호모토피 연관 대수

수학에서${\displaystyle }$(${\displaystyle R\mathbb{}}$,${\displaystyle }$+ ,${\displaystyle \cdot }$) ${\displaystyle (\mathb {R},+,\cdot )}$과 같은 대수에는 코에 연관성이 잘 정의된 곱셈 $\cdot {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$이(가) 있다.즉, 실제 숫자 $a{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$에 대해

${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cdot }$(${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \cdot }$ c${\displaystyle }$)${\displaystyle }$- (${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle c}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)-(a\cdot b)\cdot$ c$=0$

그러나, 알헤브라스 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$은(는) 반드시 연관되지 않으며, 만약 $a{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a,b,c\in$ R$}$이(가$$) 있다면,

${\displaystyle a\cdot c)-(a\cdot b)\cdot c\neq 0}$

대체적으로알헤브라의 $개념$은$$A$display$ {\displaystyle $A_{\inforty}}-$algebras인데$$, 곱셈에 속성이 있어 여전히 첫 번째 관계처럼 작용하지만, 연관성은 유지한다는 뜻이며, 호모토피만을 지탱하고 있는데, 이는 대수학에서 정보를 "압축"한 후에 말하는 방법이다.는 연상이다.이것은 우리가 불평등의 하나인 두 번째 방정식과 비슷한 것을 얻지만, 실제로 우리는 대수학에서 정보를 "압축"한 후에 평등을 얻는다.

$∞{\$ -algebras의$$ 연구는 동음이의학 대수의 부분집합으로, 여기서 구획 연산과 차등 등급의 대수학을 통한 연관성 알제브라와 일련의 상위 호모토피(homotopies)라는 동음이의 개념이 있어 곱셈이 연상되는 데 실패한다.대략적으로 얘기하면 A∞{\displaystyle A_{\infty}}밭 k에 작전 시리즈로(A∙, m나는){\displaystyle(A^{\bullet},m_{나는})}은 Z{\displaystyle \mathbb{Z}}-graded 벡터 공간{k\displaystyle}나는{\displaystyle m_{나는}습니다.}i{\displaystyle 나는}-th tenso에 -algebra[1].r$∙{\$ A$^{\bullet}}}$의 힘$.$$m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}은 체인 복합 미분류에 해당하며$$, $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}은$$$$ 곱셈 맵이며, $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은 m ${\$2$\}\}.$ 기초적인 동일학 대수학상의 연관성 실패를 나타내는 척도.${\displaystyle H}$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\bullet }^{}}$, ${\displaystyle {m\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle H(A^{\bullet }},m_{1$ 지도 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 연관지도가 되어야$$ 한다.Then, these higher maps ${\displaystyle m_{3},m_{4},\ldots }$ should be interpreted as higher homotopies, where ${\displaystyle m_{3}}$ is the failure of ${\displaystyle m_{2}}$ to be associative, ${\displaystyle m_{4}}$ is the failure for ${\displaystyle m_{3}}$ to 더 높은 연상 등이들의 구조는 원래 짐 스타셰프가^[2][3] A∞-space를 연구하다가 발견한 것이지만, 이는 나중에 순수하게 대수학적 구조로 해석되었다.이것들은 호모토피까지만 연상되는 지도가 장착된 공간이며, A∞ 구조는 이러한 호모토피, 호모토피 등의 내용을 추적한다.

그것들은 칼라비-에 D-branes의 후카야 범주의 구조를 정의하는데 필요하기 때문에 동질 거울 대칭에 어디에나 있다.호모토피 연상 구조만 가지고 있는 야우 다지관.

정의

정의

고정 필드 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$의 경우 A ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$ ${\$-algebra는$$^[1] $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ -graded$$ 벡터 공간임

${\displaystyle A=\bigoplus _{p\in \mathb {Z}}}A^{p}}}$

$d{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle d\geq$ 1$}$에 대해 도 $2{\displaystyle \mathrm{}}$- ${\displaystyle d}[\backslash$$2-d$}, k {\displaystyle $k}$ -선형$$ 맵이 존재하도록$$ 함

${\displaystyle m_{d}\colon (A^{\bullet })^{\otimes d}\to A^{\bullet }}}}}}$

일관성 조건을 만족하는 경우:

