코프리메 정수

수학에서, $두$ $정수$ 의 a와 b는 복호화, 두 정수의 분점인 유일한 양의 정수가 1일 경우 비교적 소수 또는 상호 소수인 것이다.^[1] 따라서 $a$ 를 나누는 소수도 $b$ 를 나누지 않으며, 그 반대도 마찬가지다. 이것은 그들의 가장 큰 공통점(GCD)이 1인 것과 같다.^[2] 한 사람은 $또한$ a가 $b$ 의 프라임 $또는$ a가 $b$ 와의 카프리미션이라고 말한다.

줄어든 분수의 분자와 분모는 복음화다. 숫자 14와 25는 개별적으로는 둘 다 소수라는 사실에도 불구하고, 1은 그들의 유일한 공통점이기 때문에 일치한다. 반면에 14와 21은 모두 7로 나누어지기 때문에 합성이 되지 않는다.

표기법 및 시험

Standard notations for relatively prime integers $a$ and $b$ are: $gcd(a, b) = 1$ and $(a, b) = 1$ . In their 1989 textbook, Ronald Graham, Donald Knuth, and Oren Patashnik proposed that the notation $a\perp b$ be used to indicate that $a$ and $b$ are relatively prime and that the term "prime" be used instead of coprime (as in $a$ is $b$ )^[3]에 도달하다.

두 숫자가 동시효소인지 여부를 판단하는 빠른 방법은 유클리드 알고리즘과 그것의 빠른 변종인 바이너리 GCD 알고리즘이나 레머의 GCD 알고리즘에 의해 주어진다.

1과 $n사이$ 의 양의 정수 $n$ 을 가진 정수의 수는 오일러의 phi 함수인 $φ (n$ )로도 알려진 오일러의 총함수에 의해 주어진다 $.$

정수의 집합은 그 원소가 1을 제외한 다른 공통의 양수를 공유하지 않으면 coprime이라고도 할 수 있다. 정수의 집합에서 더 강한 조건은 쌍방향 복사임으로, 이는 $a$ 와 $b$ 가 집합에서 서로 다른 정수의 모든 쌍 $(a,$ $b)$ 에 대해 복사임을 의미한다. 세트 ${2,$ 3 $, 4$ }은 복사물이지만, 2와 4는 비교적 프라임이 아니기 때문에 쌍방향 복사물이 아니다.

특성.

숫자 1과 -1은 모든 정수를 가진 유일한 정수로, 0을 가진 유일한 정수다.

여러 조건은 $a$ 와 $b$ 가 동시에 발생하는 것과 같다.

소수만이 $a$ 와 $b$ 를 둘 다 나누는 것은 아니다.
$도끼$ + $by$ = $1$ 과 같은 정수 $x$ 와 $y$ 가 존재한다(베주트의 정체성 참조).
정수 $b$ 는 곱셈 역모듈로 $a$ 를 가지고 있는데, 이는 $1$ 1 ( $mod$ a)만큼 $정수$ y가 존재한다는 것을 의미한다 $.$ 링-테오틱 언어에서 $b$ 는 정수 modulo $a$ 의 $링$ Z $/ aZ$ 에 있는 단위다.
$x$ ≡ $k (mod$ $a)$ 와 $x$ ≡ m $(mod$ $b$ ) 형식의 미지의 정수 $x$ 에 대한 모든 결합 관계는 해법(중국어의 나머지 정리)을 가지고 있다 $.$ 사실 그 해법은 단일 결합 관계 modulo $ab$ 에 의해 설명된다.
$a$ 와 $b$ 의 최소 공통 배수는 제품 $ab$ 과 동일하다. 즉, $lcm(a,$ $b)$ = $ab$ .^[4]

세 번째 점의 결과로, a와 b가 동일시되고 br ≡ bs (mod a)인 경우 r ≡ s (mod a)이다.^[5] 즉, 우리는 modulo a를 작업할 때 "b"로 나눌 수 있다. 더욱이₁, b와₂ b가 모두 a와 결합하는 경우, 그들의 제품 bb₁₂(즉, modulo a it is a product of invertible elements, 따라서 invertible)^[6]도 마찬가지다; 이것은 또한 유클리드 보조정리기의 첫 포인트로부터 따르며, 프라임 숫자 p가 제품 bc를 나누면 p가 최소한 b, c 요인 중 하나를 나눈다는 것이다.

첫 번째 지점의 결과로, a와 b가 동일하다면, 어떤 힘 a와^k b도^m 동일하다.

a와 b가 짝수이고 a가 제품을 bc로 나눈다면 a는 c를 나눈다.^[7] 이것은 유클리드 보조정리기의 일반화로 볼 수 있다.

