전자기장 분류

미분 기하학 및 이론 물리학에서 전자기장의 분류는 로렌츠 다지관의 각 지점에서 양전자의 점별 분류다. 맥스웰 방정식의 해법 연구에 사용되며 아인슈타인의 상대성 이론에 응용이 있다.

분류 정리

로렌츠 스페이스타임의 p 지점(즉, 사건)에서의 전자기장은 p의 접선 공간에 걸쳐 정의된 실제 이벡터 F = F로^ab 표현된다.

p에서의 접선 공간은 E에^1,3 대한 실제 내부 제품 공간으로서의 등축 공간이다. 즉, 밍코프스키 스페이스타임과 벡터 규모와 각도의 개념이 같다. 표기법을 단순화하기 위해, 우리는 스페이스타임이 민코프스키 스페이스타임을 가정할 것이다. 이것은 p의 접선 공간과 밑부분의 다지관 사이의 구분을 흐리게 하는 경향이 있다; 다행히도, 이 전문화 때문에 어떤 것도 잃어버리지 않는다, 우리가 기사의 끝으로서 논하는 이유들 때문이다.

전자파장에 대한 분류 정리는 이른바 "주요 null 방향"을 정의하고 검토함으로써 로렌츠 측정지표 metric = η과_ab 관련하여 바이벡터 F의 특징을 나타낸다. 이것을 설명해 봅시다.

이벡터 F는^ab 측정지표와 함께 하나의 지수를 낮추어 정의된 스큐 대칭 선형 연산자 F^a_b = F =을^ac_cb 산출한다. p의 접선 공간에 r^a → Fr로^a_b^b 작용한다. 우리는 문맥에 따라 Bibector 또는 연산자를 나타내는 기호 F를 사용할 것이다.

우리는 외부 대수학에서 도출한 이분법을 언급한다. F = v ∧ w로 쓸 수 있는 바이브레이터, 여기서 v, w는 선형적으로 독립된 것을 단순이라고 한다. 4차원 벡터 공간에 대한 0이 아닌 모든 바이브레이터는 단순하거나 F = v ∧ w + x ∧ y로 쓸 수 있다. 여기서 v, w, x 및 y는 선형적으로 독립적이다. 두 경우는 상호 배타적이다. 이렇게 진술하면, 이분법에서는 미터법 η을 전혀 언급하지 않고, 외부 대수학만을 언급한다. 그러나 관련 비대칭 선형 연산자 F는^a_b 전자의 경우 2위, 후자의 경우 4위임을 쉽게 알 수 있다.^[1]

분류 정리를 설명하기 위해 F에 대한 고유값 문제, 즉 고유값 방정식을 충족하는 고유값 λ과 고유벡터 r을 찾는 문제를 고려한다.

${\displaystyle F^{a}{}{}_{b}r^{b}=\lambda \,r^{a}.}$

F의 스큐 대칭은 다음을 함축한다.

• 고유벡터 r은 null 벡터(예: η(r,r) = 0)이거나, 고유값 λ은 0이거나, 둘 다이다.

null eigenvector에 의해 생성된 1차원 아공간을 biveector의 주요 null 방향이라고 한다.

분류 정리는 바이벡터의 가능한 주요 null 방향을 특징으로 한다. 0이 아닌 바이벡터를 위해 다음 중 하나가 유지되어야 한다고 명시하고 있다.

• 바이벡터는 하나의 "영구적인" 주요 null 방향을 가지고 있다. 이 경우, 바이벡터 자체는 null이라고 한다.
• 이벡터는 두 개의 뚜렷한 주요 null 방향을 가지고 있다. 이 경우, 이벡터를 non-message라고 부른다.

더욱이, 어떤 비 Null 바이브레이터의 경우, 두 개의 뚜렷한 주요 null 방향과 연관된 두 개의 고유값은 크기가 같지만 반대 기호인 = = ±ν를 가지므로, 우리는 세 개의 비 Null 바이브레이터 하위 분류가 있다.

