데데킨트 psi 함수

수 이론에서 데데킨드 psi 함수는 에 의해 정의된 양의 정수에 대한 승법함수다.

${\displaystyle \cHB(n)=n\prod _{pn}\왼쪽(1+{\frac{1}{p}\오른쪽),}$

$제품$이 n${\displaystyle }$. ${\displaystyle n.}$을(를) 나누는$$ 모든 프라임 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$을(를) 인수하는 경우($$관습에 따라 빈 제품인 $\psi {\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$) ${\displaysty \psi(1)}$은$($는) 값 1.이 기능은 모듈형 기능과 관련하여 리처드 데데킨드에 의해 도입되었다.

$처음{\displaystyle }$ 몇 ${\displaystyle 개}$의 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 대한${\displaystyle }$n (n ) {\$displaystyle \psi (n)}$의 값은 다음과$$ 같다.

1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 12, 24, ... (OEIS에서 연속 A001615).

함수 $\psi {\displaystyle (n}$) ${\displaystyle \psi(n)}$은(는) 1보다$$ 큰 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $n$$}$에 대해 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyn}$보다 크며$$, 2보다$$ 큰 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyn}$에 대해서도 동일하다.$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 제곱이 없는 숫자일 경우 $\psi {\displaystyle (n}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle \sigma (n)}$ ${\displaystyle$ $\$$psi(n)=\$$sigma(n$$)\},$ 여기서 $)$은 divisor 함수다.

${\$$displaystyle$ \$psi$$}$ 함수도$$ $prime{\displaystyle }$${$$n$$$=${\displaystyle (p}$+ ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle p^{}}$ -${\displaystyle 1^{}}$ ${\$(p$^{$n}=$p+1)p^{n-1}$를 설정한$$ 다음 곱셈에 의해 정의를 모든 정수로 확장하여 정의할 수 있다.이것은 또한 리만 제타 함수의 측면에서 발생함수의 증명으로 이어진다.

${\displaystyle \sum {\frac {\beca(n)}{n^{s}}={\frac {\frac(s)\zeta(s-1)}{\zeta(2s)}}}}.}$

이것은 또한 우리가 $\psi {\displaystyle }$= I ${\displaystyle \mathrm{d}}$μ ${\displaystyle \mu }$ $displaystyle \psi$=\$mathrm {Id} *$ $\mu }$의 디리클레 컨볼루션으로 쓸 수 있다는 사실의 결과물이다$.$

psi 함수에 대한 추가 정의도 있다.딕슨의 말을 ^[1]인용하면

R. Dedekind는^[2] $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 제품 전체에서 ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle$ $ab$$}$로 분해되고 e ${\$$displaystyle$ e$}$이(가)$,$의 g.c.d.인 경우, $이$를 증명했다.

${\displaystyle \sum _{a}(a/e)\varphi(e)=n\prod _{pn}\left(1+{\frac{1}{p}\오른쪽)}$

$여기$서 ${\displaystyle a}$은(는) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 및 $p$$$ ${\displaystyle$$\$$varphi$}의 주요 divisor에 걸쳐 있는 모든 divisor에 걸쳐 있는 것이 토털 함수다.

상위주문

요르단 토텐트의 비율을 통한 높은 주문에 대한 일반화는 다음과 같다.

${\displaystyle \psi _{k}(n)={\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}}}$

디리클레 시리즈로

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\psi _{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s)}}}$.

그것은 또한 권력의 디리클레 컨볼루션이며 뫼비우스 함수의 사각형이다.

${\displaystyle {\psi k}_{}}$( ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$= n ${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \psi_{k}(n)=n^{k}*\mu ^{2}(n)}$.

만약

${\displaystyle \epsilon _{2}=1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,ldots }$

정사각형의 특징적인 기능이며, 또 다른 디리클레 컨볼루션은 일반화된 σ 기능으로 이끈다.

${\displaystyle {}_{}ϵ}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( n${\displaystyle }$) ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle }$n )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ( ${\displaystyle n}$)$$\\$displaystyle \epsilon _{2}(n$)*\$reason _{k}(n)=\chma _{k}(n$

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Dedekind Function". MathWorld.

참고 항목

• Goro Shimura (1971). Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions. Princeton. (25페이지, 방정식 (1))
• Mathar, Richard J. (2011). "Survey of Dirichlet series of multiplicative arithmetic functions". arXiv:1106.4038 [math.NT]. 3.13.2절
• OEIS: A065958은 ψ₂, OEIS: A065959는 ψ₃, OEIS: A065960은 ψ이다₄.