${\displaystyle \sum _{\begin{matrix}1\leq p\leq d\\0\leq q\leq d-p\end{matrix}}(-1)^{\alpha }m_{d-p+1}(a_{d},\ldots ,a_{p+q+1},m_{p}(a_{p+q},\ldots ,a_{q+1}),a_{q},\ldo$$ts ,a_{1}=0$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $\alpha {\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- 1${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\text{deg}}^{}}$( ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {\cdots }^{}}$+ ${\displaystyle {\mathrm{deg}}^{}}$ +${\displaystyle {{deg}_{}{}_{}}^{}}$ (q ) -$$ - {\$displaystyle \alpha$=(-1$)^{\text{1}}}{{{1}}}}+\cdots +\cdgets(a_{q}-$q}-$q$

일관성 조건 이해

일관성 조건은 낮은^{[1]pgs 583–584} 도에 적기 쉽다.

d=1

$d{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle d=1}$의 경우$$ 이 조건은

${\displaystyle {}_{}\mathrm{m}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle {m\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle m_{1}(m_{1}(a_{1})=0$

since ${\displaystyle 1\leq p\leq 1}$ giving ${\displaystyle p=1}$ and ${\displaystyle 0\leq q\leq d-1}$. These two inequalities force ${\displaystyle m_{d-p+1}=m_{1}}$ in the coherence condition, hence the only input of it is from ${\displaysty$$르 m_{1}(a_{1})}$ $.$따라서 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}는 미분차를 나타낸다$$.

d=2

$d{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle d=2}$의 일관성 조건을 풀면$$ 도 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$ 지도 $m$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 합계에 불평등이 있다$.$

${\displaystyle {\pair}1\leq p\leq 2\0\leq q\p\end}}}$

(${\displaystyle p}$ ,${\displaystyle q}$) ${\displaystyle (p,q)}$이$({\displaystyle }$가) (${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$1 ) ,${\displaystyle }$(${\displaystyle 2,}$ 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle (1$,0$),$ ($1,1),$ ($2,0)}$과(와) 같음$.$ 일관성의 합을 풀면 관계가 된다.

${\displaystyle m_{2}(a_{2},m_{1}(a_{1}))+(-1)^{\deg(a_{1})-1}m_{2}(m_{1}(a_{2}),a_{1})+m_{1}(m_{2}(a_{1},a_{2}))=0}$,

로 다시 쓰여졌을 때

${\displaystyle (-1)^{\deg a}m_{1}(a)=d(a)}$ and ${\displaystyle (-1)^{\deg a_{1}}m_{2}(a_{2},a_{1})=a_{2}\cdot a_{1}}$

차등과 곱셈으로서, 그것은

${\displaystyle d(a_{2$$$$}\cdot d(a_{1$

다른 등급의 알헤브라를 위한 라이프니즈 법칙이지

d=3

이 정도에서 연상 구조가 드러난다.주의: ${\displaystyle {m\mathrm{}}_{}}$3 = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle m_{3}=0}$ 그러면$$ 정합성 조건을 확장하고 (${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1{}^{}}$) k ${\$의 적절한 인수를 곱한 후 투명해지는 차등 등급 대수 구조가 있을 경우$,$ 정합성 조건은 다음과 같은 내용을 읽는다.

${\displaystyle {\regated}m_{2}(m_{2}(a\otimes b)\otimes c)-m_{2}(a\otimes m_{2}(b\otimes c))=&\pm m_{3}(a)\otimes b\otimes c)\&\pm m_{3}(a\otimes m_{1}(b)\otimes c)\&\pm m_{3}(a\otimes b\othimes m_{1}(c)\\&\pm m_{1}(m_{3}(a\otimes b\oth c)).\end{정렬}}}$

방정식의 왼쪽은 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}이$$코에 연상 대수학으로 되는$$ 실패라는 점에 유의한다.One of the inputs for the first three ${\displaystyle m_{3}}$ maps are coboundaries since ${\displaystyle m_{1}}$ is the differential, so on the cohomology algebra ${\displaystyle (H^{*}(A^{\bullet },m_{1}),[m_{2}])}$ these elements would all vanish since ${\displaystyle m_1}$${\displaystyle m_{1}(a)=m_{1}(b)=m_{1}(c)=0}$. This includes the final term ${\displaystyle m_{1}(m_{3}(a\otimes b\otimes c))}$ since it is also a coboundary, giving a zero element in the cohomology algebra.이러한 관계에서 우리는 m ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 지도를$$ $m{\displaystyle {}_{}}$ 2 ${\$2}}의 연관성에 대한 실패로 해석할 수 있는데$,$ 이는 호모토피까지만 연관된다는 것을 의미한다.

