팰리-지그문트 불평등

수학에서, Paley-Zygmund 불평등은 양의 랜덤 변수가 작을 확률을 그것의 처음 두 순간으로 제한한다.그 불평등은 레이먼드 페일리와 안토니 지그문트에 의해 증명되었다.

정리:Z ≥ 0이 분산이 유한한 랜덤 변수인 경우, $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le \theta }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0\leq \theta \leq 1}$인 경우$,$

${\displaystyle \operatorname {P}(Z)\theta \operatorname {E}[Z]\geq (1-\theta )^{2}{\frac {\\\operatorname {E}{{2}}}}}}}$

증명: 첫째,

${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\operatorname {E} [Z\,\mathbf {1} _{\{Z\leq \theta \operatorname {E} [Z]\}}]+\operatorname {E} [Z\,\mathbf {1} _{\{Z>\theta \operatorname {E} [Z]\}}].}$

The first addend is at most ${\displaystyle \theta \operatorname {E} [Z]}$, while the second is at most ${\displaystyle \operatorname {E} [Z^{2}]^{1/2}\operatorname {P} (Z>\theta \operatorname {E} [Z])^{1/2}}$ by the Cauchy–Schwarz inequality.그리고 나서 원하는 불평등이 뒤따른다.∎

관련불평등

Paley-Zygmund 불평등은 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {P}(Z)\teta \operatorname {E}\)\geq {\frac {\(1-\theta )^{2}\\\\operatorname {E}{Z]^{{{{{{{{\operatorname}Z+\e}}.}$

이것은 개선될 수 있다.카우치-슈워즈 불평등에 의해

${\displaystyle \operatorname {E} [Z-\theta \operatorname {E} [Z]]\leq \operatorname {E} [(Z-\theta \operatorname {E} [Z])\mathbf {1} _{\{Z>\theta \operatorname {E} [Z]\}}]\leq \operatorname {E} [(Z-\theta \operatorname {E} [Z])^{2}]^{1/2}\operatorname {P}(Z>\theta \operatorname {E}[Z])^{1/2}}$

재정비 후, 이 말은

${\displaystyle \operatorname {P}(Z)\theta \operatorname {E})\geq {\frac {(1-\theta )^{2}\operatorname {E}{Z]:{2}}:{{\operatorname {E} [Z-\ta \operatorname {E}] [Z]]]]]^{2}]}}={\frac {(1-\theta )^{2}\operatorname {E}{E}{Z]^{2}}:{\operatorname {Var}Z+(1-\theta )^{2}\operatorname {E}[Z]^{2}}.}$

이 불평등은 날카롭다; Z가 거의 확실히 양의 상수와 같다면 평등은 달성된다.

다시 말해, 이것은 또 다른 편리한 형태(칸텔리의 불평등이라고 알려져 있다)를 내포하고 있다.

${\displaystyle \operatorname {P}(Z)\mu -\theta \sigma )\geq {\frac {\the ^{2}}:{1+\ta ^{2}},}$

where ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} [Z]}$ and ${\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {Var} [Z]}$. This follows from the substitution ${\displaystyle \theta =1-\theta '\sigma /\mu }$ valid when ${\displaystyle 0\leq \mu -\theta \sigma \leq \m$$u}$.

Paley-Zygmund 불평등의 강화된 형태는 Z가 음이 아닌 무작위 변수라면 다음과 같이 말한다.

${\displaystyle \operatorname {P}(Z>\theta \operatorname {E}[Z\mid Z>0])\geq {\frac {\(1-\theta )^{2}\\operatorname {E}{{{Z]:{2}}: [Z^{E}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle }$≤ ≤ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$ {\$displaystyle$ 0$\leq \theta \leq 1}.$ 이러한 불평등은 P > ) $displaystyle \operatorname {P}(Z>0)$의 다양한 요인이 취소된다는 점을 유의하고 있다는 점에서 Z의 조건부 분포에 통상적인 Paly-Zygmund 불평등을 적용함으로써 나타난다$.$

이러한 불평등과 일반적인 Paley-Zygmund 불평등 모두 L ${\displaystyle p^{}}$ ${\$ L$^{p}}$ 버전을$$ 인정한다.^[1]Z가 음이 아닌 랜덤 변수이고 > ${\displaystyle p>1}$인 경우

${\displaystyle \operatorname {P} (Z>\theta \operatorname {E} [Z\mid Z>0])\geq {\frac {(1-\theta )^{p/(p-1)}\,\operatorname {E} [Z]^{p/(p-1)}}{\operatorname {E} [Z^{p}]^{1/(p-1)}}}.}$

$0{\displaystyle \mathrm{}}$≤ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$ 1 ${\displaystyle 0\\leq \theta \leq$1}마다$.$ 이는 위와 같은 증거지만 카우치-슈워즈 불평등 대신 h데르의 불평등을 이용한 것이다$.$

참고 항목

• 칸텔리의 부등식
• 농도 불평등 – 무작위 변수에 대한 미행의 요약.

참조

추가 읽기

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않다. 좀 더 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오.(2020년 11월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

• Paley, R. E. A. C.; Zygmund, A. (April 1932). "On some series of functions, (3)". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 28 (2): 190–205. Bibcode:1932PCPS...28..190P. doi:10.1017/S0305004100010860.
• Paley, R. E. A. C.; Zygmund, A. (July 1932). "A note on analytic functions in the unit circle". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 28 (3): 266–272. Bibcode:1932PCPS...28..266P. doi:10.1017/S0305004100010112.