수학 에서 벡터 구형 고조파 (VSH )는 벡터장 과 함께 사용하기 위한 스칼라 구형 고조파 의 확장이다.VSH의 구성요소는 구면 좌표기준 벡터 로 표현되는 복합값 함수다.
벡터 필드와 함께 사용할 스칼라 구형 고조파 확장
정의 VSH를 정의하기 위해 몇 가지 규칙이 사용되어 왔다.[1] [2] [3] [4] [5] 우리 는 바레라 외.. 스칼라 구형 고조파 Ylm (θ φ )에 따라 다음 세 가지 VSH를 정의한다.
Y l m = Y l m r ^ , {\displaystyle \mathbf {Y} _{lm}= Y_{lm}{\hat {\mathbf{r}}}},} Ψ l m = r ∇ Y l m , {\displaystyle \mathbf {\PSI } _{lm}=r\nabla Y_{lm}} Φ l m = r × ∇ Y l m , {\displaystyle \mathbf {\Phi } _{lm}=\mathbf {r} \time \nabla Y_{lm}}} r {\ displaystyle {\hat{\mathbf {r}}}} 구형 좌표에서 방사형 방향을 따라가는 단위 벡터 displaysty \mathbf {r} 와 r displaystystyle \mathbf {r}}}}}}}} ) 방사형 인자는 VSH의 치수가 일반 구형 고조파 치수와 동일하고 VSH가 방사형 구형 좌표에 의존하지 않는다는 것을 보장하기 위해 포함된다.
이러한 새로운 벡터 필드의 관심사는 구형 좌표를 사용할 때 방사상 의존도와 각의존도를 분리하여 벡터 필드가 다중홀 확장 을 허용하도록 하는 것이다.
E = ∑ l = 0 ∞ ∑ m = − l l ( E l m r ( r ) Y l m + E l m ( 1 ) ( r ) Ψ l m + E l m ( 2 ) ( r ) Φ l m ) . {\displaystyle \mathbf {E} =\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\left(E_{lm}^{r}(r)\mathbf {Y} _{lm}+E_{lm}^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{lm}+E_{lm}^{(2)}(r)\mathbf {\Phi } _{lm}\right). } The labels on the components reflect that E l m r {\displaystyle E_{lm}^{r}} E l m ( 1 ) {\displaystyle E_{lm}^{(1)}} E l m ( 2 ) {\displaystyle E_{lm}^{(2)}} r {\displaystyle \mathbf {r} }
주 특성 대칭 스칼라 구형 고조파처럼 VSH도 만족한다.
Y l , − m = ( − 1 ) m Y l m ∗ , Ψ l , − m = ( − 1 ) m Ψ l m ∗ , Φ l , − m = ( − 1 ) m Φ l m ∗ , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{l,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {Y} _{lm}^{*},\\\mathbf {\Psi } _{l,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {\Psi } _{lm}^{*},\\\mathbf {\Phi } _{l,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {\Phi } _{lm}^{*},\end{aligned}}} 독립적 기능의 수를 대략 절반으로 줄인다. 그 별은 복잡한 결합 을 나타낸다.
직교성 VSH는 각 지점 r {\ displaystyle \mathbf {r} } 방식 으로 직교한다.
Y l m ( r ) ⋅ Ψ l m ( r ) = 0 , Y l m ( r ) ⋅ Φ l m ( r ) = 0 , Ψ l m ( r ) ⋅ Φ l m ( r ) = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{lm}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Psi } _{lm}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {Y} _{lm}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{lm}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {\Psi } _{lm}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{lm}(\mathbf {r} )&=0. \end{정렬}}} 힐베르트 공간에서도 직교한다.