d=4 이상 주문 조건

더욱이 고차 ${\displaystyle \mathrm{항인}}$ $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ 4 ${\displaystyle d\geq 4$의 경우 ${\displaystyle {일관성}_{}}$ 있는 조건에서는 $연속적$인 ${\displaystyle p_{}}$+ i${\displaystyle }$,$$ + ${\displaystyle 1_{}}$ {$p+i},\ldots, a_{p+1}$의 문자열을 $일부{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle p_{}}${\$displaystystyle m_{p}}$에 $결합$하여 m - p +$1$에 그 용어를 삽입하는 여러 가지 다른 항을 제공한다$.$${\displaystyle {스타일}_{}}$ $m_$${$$d-p+1}, 나머지$ j {\$displaystyle a_{j}$의 d$$, ${\displaystyle \dots ,}$1 ${\$$}}}}.$ ${\displaystyle {m\mathrm{}}_{}}$ ${${1} 항을$조합$하면 d = 3$}$의 오른손과 비슷하게 표시되는 일관성 조건의 일부가 있다.$d=3$ 즉 용어가 있다.

${\displaystyle {\required}&\pm m_{d}(a_{d},\ldots, a_{2},m_{1}(a_{1})\\&\pm \cdots \&\pm m_{d}(m_{1})(a_{d}),a_{d-1},\ldots,a_{1}\&pm m_{1}(m_{d})(a_{d},\dots,a_{1}).\end{정렬}}}$

$도{\displaystyle }$d = ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle d=4}$에서 다른$$ 용어는 다음과 같이 작성할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\pm m_{3}(m_{2}(a_{4},a_{3}),a_{2},a_{1})\\&\pm m_{3}(a_{4},m_{2}(a_{3},a_{2}),a_{1})\\&\pm m_{3}(a_{4},a_{3},m_{2}(a_{2},a_{1}))\&\pm m_{2}(m_{3})(a_{4},a_{3},a_{2}),a_{1}\&\pm m_{2}(a_{4},m_{3})(a_{3},a_{2},a_{1}),\end{aigned}}}}}}}}}}}}}.$

$m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$과(${\displaystyle {와\mathrm{}}_{}}$)$$m 2 {\$displaystyle m_{2$}의 영상에 있는 원소들이 상호$$ 작용하는 방식을 보여준다.즉, ${\displaystyle {m\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}개의 영상에 있는 원소를 포함한$$ 원소의 호모토피(homotopy) 입력인 원소의 곱셈은 경계별로 다르다는 것을 의미한다.고차 > ${\displaystyle d>4$의 경우, 이러한 중간 항은 중간 지도 m ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {\mathrm{m}}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$이 다른 상위 호모토피 지도 이미지에서 오는 항에 대해 어떻게 작용하는지$$ 알 수 있다.

공리의 도해적 해석

대수+에 설명되어 있는 알제브라의 멋진 도식적 형식주의가 있다.호모토피=이 높은 호모토피에 대해 시각적으로 생각하는 방법을 설명하는 수술^[4].이러한 직관은 위의 토론과 함께 대수적으로 캡슐화되지만, 그것을 시각화하는 것 또한 유용하다.

예

연합 알헤브라스

Every associative algebra ${\displaystyle (A,\cdot )}$ has an ${\displaystyle A_{\infty }}$-infinity structure by defining ${\displaystyle m_{2}(a,b)=a\cdot b}$ and ${\displaystyle m_{i}=0}$ for ${\displaystyle i\neq 0}$. Hence ${\displaystyle A$$_{\infully}}$ - algebras는$$ 연관성 있는 알헤브라를 일반화한다.

차등 등급 알헤브라스

모든 차등 등급 대수$({\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\bullet }^{}}$, $){\$d 디스플레이 $스타일(A^{\bullet }d)$은 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$ ${\$ -algebra로서$$^[1] 표준 구조를 가지고$$ 있으며, ${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= d ${\displaystym$ $m_{1$$}=d},$ m$$ $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 곱셈 맵이다$$.다른 모든 상위 지도 ${\displaystyle m_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$은 0$${\$displaystyle$ 0$}$과 동일하며$,$ 최소 모델에 대한 구조 정리를 사용하여 등급화된 코호몰로지 $대수학{\displaystyle }$ $∙{\$ HA$^{\bullet}}}}}$에 준 이형성 스트루티즘을 보존하는 표준$$ $A{\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$∞ ${\$d.원래의 미분위수 대수학의 튜어그러한 dga의 일반적인 예는 규칙적인 수열에서 발생하는 코즐 대수에서 온다.이것은 호모토피 범주의 동등성에 대한 기초를 닦는 데 도움이 되기 때문에 중요한 결과물이다.

