균일 좌표 링

대수 기하학에서, 주어진 차원 N의 투영 공간의 하위변수로 주어지는 대수 다양성 V의 균일한 좌표 링 R은 정의에 의해 지수 링이다.

R = K[X₀, X₁, X₂, ..., X_N] / I

여기서 I는 V를 정의하는 동질의 이상이고, K는 V를 정의하는 대수적으로 닫힌 영역이다.

K[X₀, X₁, X₂, ..., X_N]

N + 1 변수 X의_i 다항식 링이다.따라서 다항식 링은 투사 공간 자체의 균일한 좌표 링이며, 변수는 일정한 기본 선택(투사 공간 밑의 벡터 공간)에 대한 균일한 좌표다.근거의 선택은 이 정의가 본질적이지는 않으나 대칭대수를 사용함으로써 그렇게 할 수 있다는 것을 의미한다.

공식화

V는 다양성으로 가정되고, 그래서 불가해한 대수 집합이므로, 이상적 나는 프라임 이상으로서 선택될 수 있으며, 따라서 R은 불가결한 영역이다.일반적인 동질 이상에 동일한 정의를 사용할 수 있지만, 결과 좌표 링은 0이 아닌 영점 원소와 다른 영점 분자를 포함할 수 있다.계략 이론의 관점에서 이 사례들은 프로즈 건설에 의해 같은 기준으로 다루어질 수 있다.

모든 동종 좌표가 투영 공간 지점에서 사라질 수 있는 것은 아니기 때문에 모든 X에_i 의해 생성된 관련 없는 이상 J는 빈 집합에 해당한다.

투사적인 Nullstellensatz는 투사적인 다양성과 내가 J를 포함하지 않은 동질적 이상들 사이의 주관적 대응성을 제공한다.

결심과 시지즈

대수 기하학에 동질적 대수학 기법을 적용함에 있어서 다항 링 위에 등급화된 모듈로 간주되는 R의 자유 분해능을 적용하는 것은 데이비드 힐버트(현대 용어는 다르지만) 이래 전통적이었다.이것은 시지기, 즉 이상 I의 생성자 사이의 관계에 대한 정보를 산출한다.고전적인 관점에서, 그러한 발전기는 단순히 V를 정의하기 위해 적는 방정식일 뿐이다.V가 초점면이라면 하나의 방정식만 있으면 되고, 완전한 교차로에 대해서는 방정식의 수를 코디멘션으로 취할 수 있다. 그러나 일반적인 투영 다양성에는 그렇게 투명한 방정식의 정의 집합이 없다.예를 들어 표준 곡선과 아벨의 품종을 정의하는 방정식의 예로서 상세한 연구는 이러한 경우를 다루기 위한 체계적 기법의 기하학적 관심을 보여준다.주제도 고전적 형태의 제거 이론에서 성장했는데, 이 이론에서 환원모듈로 1세는 알고리즘적 과정이 되어야 한다(현재 그뢰브너 베이스가 실제로 취급하고 있다).

일반적으로 K[X₀, X₁, X₂, ..., X]보다 등급이_N 매겨진 모듈로서 R의 자유 분해능이 있다.분해능은 자유 모듈의 각 모듈 형태론에서 최소값으로 정의된다.

φ:F_i → F_{i − 1}

결의안에는 J가 관련 없는 이상인 JF가_{i − 1,} 있다.나카야마의 보조정리 결과, φ은 F의_{i − 1} 최소 발전기 집합에 F의_i 일정한 기초를 둔다.최소 자유 분해능의 개념은 강한 의미에서 잘 정의되어 있다: 체인 콤플렉스의 이형성까지 고유하며, 자유 분해능에서 직접 합계로서 발생한다.이 콤플렉스는 R에 내재되어 있기 때문에 등급이 매겨진 베티 숫자 β를_{i, j} F에서_i 오는 등급 j 이미지의 수로 정의할 수 있다(더 정확히 말하면, β를 동종 다항식의 행렬로 생각함으로써, 그 동질성의 항목 수는 오른쪽에서 귀납적으로 획득한 등급에 의해 증가된다).즉, 모든 자유 모듈의 가중치는 분해능에서 유추할 수 있으며 등급이 매겨진 베티 숫자는 분해능의 특정 모듈에서 주어진 가중치의 발생기 수를 세는 것이다.주어진 투영 임베딩에서 V의 이러한 불변성의 특성은 곡선의 경우에도 활발한 연구 질문을 제기한다.^[1]