∫ Y l m ⋅ Y l ′ m ′ ∗ d Ω = δ l l ′ δ m m ′ , ∫ Ψ l m ⋅ Ψ l ′ m ′ ∗ d Ω = l ( l + 1 ) δ l l ′ δ m m ′ , ∫ Φ l m ⋅ Φ l ′ m ′ ∗ d Ω = l ( l + 1 ) δ l l ′ δ m m ′ , ∫ Y l m ⋅ Ψ l ′ m ′ ∗ d Ω = 0 , ∫ Y l m ⋅ Φ l ′ m ′ ∗ d Ω = 0 , ∫ Ψ l m ⋅ Φ l ′ m ′ ∗ d Ω = 0. {\displaystyle{\begin{정렬}\int \mathbf{Y}_{루멘}\cdot\mathbf{Y}_{ 난 '}^{*}\,d\Omega&=\delta _{ 주어의}\delta _{mm의},\\\int \mathbf{\Psi}_{루멘}\cdot\mathbf{\Psi}_{ 난 '}^{*}\,d\Omega&=l(l+1)\delta _{ 주어의}\delta _{mm의},\\\int \mathbf{\Phi}_{루멘}\cdot\mathbf{\Phi}_{ 난 '}^{*}\,d\Omega&=l(l+1)\delta _{ 주어의}\delta _{mm의},\\\in.t\mathbf{Y } _{lm}\cdot \mathbf {\Psi } _{l'm'}^{*}\,d\Omega &=0,\\\int \mathbf {Y} _{lm}\cdot \mathbf {\Phi } _{l'm'}^{*}\,d\Omega &=0,\\\int \mathbf {\Psi } _{lm}\cdot \mathbf {\Phi } _{l'm'}^{*}\,d\Omega &=0. \end{정렬}}} 단일 지점 r {\ displaystyle \mathbf {r} 결과 , m , l m ′ {\ displaystyle l,m, ', '} .
Y l m ( r ) ⋅ Ψ l ′ m ′ ( r ) = 0 , Y l m ( r ) ⋅ Φ l ′ m ′ ( r ) = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{lm}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Psi } _{l'm'}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {Y} _{lm}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{l'm'}(\mathbf {r} )&=0. \end{정렬}}} 벡터 다중 홀 모멘트 직교 관계를 통해 벡터 필드의 구형 다중 홀 모멘트를 다음과 같이 계산할 수 있다.
E l m r = ∫ E ⋅ Y l m ∗ d Ω , E l m ( 1 ) = 1 l ( l + 1 ) ∫ E ⋅ Ψ l m ∗ d Ω , E l m ( 2 ) = 1 l ( l + 1 ) ∫ E ⋅ Φ l m ∗ d Ω . {\displaystyle {\reasoned} E_{lm}^{r}&=\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {Y} _{lm}^{*}\,d\Omega ,\\E_{lm}^{(1)}&={\frac {1}{l(l+1)}}\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {\Psi } _{lm}^{*}\,d\Omega ,\\E_{lm}^{(2)}&={\frac {1}{l(l+1)}}\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {\Phi } _{lm}^{*}\,d\Omega . \end{정렬}}} 스칼라 필드의 그라데이션 스칼라 필드의 다중 홀 확장 지정
ϕ = ∑ l = 0 ∞ ∑ m = − l l ϕ l m ( r ) Y l m ( θ , ϕ ) , {\displaystyle \phi =\sum _{l=0}^{\infit }\sum _{m=-l}^{l}^{l}\pi _{lm}(r) Y_{lm}(\theta ,\phi ),} 우리는 VSH의 측면에서 그것의 경사를 다음과 같이 표현할 수 있다.
∇ ϕ = ∑ l = 0 ∞ ∑ m = − l l ( d ϕ l m d r Y l m + ϕ l m r Ψ l m ) . {\displaystyle \nabla \phi =\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\left({\frac {d\phi _{lm}}{dr}}\mathbf {Y} _{lm}+{\frac {\phi _{lm}}{r}}\mathbf {\Psi } _{lm}\right). } 발산 모든 다중 홀 필드에 대해
∇ ⋅ ( f ( r ) Y l m ) = ( d f d r + 2 r f ) Y l m , ∇ ⋅ ( f ( r ) Ψ l m ) = − l ( l + 1 ) r f Y l m , ∇ ⋅ ( f ( r ) Φ l m ) = 0. {\displaystyle {\begin}\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {Y} _{lm}\right)=\left({\frac {df}{dr}+{2}{r}fl}f\rig) Y_{lm},\\\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{lm}\right)&=-{\frac {l(l+1)}{r}}fY_{lm},\\\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{lm}\right)&=0. \end{정렬}}} 중첩을 통해 우리는 벡터장의 차이 를 얻는다.