그림 1. 숫자 4와 9는 같은 숫자다. 따라서 4 × 9 격자의 대각선은 다른 격자점과 교차하지 않는다.

두 정수 a와 b는 출발지와 (a, b) 사이의 선 세그먼트 어디에도 정수 좌표가 있는 점이 없다는 점에서 출발지(0,0)로부터 방해받지 않는 가시선을 통해 "보이는" 경우에만 동일하다(그림 1 참조).

정밀하게 만들 수 있는 의미에서 무작위로 선택한 두 정수가 동일시일 확률은 약 61%인 6 $/ 10$ 이다²(아래 § 동일시 확률 참조).

a와^a b의 두 자연수는^b 2 - 1과 2 - 1이 동일할 경우에만 동일하다.^[8] 이것의 일반화로서, 베이스 n > 1의 유클리드 알고리즘으로부터 쉽게 추종한다.

\gcd \left(n^{a}-1,n^{b-1\right)=n^{\gcd(a,b)}-1.

세트별 동일성

정수의 집합 S = {a₁₂, a, ....a_n}은(는) 집합의 모든 원소의 최대 공통점이 1일 경우 coprime 또는 setwise coprime이라고도 할 수 있다. 예를 들어, 정수 6, 10, 15는 1이 모든 정수를 나누는 유일한 양의 정수이기 때문에 동일하다.

정수 집합의 모든 쌍이 짝수인 경우, 집합은 짝수 짝수(또는 쌍이 비교적 프라임, 상호 복사 또는 상호 비교적 프라임)라고 한다. 쌍방향 동시발생성은 설정된 동시발생성보다 더 강한 조건이다. 모든 쌍방향 동시발생성 유한 집합은 또한 세팅된 동시발생성이지만, 그 반대는 사실이 아니다. 예를 들어, 정수 4, 5, 6은 (설정된) 조합물이지만(그 모두를 나누는 유일한 양의 정수가 1이기 때문에), 쌍으로 조합된 조합물은 아니다(gcd(4, 6) = 2).

쌍방향 동시발생성의 개념은 중국의 나머지 정리처럼 숫자 이론의 많은 결과에서 가설로서 중요하다.

무한정 많은 정수의 집합이 쌍으로 조합되는 것이 가능하다. 주목할 만한 예로는 모든 프라임 숫자의 집합, 실베스터의 수열의 요소 집합, 그리고 모든 페르마 숫자의 집합이 있다.

반지 이상에서의 동일성

A + B = R이면 정류 링 R에 있는 두 개의 이상 A와 B를 coprime(또는 동일시말)이라고 한다. 이것은 베주트의 정체성을 일반화한다: 이 정의와 함께 정수 Z의 링에 있는 두 가지 주요 이상(a)과 (b)는 a와 b가 동일시되는 경우에만 동일시된다. R의 이상 A와 B가 동일하다면 AB = A∩B, 나아가 C가 BC를 포함하는 제3의 이상이라면 A는 C를 포함한다. 중국의 나머지 정리는 복음화 이상을 이용하여 어떤 상호 교환적인 고리에도 일반화될 수 있다.

동일범행 확률

임의로 선택한 두 정수 a와 b를 고려할 때, a와 b가 동일시일 가능성이 얼마나 되는지 물어보는 것이 타당하다. 이 결정에서, 소수점 이하가 둘 다 나누지 않는 경우에만 a와 b가 동일하다는 특성화를 사용하는 것이 편리하다(산술의 기본정리 참조).

비공식적으로, 소수(또는 사실상 모든 정수) $p$ $p$ 이(가) 분할될 확률은 1 $1/p$ / $1/p$ $1/p$ 이다 $p$ $1/p$ 예를 들어, 모든 7번째 정수는 7으로 분할된다. 따라서 두 숫자가 모두 p에 의해 분할될 $1/p^{2}$ 은 $1/p^{2}$ / p $1/p^{2}$ {\ $displaystyle$ 1/ $p^{2$ }}이고 $1/p^{2}$ 둘 중 적어도 하나가 아닐 $1-1/p^{2}$ 은 $1-1/p^{2}$ 1 - $1-1/p^{2}$ / $1-1/p^{2}$ {\ $displaystyle 1-1/p^{$ 2 $1-1/p^{2}$ 구별되는 소수점 사건과 관련된 모든 한정된 집합은 상호 독립적이다. 예를 들어, 두 사건의 경우, 숫자는 pq로 구분되는 경우에만 primes p와 q로 구분되며, 후자의 사건에는 확률 1/pq가 있다. 만약 누군가가 그러한 추론이 무한히 많은 불분명한 사건들로 확장될 수 있다는 경험적 가정을 한다면, 두 개의 숫자가 복사될 확률은 모든 시간에 걸쳐 제품에 의해 주어진다는 것을 추측하게 된다.

