p_{1}-ip_{2}\\p_{1}+ip_{2}&-p_{3}\end{bmatrix}}

직교성

Dirac 스피너는 Dirac 방정식에 대한 완전하고 직교적인 솔루션 세트를 제공한다.^[2]^[3] 이것은 가장 쉽게 증명할 수 있는 것으로, 이것이 명백해지는 나머지 프레임에 스피너를 쓴 다음 임의의 로렌츠 좌표 프레임으로 부스팅하는 것이다. ${\vec {p}}={\vec {0}},$ 프레임에서 p → = ${\vec {p}}={\vec {0}},$ → ${\vec {p}}={\vec {0}},$ ${\displaystyle {\vec}={\vec{0}},$ 4개의 스피너를 정의할 ${\vec {p}}={\vec {0}},$ 수 있다.

u^{(1)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad u^{(2)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad v^{(1)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}}\qquad v^{(2)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}

파인만 슬래시 표기법 소개

디스플레이 스타일 {p\!\!\!/}=\cHB ^{\mu }p_{\mu }}}}}

부스트 스피너는 다음과 같이 쓸 수 있다.

u^{{}\왼쪽 u^\vec\{p}\오른쪽)={\frac {{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}u^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}\phi ^{(s)}\\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi ^{(s)}\end{bmatrix}}

그리고

v^{s}\좌측값\vec {p}\우측)={\frac {-{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\chi ^{(s)}\\\chi ^{(s)}\end{bmatrix}}

공극 스피너는 ${\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ 디락 방정식을 푸는 데 나타날 수 있는 ${\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ ${\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ = γ ${\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ ${\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ 0 ${\$ 로 정의된다 ${\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$

{\overline {\cHB}(i{\reason \!\!)!\!/}+m)=0

왼쪽 방향으로 작용하는 것으로 이해되는 파생 모델과 함께. 그 다음, 공극 스핀들은

{\overline{u}^{(s)}\왼쪽 사진\vec {p}\오른쪽)={\overline {{u}^{{{}}}\왼쪽 \vec\{0}\오른쪽){\frac {{p\!\!\!/}}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}}}}}}}}

그리고

{\overline{v}^{(s)\좌측값\vec{p}\우측)={\overline{v}^{{v}}}\왼쪽 \vec\{0}\오른쪽){\frac {-{p\!\!\!/}}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}}}}}}}}

여기서 선택한 정상화는 스칼라 불변성 ${\overline {\psi }}\psi$ 의 $display$ {\displaystyle ${\\overline {\psi }}}$ 이 ${\overline {\psi }}\psi$ $($ 가) 모든 로렌츠 프레임에서 불변성이 되도록 하는 것이다. 구체적으로, 이것은

{\begin{aligned}{\overline {u}}^{(a)}(p)u^{(b)}(p)&=\delta _{ab}&{\overline {u}}^{(a)}(p)v^{(b)}(p)&=0\\{\overline {v}}^{(a)}(p)v^{(b)}(p)&=-\delta _{ab}&{\overline {v}}^{(a)}(p)u^{(b)}(p)&=0\end{aligned}}

완성도

4개의 레스트프레임 스피너 $u^{(s)}\left({\vec {0}}\right),$ $s$ ) $\;v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)$ ( $\;v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)$ 0 → $u^{(s)}\left({\vec {0}}\right),$ ) , {\ $displaystyle$ $u^{s$ $({\vec{0}\오른쪽)$ 는 디락 방정식에 대해 $\;v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)$ 의 $u^{(s)}\left({\vec {0}}\right),$ 뚜렷하고 실제적이고 선형적으로 독립된 $솔루션$ 이 있음을 나타낸다 $.$ 그것들이 정말 해결책이라는 것은 모멘텀 공간에서 쓰여질 때 디락 방정식의 형태가 있다는 것을 관찰함으로써 명백해질 수 있다.

디스플레이 스타일({p\!\!)\!/}-m)u^{{(s)\left\vec {p}\오른쪽)=0}

그리고

디스플레이 스타일({p\!\!)\!/}}+m)v^{{(s)\좌측값\vec{p}\오른쪽)=0}

때문에 이런 일이 뒤따른다.

디스플레이 스타일 {p\!\!\!/}{p\!\!\!/}}=p^{\mu }p_{\mu }=m^{2}}

감마 매트릭스에 대한 반 커밋 관계에서 다음이 된다.