∇ ⋅ E = ∑ l = 0 ∞ ∑ m = − l l ( d E l m r d r + 2 r E l m r − l ( l + 1 ) r E l m ( 1 ) ) Y l m . {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\left({\frac {dE_{lm}^{r}}{dr}}+{\frac {2}{r}}E_{lm}^{r}-{\frac {l(l+1)}{r}}E_{lm}^{(1)}\right) Y_{lm}} 우리 lm 항상 솔레노이드라는 것을 안다.
컬 모든 다중 홀 필드에 대해
∇ × ( f ( r ) Y l m ) = − 1 r f Φ l m , ∇ × ( f ( r ) Ψ l m ) = ( d f d r + 1 r f ) Φ l m , ∇ × ( f ( r ) Φ l m ) = − l ( l + 1 ) r f Y l m − ( d f d r + 1 r f ) Ψ l m . {\displaystyle{\begin{정렬}\nabla \times, =-{\frac{1}{r}}f\mathbf{\Phi}_{루멘},\\\nabla \times{\Psi}_{루멘}\right)및 \left(f(r)\mathbf, =\left({\frac{의}{나}}와{\frac{1}{r}}f\right)\mathbf{\Phi}_{루멘},\\\nabla \times{\Phi}_{루멘}\right)및 \left(f(r)\mathbf, =-{\frac{l(l+1)}{r}}{Y}_{루멘}-\ f\mathbf{Y}_{루멘}\right)및 \left(f(r)\mathbf.({을 떠나\frac {df}{dr}+{\frac {1}{r}f\right)\mathbf {\PSI } _{lm}. \end{정렬}}} 중첩을 통해 벡터 필드의 컬 을 얻는다.
∇ × E = ∑ l = 0 ∞ ∑ m = − l l ( − l ( l + 1 ) r E l m ( 2 ) Y l m − ( d E l m ( 2 ) d r + 1 r E l m ( 2 ) ) Ψ l m + ( − 1 r E l m r + d E l m ( 1 ) d r + 1 r E l m ( 1 ) ) Φ l m ) . {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\left(-{\frac {l(l+1)}{r}}E_{lm}^{(2)}\mathbf {Y} _{lm}-\left({\frac {dE_{lm}^{(2)}}{dr}}+{\frac {1}{r}}E_{lm}^{(2)}\right)\mathbf {\Psi } _{lm}+\left(-{\frac {1}{r}}E_{lm}^{r}+{\frac {dE_{lm}^{(1)}}{dr}}+{\frac {1}{r}}E_{lm}^{(1)}\right)\mathbf {\Phi } _{lm}\right). } 라플라시안 라플라스 연산자 Δ ∇ ∇ ∇ displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla }
Δ ( f ( r ) Z l m ) = ( 1 r 2 ∂ ∂ r r 2 ∂ f ∂ r ) Z l m + f ( r ) Δ Z l m , {\displaystyle \Delta \left(f(r)\mathbf {Z} _{lm}\right)=\left({\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)\mathbf {Z} _{lm}+f(r)\ 델타 \mathbf {Z} _{lm}} 여기서 Z l Y m ψ l φ l m {\ displaystyle \mathbf {Z} _{lm}=\mathbf {Y} _{lm},\mathbf {\PSi _{lm},\mathbf {\\phi _{lm}}}}}}}}}},
Δ Y l m = − 1 r 2 ( 2 + l ( l + 1 ) ) Y l m + 2 r 2 Ψ l m , Δ Ψ l m = 2 r 2 l ( l + 1 ) Y l m − 1 r 2 l ( l + 1 ) Ψ l m , Δ Φ l m = − 1 r 2 l ( l + 1 ) Φ l m . {\displaystyle{\begin{정렬}\Delta\mathbf{Y}_{루멘}&, =-{\frac{1}{r^{2}}}(2+l(l+1))\mathbf{Y}_{루멘}+{\frac{2}{r^{2}}}\mathbf{\Psi}_{루멘},\\\Delta\mathbf{\Psi}_{루멘}&, ={\frac{2}{r^{2}}}l(l+1)\mathbf{Y}_{루멘}-{\frac{1}{r^{2}}}l(l+1)\mathbf{\Psi}_{루멘},\\\Delta\mathbf{\Phi}_{루멘}&, =-{\frac{1}{r^{2}}}l(l+1)\mathbf{\Phi}다.{루멘}. \end{정렬}}} 또한 이 동작은 대칭 이 된다는 점에 유의하십시오. 즉, 적절히 정규화 된 VSH에 대해 오프-다이얼 계수는 2r l l 1 ){\ displaystyle {\frac {2}{r^{2}}}{\sqrt{l(l+1)}}}}}} (