\prod _{{\text{prime }}p}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)=\left(\prod _{{\text{prime }}p}{\frac {1}{1-p^{-2}}}\right)^{-1}={\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\approx 0.607927102\approx 61\%.

여기서 ζ은 리만 제타 함수를 가리키는데, 프라임(2)에 대한 제품과 관련된 정체성은 오일러 제품의 예로서, ζ(2)를 π²/6으로 평가하는 것은 1735년 레온하르트 오일러가 해결한 바젤 문제다.

각 양의 정수가 동일한 확률로 발생하도록 임의로 양의 정수를 선택할 수 있는 방법은 없지만, 위의 정수와 같은 "임의로 선택한 정수"에 대한 문장은 자연 밀도의 개념을 이용하여 공식화할 수 있다. 각 양의 정수 N에 대해 P는_N $\{1,2,\ldots ,N\}$ { $\{1,2,\ldots ,N\}$ 2, $\{1,2,\ldots ,N\}$ $\{1,2,\ldots ,N\}$ $\{1,2,\ldots ,N\}$ $\{1,2,\ldots,N\$ 에서 임의로 선택한 두 숫자가 동일할 $\{1,2,\ldots ,N\}$ 확률로 한다. P는_N $6/\pi ^{2}$ 6 / $6/\pi ^{2}$ 2 ${\$ 6 $/\$ $pi$ $^{2$ }}정확률과 $6/\pi ^{2}$ 같지는 않지만, 작업을^[9] 통해 P는 $N\to \infty$ → $N\to \infty$ $N\to \inft$ 로 제한되어 있는 상태에서 $N\to \infty$ P $P_{N}$ ${\$ $displaystysty$ $P_$ ${N$ $}}}$ 확률 $P$ 는 6 / $6/\pi ^{2}$ $6/\pi ^{2}$ 에 근접한다 $P_{N}$ $6/\pi ^{2}$

보다 일반적으로 k가 무작위로 선택된 정수가 복사될 확률은 $1/{\zeta (k)}$ / $1/{\zeta (k)}$ ( $){\$ 1 $/{\zeta (k)}}}$ 이다 $1/{\zeta (k)}$

모든 복사기 쌍 생성

이 알고리즘에 의한 복사기 쌍 생성 순서. 첫 번째 노드(2,1)는 빨간색으로 표시되고, 그 세 아이는 주황색으로 표시되며, 3대는 노란색으로 표시되며 무지개 순서로 표시된다.

긍정적인 coprime의 숫자가 모든 쌍{\displaystyle(m,n)}(m을, n{\displaystyle m>, n})두 차갑완전한 세겹의 나무, 나무 한 그루(2,1){\displaystyle(2,1)}(even–odd과odd–even개를)[10]로부터 다른 나무(3,1)부터{\displaystyle(3,에 출연하기 시작해 마련될 수 있(m, n).1)}(를 홀수 쌍.^[11] 각 꼭지점 $(m,n)$ , $(m,n)$ ) ${\displaystyle(m,n)}$ 의 하위 항목은 다음과 같이 생성된다 $(m,n)$ .

지점 1: $(2m-n,m)$ ( $(2m-n,m)$ - $(2m-n,m)$ , $(2m-n,m)$ ) ${\디스플레이$ 스타일 $(2m-n,m)}$
지점 2: $(2m+n,m)$ ( $(2m+n,m)$ + $(2m+n,m)$ , $(2m+n,m)$ ) ${\디스플레이$ 스타일 $(2m+n,m)}$
지점 3: $(m+2n,n)$ ( $(m+2n,n)$ + $(m+2n,n)$ , $(m+2n,n)$ ) ${\디스플레이$ 스타일 $(m+2n,n)}$

이 계획은 완전하고 비중복적이며 무효한 구성원이 없다.

적용들

기계 설계의 경우, 두 기어가 서로 맞물리는 톱니 수를 선택함으로써 균일한 기어 마모가 이루어지며, 비교적 원시적이다. 1:1 기어비를 원하는 경우, 두 개의 동일한 크기의 기어 사이에 비교적 프라임 기어를 삽입할 수 있다.

