델타 연산자

In mathematics, a delta operator is a shift-equivariant linear operator ${\displaystyle Q\colon \mathbb {K} [x]\longrightarrow \mathbb {K} [x]}$ on the vector space of polynomials in a variable ${\displaystyle x}$ over a field ${\displaystyle \mathbb {K} }$ that reduces degrees by one.

$Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$이(가) shift-equivariant라고 하는 것은 $g{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$+ a$)$ {\$displaystyle g(x)=f(x+a)}$인 경우$,$ 그 다음에 해당됨을 의미한다.

${\displaystyle {(Qg)(x)=(Qf)(x+a)}.\,}$

즉, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$의 "shift"인$$$$ 경우$,$ $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Qf}$ 역시 $Q{\displaystyle }$ g ${\displaysty Qg$의 "shifting vector"가 동일한 ${\displaysty a}$을 갖는다는 것이다$.$

연산자가 한 가지 방법으로 학위를 줄인다고 하는 것은 $f{\displaystyle }$${\displaystyle$$f$$}$이(가) 도 $n$의 다항식인 경우${\displaystyle ,<img\; alt="n"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.395ex;\; height:1.676ex;"\; papago-attr-id="43">}$ $Q{\displaystyle }$ f$$${\displaystyle n-1$ $또는{\displaystyle }$n = ${\displaystyle 0}${\$displaystyn=0$인 경우, ${\displaystyle Q}$f {\$displaystyle Qf}$이 0인 경우를 의미한다.

때로 델타 연산자는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$을(를) 0이 아닌 상수에$$ 매핑하는$$ $x{\displaystyle }${\$displaystyle x$}의 다항식에 대한 이동 등가 선형 변환으로 정의된다.위에 주어진 정의보다 약해 보이는 이 후자의 특성화는 $K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$이(가) 특성 0을 가질$$ 때 명시된 정의와 동등하다고 보여질 수 있는데, 이는 이동 동위가 상당히 강한 조건이기 때문이다.

예

• 선도차 연산자

${\displaystyle (\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)\,}$

델타 연산자야

• d로 표기된 x에 대한 분화도 델타 연산자다.
• 양식의 모든 연산자

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infit }c_{k}D^{k}}}}}}$

(여기서ⁿ D(d) = ƒ은⁽ⁿ⁾ nderivative^th) $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0}$ $[\displaystyle c_{1}\neq 0}$은 델타 연산자다$$.모든 델타 연산자를 이 양식으로 작성할 수 있음을 알 수 있다.예를 들어 위에 주어진 차이 연산자를 다음과 같이 확장할 수 있다.

${\displaystyle \Delta =e^{D}-1=\sum _{k=1}^{k=1}{\flac{D^{k}}{k!}}.}$

• 표준 미적분학의 파생상품과 선도차이 사업자를 통합하는 시간 척도 미적분학의 일반화된 파생상품은 델타 사업자다.
• 컴퓨터 과학과 사이버 네틱스에서는 일반적으로 "discret-time delta operator"(Δ)라는 용어는 차이 연산자를 의미하는 것으로 간주된다.

${\deltayle {(\delta f)(x)={{f(x+\Delta t)-f(x)}\over {\Delta t}}}}$

이산 샘플 시간 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \Delta t}$을(를) 갖는 일반적인 파생 모델의 오일러 근사치$.$델타 포뮬레이션은 빠른 샘플링에서 시프트 오퍼레이터와 비교하여 상당한 수의 수적 이점을 얻는다.

기본 다항식

모든 델타 연산자 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$에는 다음과 같은 세 가지 조건으로 정의된 다항식 시퀀스인 "기본 다항식"의 고유한 시퀀스가 있다$$.

• ${\displaystyle p_{0}(x)=1;}$
• ${\displaystyle p_{n}(0)=0;}$
• ${\displaystyle (Qp_{n})(x)=np_{n-1}(x){\text{{{{}모든 }n\in \mathb{N} .}$

이러한 기본 다항식의 순서는 항상 이항형이며, 다른 이항형식의 순서는 존재하지 않음을 알 수 있다.위의 처음 두 조건이 삭제되면 세 번째 조건은 이 다항식 시퀀스가 셰퍼 시퀀스(더 일반적인 개념)라고 말한다.

참고 항목

• 핀처레파생성
• 시프트 연산자
• 움브랄 미적분학

참조

• Nikol'Skii, Nikolai Kapitonovich (1986), Treatise on the shift operator: spectral function theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-15021-5

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Delta Operator". MathWorld.