예 첫 번째 벡터 구형 고조파 l {\displaystyle l=0 Y 00 = 1 4 π r ^ , Ψ 00 = 0 , Φ 00 = 0 . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{00}&={\sqrt {\frac {1}{4\pi }}}{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {\Psi } _{00}&=\mathbf {0} ,\\\mathbf {\Phi } _{00}&=\mathbf {0} .\end{aligned}}} l {\displaystyle l=1 Y 10 = 3 4 π cas θ r ^ , Y 11 = − 3 8 π e i φ 죄를 짓다 θ r ^ , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{10}&={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cos \theta \,{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {Y} _{11}&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}e^{i\varphi }\sin \theta \,{\hat {\mathbf {r} }},\end{aligned}}} Ψ 10 = − 3 4 π 죄를 짓다 θ θ ^ , Ψ 11 = − 3 8 π e i φ ( cas θ θ ^ + i φ ^ ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Psi } _{10}&=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }},\\\mathbf {\Psi } _{11}&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}e^{i\varphi }\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+i\,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right),\end{aligned}}} Φ 10 = − 3 4 π 죄를 짓다 θ φ ^ , Φ 11 = 3 8 π e i φ ( i θ ^ − cas θ φ ^ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Phi } _{10}&=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }},\\\mathbf {\Phi } _{11}&={\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}e^{i\varphi }\left(i\,{\hat {\mathbf {\theta } }}-\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right). \end{정렬}}} l [\displaystyle l=2 . Y 20 = 1 4 5 π ( 3 cas 2 θ − 1 ) r ^ , Y 21 = − 15 8 π 죄를 짓다 θ cas θ e i φ r ^ , Y 22 = 1 4 15 2 π 죄를 짓다 2 θ e 2 i φ r ^ . {\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{Y}_{20}&, ={\frac{1}{4}}{\sqrt{\frac{5}{\pi}}}\,(3\cos ^{2}\theta))\,{\hat{\mathbf{r}}},\\\mathbf{Y}_{21}&, =-{\sqrt{\frac{15}{8\pi}}}\,\sin\theta \,\cos(\,e^{i\varphi}\,{\hat{\mathbf{r}}},\\\mathbf{Y}_{22}&, ={\frac{1}{4}}{\sqrt{\frac{15}{2\pi}}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2.i\varphi}), {\hat {\mathbf {r}}. \end{정렬}}} Ψ 20 = − 3 2 5 π 죄를 짓다 θ cas θ θ ^ , Ψ 21 = − 15 8 π e i φ ( cas 2 θ θ ^ + i cas θ φ ^ ) , Ψ 22 = 15 8 π 죄를 짓다 θ e 2 i φ ( cas θ θ ^ + i φ ^ ) . {\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{\Psi}_{20}&, =-{\frac{3}{2}}{\sqrt{\frac{5}{\pi}}}\,\sin\theta \,\cos(\,{\hat{\mathbf{\theta}}},\\\mathbf{\Psi}_{21}&, =-{\sqrt{\frac{15}{8\pi}}}\,e^ᆵ\,\left(\cos 2\theta \,{\hat{\mathbf{\theta}}}+i\cos\theta \,{\hat{\mathbf{\varphi}}}\right),\\\mathbf{\Psi}_{.22}&){\s