${\displaystyle {\text{Ho}({\text{dga}})\simeq {\text{Ho}(A_{\inflt }\text{-alg})}}$

차등 등급의 알헤브라와 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$ ${\$ -알게브라의$$ 경우

H공간의 코체인 알헤브라스

$∞{\$ -algebras의$$ 동기부여 사례 중 하나는 H-spaces 연구에서 나온 것이다.위상학적 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(${\displaystyle 가}$) H-공간일 때마다 연관된 단수 체인 $복합체{\displaystyle {}_{}}$ C ${\displaystyle {\ast }_{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle C_{*}(X)$는 H-공간 구조에서 $표준{\displaystyle {}_{}}$ A ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$ ${\$ -algebra$$ 구조를 갖는다.^[3]

무한히 많은 비종교 m을_i 사용한 예제

Consider the graded algebra ${\displaystyle V^{\bullet }=V_{0}\oplus V_{1}}$ over a field ${\displaystyle k}$ of characteristic ${\displaystyle 0}$ where ${\displaystyle V_{0}}$ is spanned by the degree ${\displaystyle 0}$ vectors ${\displaystyle v_{1},v_$${2}}:$ 및$$ $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}는$$ $도{\displaystyle \mathrm{}}$ 1${\displaystyle w$} $벡터$ w ${\displaystyle$ w$}}$에 걸쳐 있다$.$^[5][6] 이 간단한 예에서도 $비견격{\displaystyle {}_{}}$ A$∞{\$구조물이$$ 있어 가능한 모든 차이에 차이가 있다.이는 부분적으로 도 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$$displaystyle 1$$}$벡터가$$ 있어 (${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\bullet }^{}{}^{}}$)${\displaystyle {\otimes }^{}}$ k ${\$ $1}$의 순위 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$$displaystyle$ 1$}$벡터$$ 공간이 ${\displaystyle {\mathrm{주어지기}}^{}}$ 때문이다$.$ ($V^{\bullet$$}}^{\$$otimes$ $k})$ }. 차등 m ${\displaystyle 1_{}}$을 정의한다$.$

${\displaystyle {\required}m_{1}(v_{0})=w\\\m_{1}(v_{1}})=w,\end{arged}}}}$

$d{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle d\geq$ 2$}$의 경우

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{d}(v_{1}\otimes w^{\otimes k}\otimes v_{1}\otimes w^{\otimes (d-2)-k})&=(-1)^{k}s_{d}v_{1}&0\leq k\leq d-2\\m_{d}(v_{1}\otimes w^{\otimes (d-2)}\otimes v_{2})&=s_{d+1}v_{1}\\m_{d}(v_{1}\otimes w^{\otimes (d-1)})&=s_{d+1}w,\end{aligned}}}$

where ${\displaystyle m_{n}=0}$ on any map not listed above and ${\displaystyle s_{n}=(-1)^{(n-1)(n-2)/2}}$. In degree ${\displaystyle d=2}$, so for the multiplication map, we have $w$$m_{2}(v_{1},v_{1}, v_{1},\m_{2}(v_{2})={1$$\end{aigned}}$ 그리고 $d{\displaystyle }$= 3 ${\displaystyled$d=$3}$에서 위의 관계는

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{3}(v_{1},v_{1},w)&=v_{1}\\m_{3}(v_{1},w,v_{1})&=-v_{1}\\m_{3}(v_{1},w,v_{2})&=-v_{1}\\m_{3}(v_{1},w,w)&=-w.\end{aligned}}}$

이러한 방정식을 연관성의 실패와 연관시킬 때 0이 아닌 항이 존재한다.예를 들어, ${\displaystyle {v\mathrm{}}_{}{}_{}}$, ${\displaystyle {v\mathrm{}}_{}}$2, ${\displaystyle w}${\$displaystyle v_{1},v_{2},w}$에 대한 일관성 조건은 연관성이 코에 닿지 않는 비비례적인 예를 제공한다$$.Note that in the cohomology algebra ${\displaystyle H^{*}(V^{\bullet },[m_{2}])}$ we have only the degree ${\displaystyle 0}$ terms ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$ since ${\displaystyle w}$ is killed by the differential ${\displaystyle m_{1}}$.