컴퓨터 이전의 암호학에서, 일부 버남 암호기들은 길이가 다른 몇 개의 키 테이프 루프를 결합했다. 많은 회전 장치들은 서로 다른 수의 톱니를 가진 로터를 결합한다. 그러한 조합은 전체 길이 세트가 쌍으로 조합되었을 때 가장 잘 작동한다.^[12]^[13]^[14]^[15]

일반화

이 개념은 $\mathbb {Z}$ ${\$ 이(가) 아닌 다른 대수 구조로 확장할 수 있다 $\mathbb {Z}$ 예를 들어, 가장 큰 공통점이 1인 다항식을 coprime 다항식이라고 한다.

참고 항목

메모들

^ Eaton, James S. (1872). A Treatise on Arithmetic. Boston: Thompson, Bigelow & Brown. p. 49. Retrieved 10 January 2022. Two numbers are mutually prime when no whole number but one will divide each of them
^ 하디 & 라이트 2008, 페이지 6
^ Graham, R. L.; Knuth, D. E.; Patashnik, O. (1989), Concrete Mathematics / A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley, p. 115, ISBN 0-201-14236-8
^ Ore 1988, 페이지 47
^ 니븐 & 주커만 1966, 페이지 22, 정리 2.3(b)
^ 니븐 & 주커만 1966 페이지 6 정리 1.8
^ 니븐 & 주커만 1966, 페이지 7, 정리 1.10
^ 로젠 1992 페이지 140
^ 이 정리는 1881년 에르네스토 체사로에 의해 증명되었다. 증거는 Hardy & Wright 2008, Organization 332를 참조하라.
^ Saunders, Robert & Randall, Trevor (July 1994), "The family tree of the Pythagorean triplets revisited", Mathematical Gazette, 78: 190–193, doi:10.2307/3618576.
^ Mitchell, Douglas W. (July 2001), "An alternative characterisation of all primitive Pythagorean triples", Mathematical Gazette, 85: 273–275, doi:10.2307/3622017.
^ 클라우스 폼므레닝. "크립톨로지: 기간이 긴 키 생성기".
^ 데이비드 모우리 "제2차 세계대전의 독일 암호기" 2014. 16 페이지, 22 페이지.
^ 디르크 라이즈멘탄츠. "One-time pad의 기원"
^ 구스타버스 J. 시몬스 "베르남-비게네르 암호"

참조

Hardy, G.H.; Wright, E.M. (2008), An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-921986-5
Niven, Ivan; Zuckerman, Herbert S. (1966), An Introduction to the Theory of Numbers (2nd ed.), John Wiley & Sons
Ore, Oystein (1988) [1948], Number Theory and Its History, Dover, ISBN 978-0-486-65620-5
Rosen, Kenneth H. (1992), Elementary Number Theory and its Applications (3rd ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-57889-8

추가 읽기

Lord, Nick (March 2008), "A uniform construction of some infinite coprime sequences", Mathematical Gazette, 92: 66–70.

[1] Eaton, James S. (1872). A Treatise on Arithmetic. Boston: Thompson, Bigelow & Brown. p. 49. Retrieved 10 January 2022. Two numbers are mutually prime when no whole number but one will divide each of them

[2] 하디 & 라이트 2008, 페이지 6

[3] Graham, R. L.; Knuth, D. E.; Patashnik, O. (1989), Concrete Mathematics / A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley, p. 115, ISBN 0-201-14236-8

[4] Ore 1988, 페이지 47

[5] 니븐 & 주커만 1966, 페이지 22, 정리 2.3(b)

[6] 니븐 & 주커만 1966 페이지 6 정리 1.8

[7] 니븐 & 주커만 1966, 페이지 7, 정리 1.10

[8] 로젠 1992 페이지 140

[9] 이 정리는 1881년 에르네스토 체사로에 의해 증명되었다. 증거는 Hardy & Wright 2008, Organization 332를 참조하라.

[10] Saunders, Robert & Randall, Trevor (July 1994), "The family tree of the Pythagorean triplets revisited", Mathematical Gazette, 78: 190–193, doi:10.2307/3618576.

[11] Mitchell, Douglas W. (July 2001), "An alternative characterisation of all primitive Pythagorean triples", Mathematical Gazette, 85: 273–275, doi:10.2307/3622017.

[12] 클라우스 폼므레닝. "크립톨로지: 기간이 긴 키 생성기".

[13] 데이비드 모우리 "제2차 세계대전의 독일 암호기" 2014. 16 페이지, 22 페이지.

[14] 디르크 라이즈멘탄츠. "One-time pad의 기원"

[15] 구스타버스 J. 시몬스 "베르남-비게네르 암호"

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