qrt{\frac{15}{8\pi }}\,\sin \theta \,e^{2i\varphi }\,\좌(\cos \cos \theta \, {\mathbf {\}}}+i\,{\mathbf {\}}}}}}\오른쪽). \end{정렬}}} Φ 20 = − 3 2 5 π 죄를 짓다 θ cas θ φ ^ , Φ 21 = 15 8 π e i φ ( i cas θ θ ^ − cas 2 θ φ ^ ) , Φ 22 = 15 8 π 죄를 짓다 θ e 2 i φ ( − i θ ^ + cas θ φ ^ ) . {\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{\Phi}_{20}&, =-{\frac{3}{2}}{\sqrt{\frac{5}{\pi}}}\sin\theta \,\cos(\,{\hat{\mathbf{\varphi}}},\\\mathbf{\Phi}_{21}&, ={\sqrt{\frac{15}{8\pi}}}\,e^ᆵ\,\left(i\cos\theta \,{\hat{\mathbf{\theta}}}-\cos 2\theta \,{\hat{\mathbf{\varphi}}}\right),\\\mathbf{\Phi}_{22.}&){\sqr t{\frac{15}{8\pi }}\,\sin \theta \, e^{2i\varphi }\,\lefti\,{\mathbf {\}}+\cos \cos \theta \,{\hattheat {\mathbf{\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\righatsa \right) \end{정렬}}} m 의 음수 값에 대한 표현은 대칭 관계를 적용하여 구한다.
적용들 전기역학 VSH는 특히 다극선 방사장 연구에 유용하다. 예를 들어, 자기 다중극은 각도 주파수 Ω displaystyle \omega }
J ^ = J ( r ) Φ l m , {\displaystyle {\hatsbf {J}}}}}}=J(r)\mathbf {\Phi } _{lm}} 그리고 해당하는 전기장과 자기장은 다음과 같이 기록할 수 있다.
E ^ = E ( r ) Φ l m , B ^ = B r ( r ) Y l m + B ( 1 ) ( r ) Ψ l m . {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {E} }}&=E(r)\mathbf {\Phi } _{lm},\\{\hat {\mathbf {B} }}&=B^{r}(r)\mathbf {Y} _{lm}+B^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{lm}. \end{정렬}}} 맥스웰 방정식으로 대체하면 가우스의 법칙은 자동으로 충족된다.
∇ ⋅ E ^ = 0 , {\displaystyle \nabla \cdot {\hat {\\mathbf {E}}}}}} 패러데이의 법칙은 로서 분리된다.
∇ × E ^ = − i ω B ^ ⇒ { l ( l + 1 ) r E = i ω B r , d E d r + E r = i ω B ( 1 ) . {\displaystyle \nabla \times {\hat {\mathbf {E} }}=-i\omega {\hat {\mathbf {B} }}\quad \Rightarrow \quad \left\{{\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {l(l+1)}{r}}E=i\omega B^{r},\\\displaystyle {\frac {dE}{dr}}+{\frac {E}{r}}=i\omega B^{(1)}. \end{array}\오른쪽. } 자기장에 대한 가우스의 법칙은 암시한다.
∇ ⋅ B ^ = 0 ⇒ d B r d r + 2 r B r − l ( l + 1 ) r B ( 1 ) = 0 , {\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf{B}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{dB^{dB^{r}{r}{r}{r}{r}{r}l(l+1)}}}}}}}}}},}}}}}}}}}}}}}}}}}},},},},},},},},} 암페어-맥스웰의 방정식은
∇ × B ^ = μ 0 J ^ + i μ 0 ε 0 ω E ^ ⇒ − B r r + d B ( 1 ) d r + B ( 1 ) r = μ 0 J + i ω μ 0 ε 0 E . {\displaystyle \nabla \times {\hat {\mathbf {B} }}=\mu _{0}{\hat {\mathbf {J} }}+i\mu _{0}\varepsilon _{0}\omega {\hat {\mathbf {E} }}\quad \Rightarrow \quad -{\frac {B^{r}}{r}}+{\frac {dB^{(1)}}{dr}}+{\frac {B^{(1)}}{r}}=\mu _{0}J+i\omega \mu _{0}\varepsilon _{0}E.} 이렇게 해서 부분 미분 방정식은 일련의 일반적인 미분 방정식으로 변형되었다.
