차동포셋

수학에서 차등포셋은 특정 국부 특성을 만족시키는 부분 순서 집합(또는 짧게 포셋)이다.(공식 정의는 아래와 같다.)이 양품군은 스탠리(1988)에 의해 영의 격자(포함 명령으로 정수 칸막이를 포셋)의 일반화로서 도입되었는데, 이들 중 다수는 모든 미분양 포셋에 의해 공유된다.영의 격자 외에도 차등 포셋의 다른 중요한 예는 영-피보나치 격자 이다.

정의들

poset P는 차동 poset이며, 특히 r-차동(r이 양의 정수인 경우)이라고 하며, 다음과 같은 조건을 만족하는 경우에는 r-차동(r이 양의 정수인 경우)이라고 한다.

• P는 등급이 매겨지고 고유한 최소 요소로 국소적으로 유한하다.
• 두 개의 구별되는 요소 x, y의 y마다, x와 y를 모두 포함하는 요소의 수는 x와 y가 모두 포함하는 요소의 수와 동일하다.
• P의 모든 원소 x에 대해, x를 덮는 원소의 수는 x로 덮인 원소의 수보다 정확히 r 이상이다.

이러한 기본 속성은 다양한 방법으로 재작성될 수 있다.예를 들어, 스탠리는 차동포셋의 두 개별 요소 x와 y를 포함하는 요소의 수가 항상 0 또는 1이므로 두 번째 정의 속성이 그에 따라 변경될 수 있다는 것을 보여준다.

정의 속성은 다음과 같은 선형 대수적 설정에서도 재작성될 수 있다: 포셋 P의 원소를 (무한 치수) 벡터 공간의 공식 기본 벡터가 되게 하고, D와 U를 연산자로 정의하여 D x가 x가 적용되는 원소의 합과 같게 하고, U x가 x를 포함하는 원소의 합과 같게 한다().연산자 D와 U는 명백한 이유로 다운 및 업 연산자로 불린다.)그런 다음 두 번째와 세 번째 조건은 DU – UD = rI(내가 정체인 곳)라는 문장으로 대체될 수 있다.

이 후자의 개혁은 Weyl 대수학의 결합체 실현으로 미분양양자를 만들며, 특히 이름 차이에 대해 설명한다: 다항식 벡터 공간의 "d/dx"와 "x에 의한 곱하기"는 U와 D/r와 같은 정류 관계를 따른다.

예

차등 포지션의 표준적인 예로는 영의 격자, 포함에 의해 정렬된 정수 파티션의 포지션, 영-피보나치 격자 등이 있다.스탠리의 초창기 논문은 영의 격자가 유일한 1차분 분배 격자임을 정립한 반면, 바이렌스(2012년)는 이들만이 유일한 1차분 격자임을 보여주었다.

모든 정의 공리를 상위 등급 이하로 준수하는 유한한 포지션이 주어지는 차분 포지트의 표준적 구성("반사"라 함)이 있다. (영-피보나치 격자는 이 구성을 단일 포인트로 시작하여 적용함으로써 발생하는 포지션이다.)이것은 무한히 많은 미분양점이 있다는 것을 보여주는 데 사용될 수 있다.스탠리(1988)는 "와그너는 [데이비드] 와그너가 [그것들을 분류할 수 있을 것 같지 않은] 미분양 포셋을 만드는 매우 일반적인 방법을 설명했다"는 말을 포함하고 있다.이것은 루이스(2007)에서 정밀하게 만들어졌는데, 그 곳에는 헤아릴 수 없이 많은 1차분 포셋이 있음을 보여준다.반면에, 차이점 포셋의 명시적인 예는 드물다; 루이스(2007)는 영과 영-피보나치 격자 이외의 차이 포셋에 대해 복잡한 설명을 한다.

영-피보나치 격자에는 모든 양의 정수 r에 대해 자연적인 r-차동 아날로그가 있다.이 양자리들은 격자들로, 반사구조의 변화에 의해 건설될 수 있다.또한 r-차동 및 s-차동포셋의 제품은 항상 (r + s)차동포셋이다.이 건축물은 격자 재산도 보존한다.영-피보나치 격자와 영의 격자 제품을 취함으로써 발생하는 r-차이 격자 이외의 r-차이 격자가 있는지는 r > 1에 대해서는 알려져 있지 않다.

순위성장

다른 미분 격자가 있는가 하는 문제 외에도, 미분 격자의 순위 성장과 관련하여 오랫동안 열려 있던 몇 가지 문제가 있다.스탠리(1988)에서는 P가 r_n 정점이 n등급에 있는 차등포셋이라면, 그 다음이라고 추측했다.

${\displaystyle p(n)\leq r_{n}\leq F_{n}}}$

여기서 p(n)는 n의 정수 파티션의 수이고 F는_n n번째 피보나치 숫자다.즉, 모든 계급마다 영의 격자와 영-피보나치 격자의 숫자 사이에 정점이 여러 개 놓여 있다고 추측한다.상한이 바이르네스(2012년)에서 증명되었다.하한선이 열린 채로 있다.스탠리 & 자넬로(2012년)는 하한선의 점증적 버전을 증명해 보여 주었다.

${\displaystyle r_{n}\g n^{a}\exp(2{\sqrt{n})}$

모든 차동 포지션과 일부 상수 a에 대해.그에 비해, 파티션 함수는 점증상이 있다.

${\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt{3}}}}\exp \left\pi {\sqrt{2n}}}}\right).}$

차등 포셋의 순위 크기에 대해 알려진 모든 범위는 빠르게 증가하는 기능을 가지고 있다.스탠리의 원본 논문에서는 순위 크기가 약하게 증가하고 있음을 (조작자 DU의 고유값을 사용하여) 보여주었다.그러나 밀러(2013년)가 r-차등 포지셋의 순위 크기가 엄격히 증가한다는 것을 보여주기까지 25년이 걸렸다(r = 1일 때 0위와 1위 사이의 사소한 경우는 제외).

특성.

모든 차분 포셋 P는 많은 조합 특성을 공유한다.그 중 몇 가지는 다음과 같다.

• 최소 요소에서 시작하고 끝나는 P의 Hasse 다이어그램에서 길이 2n의 경로 수는 (2n - 1)!!(여기서 느낌표는 이중 요인임을 나타낸다.)r-차동 포셋에서, 그러한 경로의 수는 (2n - 1)!! r이다ⁿ.^[1]
• P의 Hasse 다이어그램에서 2n 길이 경로의 수는 최소 요소부터 시작하여 첫 번째 n단계는 P의 작은 요소에서 큰 요소까지의 관계를 다루는 반면 마지막 n단계는 P의 큰 요소에서 작은 요소까지의 관계를 다룬다.r-차동 포셋에서 숫자는 n! r이다ⁿ.^[2]
• 최소 요소로 시작하는 P의 Hasse 다이어그램에서 길이 n의 위쪽 경로 수는 n자의 대칭 그룹에 있는 비자발 수와 같다.r-차동 포지셋에서, 이 숫자들의 순서는 지수 생성 함수 e를^{rx + x2/2} 가지고 있다.^[3]

일반화

차동 포셋에서 동일한 에지 집합을 사용하여 업/다운 연산자 U와 D를 계산한다.만약 어떤 사람이 업 에지와 다운 에지의 다른 집합(같은 정점 세트를 공유하고 동일한 관계를 만족)을 허용한다면, 결과 개념은 포민(1994)에 의해 초기에 정의된 듀얼 그레이드 그래프가 된다.하나는 두 가장자리 세트가 일치하는 경우 차등 포지션을 복구한다.

차분 양식에 대한 관심의 많은 부분은 표현 이론에 대한 그들의 연관성에 의해 영감을 받는다.영의 격자 원소는 정수 칸막이로, 대칭 집단의 표현을 부호화하며 대칭함수의 링에 연결된다. 오카다(1994)는 대신 영-피보나치 격자(Young-Fibonacci lattice)에 의해 대표성이 인코딩되는 알헤브라를 정의하고, 대칭의 피보나치 버전과 같은 유사 구조를 허용한다.기능들모든 차등 포셋에 대해 유사한 알헤브라가 존재하는지 여부는 알려지지 않았다.^{[citation needed]}다른 방향에서, 램 & 시모조노(2009) 하브텍스트 오류: 타겟 없음: CITREFLAM 시모조노 2009(도움말)는 모든 Kac-Moody 대수학에 해당하는 이중 등급 그래프를 정의했다.

다른 변형도 가능하다. 스탠리(1990)는 정의의 숫자 r이 순위별로 다른 버전을 정의했고, 램(2008)은 -1의 "중량"을 포함시킬 수 있는 차등 포지션의 서명된 아날로그를 정의했다.

참조

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• Fomin, Sergey (1994), "Duality of graded graphs", Journal of Algebraic Combinatorics, 3 (4): 357–404, doi:10.1023/A:1022412010826
• Lam, Thomas (2008), "Signed differential posets and sign-imbalance", Journal of Combinatorial Theory, Series A, 115 (3): 466–484, arXiv:math/0611296, doi:10.1016/j.jcta.2007.07.003, S2CID 10802016
• Lam, Thomas F.; Shimozono, Mark (2007), "Dual graded graphs for Kac-Moody algebras", Algebra & Number Theory, 1 (4): 451–488, arXiv:math/0702090, doi:10.2140/ant.2007.1.451, S2CID 18253442
• Lewis, Joel Brewster (2007), On Differential Posets (PDF) (하버드 대학 학부 논문)
• Miller, Alexander (2013), "Differential posets have strict rank growth: a conjecture of Stanley", Order, 30 (2): 657–662, arXiv:1202.3006, doi:10.1007/s11083-012-9268-y, S2CID 38737147 arXiv:1202.3006 [산술.CO]
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• Stanley, Richard P. (1988), "Differential posets", Journal of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 1 (4): 919–961, doi:10.2307/1990995, JSTOR 1990995
• Stanley, Richard P. (1990), "Variations on differential posets", Invariant theory and tableaux (Minneapolis, MN), 1988, IMA Vol. Math. Appl., vol. 19, Springer, pp. 145–165
• Stanley, Richard P.; Zanello, Fabrizio (2012), "On the Rank Function of a Differential Poset", Electronic Journal of Combinatorics, 19 (2): P13, doi:10.37236/2258, S2CID 7405057