확률론 에서 콜모고로프의 불평등 은 독립 랜덤 변수 의 유한 집합의 부분 합계 가 특정 경계를 초과할 확률에 대한 한계를 주는 이른바 '최대 불평등 '이다.불평등은 러시아 의 수학자 안드레이 콜모고로프 의 이름을 따서 명명되었다.[citation needed
부등식 성명 X 1 , ..., X n R 은 기대값 E[X k 분산 Var[X k n 을 가진 공통 확률 공간 (Ω, F , Pr)에 정의된 독립 랜덤 변수 다. 그런 다음 각 λ > 0에 대해
PR ( 맥스. 1 ≤ k ≤ n S k ≥ λ ) ≤ 1 λ 2 VAR [ S n ] ≡ 1 λ 2 ∑ k = 1 n VAR [ X k ] = 1 λ 2 ∑ k = 1 n E [ X k 2 ] , {\displaystyle \Pr \left(\max _{1\leq k\leq n} S_{k} \geq \lambda \right)\leq {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\operatorname {Var} [S_{n}]\equiv {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Var} [X_{k}]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\sum _{k=1}^{n}{\text{ E}}[X_{k}^{2}],} 여기 서k 1 S = X + ... + X k
이 결과의 편리함은 임의의 시점에서 무작위 보행 의 최악의 경우 편차를 시간 간격의 끝에서 그 값을 사용하여 묶을 수 있다는 것이다.
증명 다음 주장은 카림 아민 에 기인하고 별개의 마팅게일 을 고용한다. 두브의 마팅게일 불평등 논의에서 주장했듯이, S S 2 n {\ displaystyle S_{1},S_{2},\dots ,S_{n} (Z i i 0 n {\ displaystyle (Z_{i})_{i=0}^{n}} Let 0 displaystyle Z_{ 0
Z i + 1 = { S i + 1 만일 맥스. 1 ≤ j ≤ i S j < λ Z i 그렇지 않으면 {\displaystyle Z_{i+1}=\left\{\begin{array}{ll}S_{i+1}&{\text{}}}}}}}}}{1\leq j\leq i}S_{j} <\lambda \Z_{i}&}{}\text}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{array\riginedata. } 모든 {\displaystyle i} . 그러면 Z i 0n {\ displaystyle (Z_{i})_{i=0}^{n}}}}}
M 0 0 displaystyle M_{0}=0} M {\ displaystyle i} ,
∑ i = 1 n E [ ( M i − M i − 1 ) 2 ] = ∑ i = 1 n E [ M i 2 − 2 M i M i − 1 + M i − 1 2 ] = ∑ i = 1 n E [ M i 2 − 2 ( M i − 1 + M i − M i − 1 ) M i − 1 + M i − 1 2 ] = ∑ i = 1 n E [ M i 2 − M i − 1 2 ] − 2 E [ M i − 1 ( M i − M i − 1 ) ] = E [ M n 2 ] − E [ M 0 2 ] = E [ M n 2 ] . {\displaystyle {\begin}\sum _{i=1}^{n}{n}{\text{E}[(M_{i}-M_{i-1})^{2}]&=\sum _{i=1}^{n}{\text} E}}[M_{i}^{2}-2M_{i}M_{i-1}+M_{i-1}^{2}]\ \&=\sum _{i=1}^{n}{\text{ E}}\왼쪽[M_{i}^{2}-2(M_{i-1}+M_{i}-M_{i-1}) M_{i-1}+M_{i-1}^{2}\오른쪽]\ \&=\sum _{i=1}^{n}{\text{ E}}\왼쪽[M_{i}^{2}-M_{i-1}^{2}\오른쪽]-2{\text{ E}\왼쪽[M_{i-1}(M_{i}-M_{i-1}\right]\ \&={\text{ E}}[M_{n}^{2}]-{\text{ E}}[M_{0}^{2}]={\text{ E}}[M_{n}^{2}] \end{정렬}}}
이 결과를 마팅게일 S i 0n {\ displaystyle(S_{i})_{i=0}^{n}}} .
PR ( 맥스. 1 ≤ i ≤ n S i ≥ λ ) = PR [ Z n ≥ λ ] ≤ 1 λ 2 E [ Z n 2 ] = 1 λ 2 ∑ i = 1 n E [ ( Z i − Z i − 1 ) 2 ] ≤ 1 λ 2 ∑ i = 1 n E [ ( S i − S i − 1 ) 2 ] = 1 λ 2 E [ S n 2 ] = 1 λ 2 VAR [ S n ] {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Pr}}\left(\max _{1\leq i\leq n} S_{i} \geq \lambda \right)&={\text{Pr}}[ Z_{n} \geq \lambda ]\\&\leq {\frac {1}{\lambda ^{2}}}{\text{ E}}[Z_{n}^{2}]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{\text{E}}[(Z_{i}-Z_{i-1})^{2}]\\&\leq {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{\text{E}}[(S_{i}-S_{i-1})^{2}]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}{\text{ E}}[S_{n}^{2}]={\frac {1}{\lambda ^{2}}:{\text{Var}}[S_{n}]\ended}}}}}}}}}
체비셰프의 불평등 이 뒤따르는 첫 번째 불평등이 그것이다.
이러한 불평등은 1955년 하예크와 레니에 의해 일반화되었다.
참고 항목 참조 Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure . New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2 Feller, William (1968) [1950]. An Introduction to Probability Theory and its Applications, Vol 1 (Third ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. xviii+509. ISBN 0-471-25708-7 이 글은 크리에이티브 커먼스 귀속/공유 앨리케 라이센스 에 따라 허가된 Kolmogorov의 PlanetMath 불평등에서 비롯된 자료를 통합한 것이다.
![{\displaystyle \Pr \left(\max _{1\leq k\leq n}|S_{k}|\geq \lambda \right)\leq {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\operatorname {Var} [S_{n}]\equiv {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Var} [X_{k}]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\sum _{k=1}^{n}{\text{E}}[X_{k}^{2}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0d0bacbb6caf724405778810930c37e5e4dd995)
(를) 가진 모든 마팅게일 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}{\text{E}}[(M_{i}-M_{i-1})^{2}]&=\sum _{i=1}^{n}{\text{E}}[M_{i}^{2}-2M_{i}M_{i-1}+M_{i-1}^{2}]\\&=\sum _{i=1}^{n}{\text{E}}\left[M_{i}^{2}-2(M_{i-1}+M_{i}-M_{i-1})M_{i-1}+M_{i-1}^{2}\right]\\&=\sum _{i=1}^{n}{\text{E}}\left[M_{i}^{2}-M_{i-1}^{2}\right]-2{\text{E}}\left[M_{i-1}(M_{i}-M_{i-1})\right]\\&={\text{E}}[M_{n}^{2}]-{\text{E}}[M_{0}^{2}]={\text{E}}[M_{n}^{2}].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e3b4b787f0b0ed34783ae053e957e04d78aa8e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Pr}}\left(\max _{1\leq i\leq n}|S_{i}|\geq \lambda \right)&={\text{Pr}}[|Z_{n}|\geq \lambda ]\\&\leq {\frac {1}{\lambda ^{2}}}{\text{E}}[Z_{n}^{2}]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{\text{E}}[(Z_{i}-Z_{i-1})^{2}]\\&\leq {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{\text{E}}[(S_{i}-S_{i-1})^{2}]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}{\text{E}}[S_{n}^{2}]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}{\text{Var}}[S_{n}]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d870bf261d30d0caed8e73274d5abc4ee492640)