대체 정의 자기 및 전기 벡터 구형 고조파의 각도 부분. 빨간색과 녹색 화살표는 들판의 방향을 보여준다. 스칼라 생성 기능도 제시되며, 처음 3개의 순서만 표시된다(디폴, 쿼드러플, 옥투폴). 많은 애플리케이션에서 벡터 구형 고조파들은 구형 좌표에서 벡터 헬름홀츠 방정식 의 해법의 기본 집합으로 정의된다.[6] [7]
이 경우 벡터 구형 고조파들은 스칼라 함수에 의해 생성되는데, 스칼라 헬름홀츠 방정식의 해법으로서 파형 벡터 k {\ displaystyle {\bf{k
ψ e m n = cas m φ P n m ( cas ϑ ) z n ( k r ) ψ o m n = 죄를 짓다 m φ P n m ( cas ϑ ) z n ( k r ) {\displaystyle {\begin{array}{l}{\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}\\{\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}\end{array}}} 여기서 Pn m( cos θ {\displaystyle P_{n}^{m}(\cos \theta )} 관련 범례 다항식 및 z n (k r {\displaystyle z_{n}({k}r)} 구형 베셀 함수 .
벡터 구형 고조파는 다음과 같이 정의된다.
L o o ∇ o m \ L} _{^{e}_{o}mn}=\mathbf {\\nabla \psi _{^{e}_{o}mn}}}} M o e m × ψ o e n {\ displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \psi _{^{e}_{o}mn}\rig) N o o × × o k {\ displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:{k 여기서 우리 0 {\displaystyle m\geq 0} (
표기법 ρ k r {\displaystyle \rho =kr} . 성분 형태에서 벡터 구형 고조파는 다음과 같이 기록된다.
M e m n ( k , r ) = − m 죄를 짓다 ( θ ) 죄를 짓다 ( m φ ) P n m ( cas ( θ ) ) z n ( ρ ) e θ − − cas ( m φ ) d P n m ( cas ( θ ) ) d θ z n ( ρ ) e φ {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {M} _{emn}(k,\mathbf {r} )={{\frac {-m}{\sin(\theta )}}\sin(m\varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }-}\\{-\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}} M o m n ( k , r ) = m 죄를 짓다 ( θ ) cas ( m φ ) P n m ( cas ( θ ) ) z n ( ρ ) e θ − − 죄를 짓다 ( m φ ) d P n m ( cas ( θ ) ) d θ z n ( ρ ) e φ {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {M} _{omn}(k,\mathbf {r} )={{\frac {m}{\sin(\theta )}}\cos(m\varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }-\\{-\sin(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }}\end{aligned}}} N e m n ( k , r ) = z n ( ρ ) ρ cas ( m φ ) n ( n + 1 ) P n m ( cas ( θ ) ) e r + + cas ( m φ ) d P n m ( cas ( θ ) ) d θ 1 ρ d d ρ [ ρ z n ( ρ ) ] e θ − − m 죄를 짓다 ( m φ ) P n m ( cas ( θ ) ) 죄를 짓다 ( θ ) 1 ρ d d ρ [ ρ z n ( ρ ) ] e φ {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {N} _{emn}(k,\mathbf {r} )={\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\cos(m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }+}\\{+\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }-\\{-m\sin(m\varphi ){\fra c {P_{n}^{m}(\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}{\frac{1}{\rho}{d}{d\rho}}}}}}}}\mathbf {e} _{varphi }}}{{{d}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} N o m n ( k , r ) = z n ( ρ ) ρ 죄를 짓다 ( m φ ) n ( n + 1 ) P n m ( cas ( θ ) ) e r + + 죄를 짓다 ( m φ ) d P n m ( cas ( θ ) ) d θ 1 ρ d d ρ [ ρ z n ( ρ ) ] e θ + + m cas ( m φ ) P n m ( cas ( θ ) ) 죄를 짓다 ( θ ) 1 ρ d d ρ [ ρ z n ( ρ ) ] e φ {\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{N}_{omn}&,(k,\mathbf{r})=ᆳ(\rho)}{\rho}}\sin(m\varphi)n(n+1)P_ᆵ^ᆶ(\cos(\theta))\mathbf{e}_{\mathbf{r}}+\\&, +\sin(m\varphi){\frac{dP_{n}(\cos(\theta))}{d\theta}}{\frac{1}{\rho}}{\frac{d}{d\rho}}\left[\rho z_{n}()\rho \right]\mathbf{e}_{\theta}+\\&, +{m\cos(m\va.rphi){\frac {P_{n}^{m}(\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho}{d}{d\rho}}}}}}}}\mathbf {e} _{varphi }\edi}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 자기 고조파에는 방사형 부분이 없다. 전기 고조파에서는 각보다 방사형 부분이 더 빨리 감소하고, 큰 ρ {\displaystyle \rho 또한 전기 및 자기 고조파 각도 부분은 극 및 방위 단위 벡터의 순열까지 동일하므로, 큰 ρ {\displaystyle \rho}
종방향 고조파:
L o e m n ( k , r ) = ∂ ∂ r z n ( k r ) P n m ( cas θ ) 죄를 짓다 cas m φ e r + 1 r z n ( k r ) ∂ ∂ θ P n m ( cas θ ) 죄를 짓다 cas m φ e θ ∓ ∓ m r 죄를 짓다 θ z n ( k r ) P n m ( cas θ ) cas 죄를 짓다 m φ e φ {\displaystyle {\begin}\mathbf {L} _{^{e}_{o}{mn}&(k,\mathbf {r} )={\frac {\partial r}z_{n}(kr) P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\cos }_{\sin }}{m\varphi }\mathbf {e} _{r}+\\&{\frac {1}{r}}z_{n}(kr){\frac {\partial }{\partial \theta }}P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\cos }_{\sin }}m\varphi \mathbf {e} _{\theta }\mp \\&\mp {\frac {m}{r\sin \theta }}z_{n}(kr) P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\sin }_{\cos }}m\varphi \mathbf {e} _{\varphi }\ended}}}}}}}}}} 직교성 헬름홀츠 벡터 방정식의 해법은 다음과 같은 직교 관계를 따른다.[7]
∫ 0 2 π ∫ 0 π L o e m n ⋅ L o e m n 죄를 짓다 ϑ d ϑ d φ = ( 1 + δ m , 0 ) 2 π ( 2 n + 1 ) 2 ( n + m ) ! ( n − m ) ! k 2 { n [ z n − 1 ( k r ) ] 2 + ( n + 1 ) [ z n + 1 ( k r ) ] 2 } {\displaystyle {\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2 }}}{\frac {(n+m)! }{{(n-m)! }}}}\왼쪽\{n\왼쪽[z_{n-1}(kr)\오른쪽]^{2}+(n+1)\왼쪽[z_{n+1}(kr)\오른쪽]^{2}\오른쪽\}}} ∫ 0 2 π ∫ 0 π M o e m n ⋅ M o e m n 죄를 짓다 ϑ d ϑ d φ = ( 1 + δ m , 0 ) 2 π 2 n + 1 ( n + m ) ! ( n − m ) ! n ( n + 1 ) [ z n ( k r ) ] 2 {\displaystyle {\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{2n+1}}{\frac {(n+m)! }{{(n-m)! }}{n(n+1)\왼쪽[z_{n}(kr)\오른쪽]^{2}}} ∫ 0 2 π ∫ 0 π N o e m n ⋅ N o e m n 죄를 짓다 ϑ d ϑ d φ = ( 1 + δ m , 0 ) 2 π ( 2 n + 1 ) 2 ( n + m ) ! ( n − m ) ! n ( n + 1 ) { ( n + 1 ) [ z n − 1 ( k r ) ] 2 + n [ z n + 1 ( k r ) ] 2 } {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2 }}}{\frac {(n+m)! }{{(n-m)! }}}}(n+1)\왼쪽\{(n+1)\왼쪽[z_{n-1}(kr)\오른쪽]^{2}+n\왼쪽[z_{n+1}(kr)\오른쪽]^{2}\오른쪽\}}}} ∫ 0 π ∫ 0 2 π L o e m n ⋅ N o e m n 죄를 짓다 ϑ d ϑ d φ = ( 1 + δ m , 0 ) 2 π ( 2 n + 1 ) 2 ( n + m ) ! ( n − m ) ! n ( n + 1 ) k { [ z n − 1 ( k r ) ] 2 − [ z n + 1 ( k r ) ] 2 } {\displaystyle {\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2 }}}{\frac {(n+m)! }{{(n-m)! }}}{n(n+1)k\left\{\왼쪽[z_{n-1}(kr)\오른쪽]^{2}-\왼쪽[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\오른쪽\}}}} 다른 기능 또는 다른 지수를 가진 기능 사이의 각도에 걸친 다른 모든 통합은 0과 동일하다.