• 공백: ν = 0
• 시간: ν ≠ 0 및 순위 F = 2
• 단순하지 않음: ν 0과 순위 F = 4

여기서 순위는 선형 연산자 F의 순위를 가리킨다.^{[clarification needed]}

물리적 해석

위에서 주어진 이벡터의 대수적 분류는 상대론적 물리학에서 중요한 응용을 가지고 있다: 전자기장은 스큐대칭 2등급 텐서장(전자파장 텐서)으로 표현되기 때문에 우리는 즉시 전자기장의 대수적 분류를 얻는다.

Minkowski spacetime의 데카르트 차트에서 전자기장 텐서에는 구성 요소가 있다.

${\displaystyle F_{ab}=\좌측({\begin{matrix}0&B_{z}&-B_{y}&E_{x}/c\\-B_{z}&B_{x}&E_{y}/c\\)B_{y}&-B_{x}&E_{z}/c\\-E_{x}/c&E_{x}/c&E_{z}/c&-E_{c&0\end{matrix}\right)}$

여기서 $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$, ${\displaystyle E_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$E_{y},E_{z}$ 및 $B$ x${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\$ 관성 관찰자가 측정한 전기장과 자기장의 성분을 각각 나타낸다$$(좌표에 정지). 상대론 물리학에서 늘 그렇듯이 ${\displaystyle \mathrm{c}}$= 1 ${\displaystyle c=1}$의 기하학적 단위로 작업하는 것이 편리함을 발견할 것이다$.$ 특수상대성의 "Index 체조" 형식주의에서는 밍코프스키 미터법 $\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta$ }이$($가)를$$ 사용하여 지수를 올리고 내린다.

불변제

전자기장의 기본적인 불변성은 다음과 같다.

${\displaystyle P\equiv {\frac {1}{2}}F_{ab}\,F^{ab}=\ {\vec {B}}\ ^{2}-{\frac {\ {\vec {E}}\ ^{2}}{c^{2}}}=-{\frac {1}{2}}{}^{*}F_{ab}\,{}^{*}F^{ab}}$

${\displaystyle Q\equiv {\frac {1}{4}}F_{ab}\,{}^{*}F^{ab}={\frac {1}{8}}\epsilon ^{abcd}$$F_{ab}F_{cd}={\frac {{\becc{E}}\cdot{\bec}}{c$

(근본적인 의미는 다른 모든 불변성분을 이 두 가지 측면에서 표현할 수 있다는 것을 의미한다.)

무효 전자기장은 P${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{Q}}$= 0 ${\displaystyle P=Q=0}$으로 특징지어진다$.$ 이 경우 불변기는 전기장과 자기장이 수직이고 크기가 동일( 기하학적 단위)하다는 것을 나타낸다. null 필드의 예로는 민코프스키 공간에 있는 평면 전자기파가 있다.

A non-null field is characterised by ${\displaystyle P^{2}+Q^{2}\neq \,0}$. If ${\displaystyle P\neq 0=Q}$, there exists an inertial reference frame for which either the electric or magnetic field vanishes. (These correspond respectively to magnetostatic and electrostatic fields.) $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle Q\neq 0$인 경우, 전기장과 자기장이 비례하는 관성 프레임이 존재한다.

곡선 로렌츠 다지관

지금까지 우리는 오직 Minkowski spacetime에 대해서만 토론했다. (강)등가 원리에 따르면 위의 "내부 프레임"을 단순히 프레임 장으로 대체하면 모든 것이 곡선 다지관에서 정확히 같은 방식으로 진행된다.

참고 항목

• 전자파 박리 정리
• 전기진공용액
• 로렌츠 군
• 페트로프 분류

메모들

참조

• Landau, Lev D.; Lifshitz, E. M. (1973). The Classical Theory of Fields. New York: Pergamon. ISBN 0-08-025072-6. 섹션 25를 참조하십시오.