이항 분포(폴리놈)

대수학에서 이항은 두 항을 합한 다항식이며, 각 항은 단항이다.^[1] 그것은 단항 다음으로 가장 간단한 종류의 희박한 다항식이다.

정의

이항은 두 개의 단항 합인 다항식이다. 이항은 단일 미확정(일변량 이항이라고도 함) 형태로 작성될 수 있다.

${\displaystyle ax^{m}-bx^{n}\...}$

여기서 a와 b는 숫자, m과 n은 구별되는 음이 아닌 정수, x는 불확정 또는 역사적 이유로 변수라고 불리는 기호다. Laurent 다항식 맥락에서 흔히 이항식이라고 불리는 Laurent 이항식도 비슷하게 정의되지만, 지수 m과 n은 음수일 수 있다.

더 일반적으로 이항은 다음과^[2] 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle ax_{1}^{n_{1}^{n_{1}^{n_{i}-bx_{1}^{m_{1}^{1}:{m_{i}^{m_{i}}}}}}}$

예

${\displaystyle 3x-2x^{2}}$

${\displaystyle xy+yx^{2}}$

${\displaystyle 0.9x^{3}+\pi y^{2}}$

${\displaystyle 2x^{3}+7}$

단순 이항 분포에 대한 작업

• 이항 x² - y는² 두 개의 다른 이항 분포로 간주될 수 있다.

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).}$

이것은 보다 일반적인 공식의 특별한 경우다.

${\displaystyle x^{n+1}-y^{n+1}-y^{n+1}=(x-y)\sum_{k=0}^{n}x^{k}\,y^{n-k}.}$

복잡한 숫자에 대해 작업할 때 이 값은 다음과 같이 확장될 수 있다.

${\displaystyle x^{2}+y^{2}}}=x^{2}-(iy)^{2}=(x-iy)(x+iy).}$

• 선형 이항문 쌍(ax + b) 및 (cx + d)의 곱은 삼항문이다.

${\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd.}$

• (x + y)ⁿ로 표현되는 n파워로^th 상승된 이항은 이항 정리를 통해 또는 동등하게 파스칼의 삼각형을 사용하여 확장할 수 있다. 예를 들어, 이항(x + y)의 제곱(x + y)²은 두 항(x + y)의 제곱합과 같고, 항 곱의 곱은 다음과 같다.

${\displaystyle (x+y)^{2}}=x^{2}+2xy+y^{2}.}$

이 팽창에서 항에 대한 승수로 나타나는 숫자(1, 2, 1)는 파스칼의 삼각형 위에서 2열 아래쪽에 있는 이항 계수다. n^th 동력의 확장은 삼각형의 위에서 아래로 n행의 숫자를 사용한다.

• 이항 분포의 제곱에 대해 위의 공식의 적용은 피타고라스의 세 쌍을 생성하기 위한 "(m, n)-공식"이다.

m < n의 경우 a = n - m²², b = 2mn, c = n² + m², 그 다음² a + b² = c로² 한다.

• 큐브의 합계 또는 차이인 이항식은 다음과 같이 저차 다항식으로 인수할 수 있다.

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2}}}$

${\displaystyle x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})}$

참고 항목

• 정사각형 완성
• 이항 분포
• 요인 및 이항 항목 목록(관련 링크가 많이 포함됨)

메모들

참조

• Bostock, L.; Chandler, S. (1978). Pure Mathematics 1. Oxford University Press. p. 36. ISBN 0-85950-092-6.