\left\{\mu }},\mu }\nu }\right\}=2\eta ^{\mu \nu }}}}

평탄한 공간에서 $\eta ^{\mu \nu }$ curved{\ $displaystyle \eta ^{\mu \nu }}}}$ 메트릭 $\eta ^{\mu \nu }$ 텐서(곡선 공간에서는 감마 매트릭스를 비엘베인의 일종으로 볼 수 있지만, 이는 현재 글의 범위를 벗어난 것이다). 나머지 프레임에 쓰여진 디락 방정식이 형태를 취한다는 것은 아마도 유용할 것이다.

{\displaystyle \left(\displaystyle \ft(\displaystyle \{0}-1\right)u^{(s)}\reftedu\vec {0}\right)=0

그리고

{\displaystyle \left(\displaystyle \reft(\displaystyle \{0}+1\right)v^{(s)}\reftediate\vec {0}\right

레스트프레임 스피너가 Dirac 방정식에 대한 솔루션으로 올바르게 해석될 수 있도록 한다. 여기에 방정식이 8개가 아니라 4개가 있다. 4-spiner는 4개의 복잡한 숫자로 쓰여져 있어 8개의 실제 변수를 암시하지만, 그 중 4개 변수만이 역동적인 독립성을 가지고 있고, 나머지 4개 변수는 의미가 없으며 항상 매개변수로 지정할 수 있다. That is, one could take each of the four vectors $u^{(s)}\left({\vec {0}}\right),$ $\;v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)$ and multiply each by a distinct global phase $e^{i\eta }.$ This phase changes nothing; it can 일종의 글로벌 게이지 자유로 해석되다 이것은 그들이 물론 그렇듯이 "프린스는 중요하지 않다"고 말하는 것이 아니다; 디락 방정식은 복잡한 형태로 쓰여져야 하고, 위상은 전자성과 결합되어야 한다. 보옴-아하로노프 효과가 암시하는 것처럼 위상은 물리적 의미까지 가지고 있다: 전자성과 결합한 디락 장은 U(1) 섬유다발(원 묶음)이며, 보옴-아하로노프 효과는 그 다발의 홀로노미를 보여준다. 이 모든 것은 디락 필드의 구별되는 요소의 수를 계산하는 데 직접적인 영향을 미치지 않는다. 어떤 환경에서도, 오직 네 가지 실제적이고 뚜렷한 요소들만이 존재한다.

감마 행렬의 적절한 선택으로, 디락 방정식을 실제 해법만 가지고 순수하게 실제의 형태로 쓸 수 있다: 이것이 Majorana 방정식이다. 그러나 선형적으로 독립적인 해법은 두 가지에 불과하다. 이 해결책들은 전자성과 결합하지 않는다; 그것들은 거대하고 전기적으로 중립적인 스핀-1/2 입자를 묘사한다. 분명히 전자기학에 결합하는 것은 해결책의 수를 두 배로 증가시킨다. 하지만 물론, 이것은 말이 된다: 전자성과 결합하는 것은 실제적인 분야를 취해서 복잡하게 만들어야 한다. 어느 정도 노력하면 디락 방정식은 "복잡한" 메이저나 방정식으로 해석될 수 있다. 이것은 이 글의 범위 밖에 있는 일반적인 기하학적 환경에서 가장 쉽게 증명된다.

에너지 고유 상태 투영 행렬

양과 음의 에너지 고유성분을 투영하는 투영 $\Lambda _{+}$ \ $\Lambda _{+}$ + ${\$ 와 $\Lambda _{+}$ $\Lambda _{-}$ - ${\$ 를 정의하는 것은 관례다. 고정된 로렌츠 좌표 프레임(즉, 고정된 운동량)을 주어진다면, 이것들은 다음과 같다.

{\begin{aigned}\Lambda _{+}(p)=\sum=1,2}{p}^{s)}\otimes{\bar{u}^{p}^{p}}}}}}}={\frac {{p\!\!/}+m}{2m}\\\lambda _{-}(p)=\sum _{s=1,2}{v_{p}^{\otimes{\bar{v}}^{p}}}}}}}}}={\frac{-{p\!\!/}+m}{2m}\end{aigned}}

이것들은 4×4 매트릭스 한 쌍이다. 이 행렬은 ID 행렬을 다음과 같이 요약한다.