최소한의 자유 분해능을 명시적으로 알 수 있는 예가 있다.이성적인 정규 곡선의 경우 Eagon-Northcott 콤플렉스다.투사 공간의 타원형 곡선의 경우 Eagon-Northcott 단지의 매핑 원뿔로 분해능을 구성할 수 있다.^[2]

규칙성

카스텔누오보-엠포드 규칙성은 프로젝트적 다양성을 정의하는 이상적 I의 최소 분해능에서 읽을 수 있다.i-th 모듈_i F에서 귀속된 "전환" a의_{i, j} 경우_{i, j}, a - i의 최대치인 만큼 분해능에서 왼쪽으로 이동할 때 1의 증가만으로 이동이 증가할 때(선형 시지이에만 해당)^[3] 작다.

투영 정규성

R이 통합적으로 닫힌다면 그 투사적 내장에서의 V 버라이어티는 프로젝트적으로 정상이다.이 조건은 V가 정규 품종이라는 것을 의미하지만 반대로는 아니다: 투사 정규성의 속성은 3차원의 합리적 사분위 곡선의 예에서 알 수 있듯이 투사적 내장에 독립적이지 않다.^[4]또 다른 동등한 조건은 투사 공간의 tautological line bundle의 이중으로 잘라낸 V 상의 divisors의 선형 시스템과 d = 1, 2, 3, ...에 대한 d-th번째 파워에 관한 것이다; V가 비음반일 때, 그러한 각각의 선형 시스템이 완전한 선형 시스템인 경우에만 투사적으로 정상이다.^[5]또는 투사 공간의 세레 트위스트 쉐이프 O(1)로 tautological 선다발의 이중성을 생각할 수 있으며, 구조체 쉐이프 O를_V 임의의 횟수(예: k 번)로 비틀어서 쉐이프 O_V(k)를 얻을 수 있다.그 다음, 특정 k에 대해 O(k) 지도의 글로벌 섹션이 O_V(k) 지도의 부분과 과부하적으로 일치하는 경우 V를 k-normal이라고 하고, V가 1-normal이면 선형 정규라고 부른다.비성형 다양성은 모든 k normal에 대해 k-정상인 경우에만 투영적으로 정상이다. 선형 정규성도 기하학적으로 표현할 수 있다. 투영적 다양성은 적절한 선형 아공간에서 누운 사소한 방법을 제외하고는 더 높은 차원의 투영 공간에서 이형 선형 투영으로 얻을 수 없다.투영적 정규성은 이를 선형 정규성의 조건으로 줄이기 위해 충분한 베로네어 매핑을 사용하여 유사하게 번역될 수 있다.

주어진 매우 풍성한 선다발이 V의 투사적 임베디드(projective investment)를 초래한다는 관점에서 문제를 살펴보면, 그러한 선다발(invertible sheaf)은 V가 투사적으로 정상이면 정상적으로 생성된다고 한다.투영적 정규성은 그린과 라자스펠트가 정의한 일련의 조건의 첫 번째 조건 N이다₀.이를 위해

${\d=0}^{d=0}^{\infit }H^{0}(V,L^{d})}$

투사 공간의 균일한 좌표 링 위에 등급이 매겨진 모듈 및 최소 자유 분해능으로 간주된다.조건 N은_p 첫 번째 p 등급의 베티 번호에 적용하여 j > i + 1이 되면 사라지게 한다.^[6]곡선의 경우 녹색은 deg(L) ≥ 2g + 1 + p일 때 조건 N이_p 만족한다는 것을 보여주었는데, p = 0은 Guido Castelnuovo의 고전적인 결과였다.^[7]

참고 항목

• 투영 버라이어티
• 힐베르트 다항식

메모들

참조

• 오스카 자리스키와 피에르 사무엘, 동시 대수학 볼.II(1960), 페이지 168–172.