특성.

A∞ 구조물의 이전

$∞{\$ -algebras의$$ 주요 특성 중 하나는 정확한 가설이 주어진다면 그들의 구조가 다른 대수적 물체로 옮겨질 수 있다는 것이다.이 특성의 초기 증가는 다음과 같다: $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$ ${\$-algebra$$ $∙{\$ A$^{\bullet}}},$ 복합체의$$ 호모토피 동등성.

${\displaystyle f}$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\bullet }^{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\bullet }^{}}$ ${\$ B$^{\bullet }\to$ A$^{\bullet$ $\}\},$

then there is an ${\displaystyle A_{\infty }}$-algebra structure on ${\displaystyle B^{\bullet }}$ inherited from ${\displaystyle A^{\bullet }}$ and ${\displaystyle f}$ can be extended to a morphism of ${\displaystyle A_{\infty }}$-algebras.$B{\displaystyle {}^{}}$ $∙{\$ B$^{\bullet }$과 f ${\displaystyle f}$에 서로 다른 가설을 가진 이 맛의 여러 가지 이론이 있는데$,$ 그 중 $일부$는 B${\displaystyle {}^{}}$∙$${\$displaystyle B^{\bullet$}의 구조에 대한 호모토토피까지의 고유성$$, 지도 $f{\displaystyle }$ ${\displaysty f$^[7]와 같은 더 강한 결과를 가지고 있다.

구조

미니멀 모델과 카데슈빌리의 정리

$∞{\$ -algebras의$$ 중요한 구조 이론 중 하나는 $최소{\displaystyle {}_{}}$ 모델의 존재와 고유성이다. –A ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$ ${\$ -algebras로$$ 정의되는데, 여기서 차동 ${\displaystyle {지도\mathrm{}}_{}}$ m = ${\displaystyle 0{}_{}}$= ${\displaystym_{1}=0}$이다.$차동m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ m_${\infit$algebra$$ $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\bullet }^{}}$ {\$displaystyle$ $m_{\$$bullet }$의 코호몰로지 대수 $H{\displaystyle }$ $A$$∙{\$ A$^{\$$bullet$ $\}\}\}$을 차등분하여 대수학으로서,

${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\bullet }^{}}$= ${\displaystyle \frac{\text{케르}({}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}_{}}{}}$) ${\displaystyle \frac{{m\mathrm{}}_{}}{}}$ 1 ${\displaystyle \frac{{}_{}{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\bullet }^{}}{}}$) ${\$ $\}\}\}\}\}\}\},$

곱셈 맵${\displaystyle }$[${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle [m_{2}]}$을$($를) 사용하여, 등급이 매겨진 이 대수학에는 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$ ${\$구조물이$$ 표준적으로 장착될 수 있는 것으로 나타났다.

${\displaystyle (H}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\bullet }^{}}$, ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle }$[ m ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, m ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}{}_{}}$, m ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$) ${\displaystyle (HA^{\bullet },0,[m_{2}],m_{3},m_{4},\ldots )},$},

이것은 $∞{\$ -algebras의$$ 독특한 준 이형성이다.^[8]사실 그 진술은 더욱 강력하다: 정론적인 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$ ${\$ -모르프리즘이$$ 있다.

${\displaystyle (\mathrm{H}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\bullet }^{}}$, 0${\displaystyle }$,${\displaystyle }$[ m ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {m\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}{}_{}}$, m ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\bullet }^{}}$ ${\${\$bullet$ $\},$ A$^{\},$

$A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\bullet }^{}}$ ${\$ A$^{\bullet}}}$의 ID 맵을 들어 올린다$.$ 이러한 높은 제품은 Massey 제품이 제공한다는 점에 유의하십시오.