\displaystyle \Lambda _{+}(p)+\람다 _{-}(p)=I}

직교하고 있다

\displaystyle \Lambda _{+}(p)\람다 _{-}(p)=\람바 _{-}(p)\람바 _{+}(p)=0}

그리고 전능하다.

\Lambda _{\pm }(p)\Lambda _{\pm }(p)=\lambda _{\pm }(p)

그들의 흔적을 알아차리는 것은 편리하다.

\operatorname {tr} \Lambda _{\pm }(p)=2

트레이스 및 정형외과적 특성은 로렌츠 프레임과 독립적으로 유지된다는 점에 유의하십시오. 이들은 로렌츠 공변량이다.

전하결합

충전 결합은 양의 에너지 스피너를 음의 에너지 스피너로 변환한다. 전하결합은 명시적 형태를 갖는 $\psi \mapsto \psi _{c}$ 지도(의견 없음) $\psi \mapsto \psi _{c}$ $\psi \mapsto \psi _{c}$ ${\$

\psi _{c}=\eta C\left({\overline {\psi }}\오른쪽)^{\textsf {T}}

where $(\cdot )^{\textsf {T}}$ denotes the transpose, $C$ is a 4×4 matrix, and $\eta$ is an arbitrary phase factor, $\eta ^{*}\eta =1.$ The article on charge conjugation derives the above form, and demonstrates why the word "charge"는 사용하기에 적절한 단어인데, 그것은 전하를 의미한다고 해석될 수 있다. 감마 행렬에 대한 Dirac 표현에서 $행렬$ C $C$ 은(는) 다음과 같이 기록할 수 있다 $C$ .

C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&i\sigma _{2}\i\sigma _{2}&0\end{pmatrix}}}}

따라서 양 에너지 솔루션(공칭 과부하를 방지하기 위해 스핀 위첨자를 떨어뜨림)

\psi ^{(+)}=u\left({\vec {p}}\right)e^{-ip\cdot x}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}e^{-ip\cdot x}

그 충전 결합으로 운반된다.

\psi _{c}^{(+)}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}i\sigma _{2}{\frac {{\vec {\sigma }}^{*}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi ^{*}\\-i\sigma _{2}\phi ^{*}\end{bmatrix}}e^{ip\cdot x}

부유식 복합체 접합자를 참고하십시오. 이러한 구성 요소는 ID로 통합될 수 있음

\cdma _{2}\\왼쪽 \vec\vec}}^{*}\cdot {\vec}\오른쪽)\;\cdma _{2}=-{\veccdma }}\cdcdot {\\cdcdc}}}}

얻다

\psi _{c}^{(+)}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}e^{ip\cdot x}

2인칭으로

\chi =-i\phma _{2}\phi ^{*}}

이것이 정확하게 음의 에너지 용액의 형태를 가지고 있기 때문에, 전하 결합은 입자와 반입자 용액을 교환한다는 것이 명확해진다. 에너지가 역전될 뿐만 아니라 추진력도 역전된다는 점에 유의한다. 스핀업은 스핀다운으로 변환된다. 패리티도 플립된 것을 보여줄 수 있다. 충전 결합은 디락 스피너와 그것의 "정확한 반대"를 결합한 것이다.

참고 항목

참조

^ 쥬르겐 조스트(2002) "리만니안 기하학과 기하학적 분석(3판)" 스프링거. 1장 1.8절을 참조한다.
^ 제임스 D. 비요르켄, 시드니 D. 드렐, (1964) "상대론적 양자역학", 맥그로우 힐 (제3장 참조)
^ Claude Itzykson and Jean-Bernard Zuber, (1980) "퀀텀 필드 이론", MacGraw-Hill(2장 참조)

Aitchison, I.J.R.; A.J.G. Hey (September 2002). Gauge Theories in Particle Physics (3rd ed.). Institute of Physics Publishing. ISBN 0-7503-0864-8.
Miller, David (2008). "Relativistic Quantum Mechanics (RQM)" (PDF). pp. 26–37.

[1] 쥬르겐 조스트(2002) "리만니안 기하학과 기하학적 분석(3판)" 스프링거. 1장 1.8절을 참조한다.

[2] 제임스 D. 비요르켄, 시드니 D. 드렐, (1964) "상대론적 양자역학", 맥그로우 힐 (제3장 참조)

[iz-3] Claude Itzykson and Jean-Bernard Zuber, (1980) "퀀텀 필드 이론", MacGraw-Hill(2장 참조)

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