동기

이 정리는 원래 반지의 호모토피 이론을 연구하기 위해 도입되었기 때문에 미분급 알헤브라의 연구에 매우 중요하다.코호몰로지 연산은 호모토피 정보를 죽이며, 모든 미분급 대수학이 코호몰로지 대수학과의 준 이형성인 것은 아니기 때문에, 이 연산을 취함으로써 정보가 손실된다.그러나, 최소한의 모델은 당신이 여전히 차이를 잊은 채 준 이등동형 계층을 회복하도록 해준다.There is an analogous result for A∞-categories by Maxim Kontsevich and Yan Soibelman, giving an A∞-category structure on the cohomology category ${\displaystyle H^{*}(D_{\infty }^{b}(X))}$ of the dg-category consisting of cochain complexes of coherent sheaves on a non-singular variety ${\displaystyle X}$밭 k이 넘는{k\displaystyle}특성 0{0\displaystyle}과 morphisms를 디퍼렌셜의 체흐 bi-complex의 총 단지의sheaf H시 m∙(F∙, G∙){\displaystyle{{Hom\mathcal}}^ᆮ({\mathcal{F}}^{\bullet},{\mathcal{G}}^{\bullet})}[1]pg 586-593다.이 때,범주 $H{\displaystyle {}^{}D}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}^{}}$ b${\displaystyle {}_{}^{}}$( X${\displaystyle }$)${\displaystyle H^{*}(D_{\infit }^{b}(X))}$의 도 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 형태는$$ ${\displaystyle \text{Ext}({\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\bullet }^{}}$, ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\bullet }^{}}$) ${\displaystyle {\text${\cext$}}$에 의해 주어진다$$.$Ext}}({\mathcal{F}}^{\bullet }}},{\mathcal {G}^{\bullet$ $\}\}\}).$

적용들

이 정리에는 여러 가지 적용이 있다.In particular, given a dg-algebra, such as the de Rham algebra ${\displaystyle (\Omega ^{\bullet }(X),d,\wedge )}$, or the Hochschild cohomology algebra, they can be equipped with an ${\displaystyle A_{\infty }}$-structure.

DGA의 매시 구조

Given a differential graded algebra ${\displaystyle (A^{\bullet },d)}$ its minimal model as an ${\displaystyle A_{\infty }}$-algebra ${\displaystyle (HA^{\bullet },0,[m_{2}],m_{3},m_{4},\ldots )}$ is constructed using the Massey products.그것은

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{3}(x_{3},x_{2},x_{1})&=\langle x_{3},x_{2},x_{1}\rangle \\m_{4}(x_{4},x_{3},x_{2},x_{1})&=\langle x_{4},x_{3},x_{2},x_{1}\rangle \\&\cdots &\end{aligned}}}$

$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ $∙{\$에 있는 $모든{\displaystyle {}_{}}$ A${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$∞ ${\$algebra$$ 구조물은 이 공사와 밀접한 관련이 있는$$ 것으로 나타났다.지도 $m{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$이(가$)$ 있는 H ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\bullet }^{}}$ {\$displaystyle$ HA$^{\bullet }}$에 또 $다른{\displaystyle {}_{}}$ A ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$ ${\$이(가) 있는 경우$,$ 관계가^[9] 있다.

${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, x ${\displaystyle {}_{}}$+ $(x_{1},\ldots,x_{n}=\langle$x${1},\landots ,x_{n$}\langle x{1},\landots ,x_{n$}\rangele +\Gama$}, $\},$ }, }, }, }, ., ., .,

어디에

${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{j}}}$ j${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{n}}}}$- 1 ${\displaystyle \text{Im}}$ ${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$) ${\displaystyle \Gamma \in \sum _{j=1}^{n-1}{\text{Im}(m_{j$

따라서 코호몰로지 대수학에 대한 그러한 모든 $∞{\$enency는$$ 서로 관련이 있다.

알헤브라는 현존하는 대수에서 등급이 매겨졌다.

또 다른 구조 정리는 현존하는 대수학에서 대수학을 재구성하는 것이다.연계된 등급별 대수학 부여

${\displaystyle$$A}\oplus A_{1}\oplus A_{2}\oplus \cdots$ $\},$

그것은 표준적으로 연관 대수학이다.Ext 대수라고 불리는 연관 대수학(관련 대수학)이 있으며, 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\mathrm{Ext}}_{}^{}}$ ${\displaystyle A_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle (k_{}}$ A${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{A}^{$A}{\$bullet }(k_{A},k_{A$

여기서 요네다 제품에 의해 곱셈이 주어진다.Then, there is an ${\displaystyle A_{\infty }}$-quasi-isomorphism between ${\displaystyle (A,0,m_{2},0,\ldots )}$ and ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{A}^{\bullet }(k_{A},k_{A})}$.이 식별은 모든 파생 범주가 일부 대수에서 파생된 범주로 이형화됨을 의미하는, 파생된 범주가 파생된 아핀이라는 것을 보여주는 방법을 제공하기 때문에 중요하다.

참고 항목

• A형 범주
• 연상면체
• 거울 대칭 추측
• 동질거울 대칭
• 호모토피 리 대수
• 파생대수 기하학

참조