회전 및 반전 회전하에서의 벡터 구형 고조파 변환에 대한 그림. 이에 상응하는 스칼라 기능과 같은 방식으로 변형되는 것을 알 수 있다. 회전 중에 벡터 구형 고조파들은 특정 유형의 벡터 고조파들을 위해 생성되고 있는 해당 스칼라 구형 함수 와 같은 방식으로 서로를 통해 변환된다. 예를 들어 생성함수가 일반적인 구형 고조파 인 경우 벡터 고조파도 위그너 D-매트릭스 를[8] [9] [10]
D ^ ( α , β , γ ) Y J M ( s ) ( θ , φ ) = ∑ m ′ = − ℓ ℓ [ D M M ′ ( ℓ ) ( α , β , γ ) ] ∗ Y J M ′ ( s ) ( θ , φ ) , {\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\mathbf {Y} _{JM}^{(s)}(\theta ,\varphi )=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }[D_{MM'}^{(\ell )}(\alpha ,\beta ,\gamma )]^{*}\mathbf {Y} _{JM'}^{(s)}(\theta ,\varphi ),} 회전 시 거동은 전기, 자기 및 종방향 고조파에서 동일하다.
반전하에서는 전기 및 종방향 구형 고조파들이 스칼라 구형 함수와 같은 방식으로 작용한다.
I ^ N J M ( θ , φ ) = ( − 1 ) J N J M ( θ , φ ) , {\displaystyle {\hat {I}\mathbf {N} _{JM}(\theta ,\varphi )=(-1)^{J}\mathbf {N} _{JM}(\ta ,\varphi ),} 자석 자석 자석 자석 자석 자석 자석 자석 자석 자석
I ^ M J M ( θ , φ ) = ( − 1 ) J + 1 M J M ( θ , φ ) , {\displaystyle {\hat {I}\mathbf {M} _{JM}(\theta ,\varphi )=(-1)^{J+1}\mathbf {M}(\theta ,\varphi ),} 유체 역학 점성 액체가 작은 구형 입자에 작용하는 드래그에 대한 스톡스의 법칙 의 계산에서 속도 분포는 관성을 무시하는 Navier-Stokes 방정식 에 따른다.
∇ ⋅ v = 0 , 0 = − ∇ p + η ∇ 2 v , {\displaystyle {\b}\mathbf \cdot \mathbf {v} &=0,\\\\mathbf {0} &=-\mathla p+\eta \data ^{2}\mathbf {v},\end{aigned}}}}}}}}}}} 경계 조건과 함께
v = 0 ( r = a ) , v = − U 0 ( r → ∞ ) . {\displaystyle {\begin}\mathbf {v} &=\mathbf {0} \quad(r=a),\\\mathbf {v} &=-\mathbf {U} _{0}\quad(r\to \infty) \end{정렬}}} 여기서 U 는 입자에서 멀리 떨어진 유체에 대한 입자의 상대 속도다. 구형 좌표에서 무한대의 이 속도는 다음과 같이 기록할 수 있다.
U 0 = U 0 ( cas θ r ^ − 죄를 짓다 θ θ ^ ) = U 0 ( Y 10 + Ψ 10 ) . {\displaystyle \mathbf {U} _{0}= U_{0}\왼쪽(\cos \theta \,{\hatsbf {r}}}-\sin \theta \,{\hatthebf {\}}}\right)= U_{0}\왼쪽(\mathbf {Y} _{10}+\mathbf {\PSI } _{10}\right). } 마지막 표현은 액체 속도와 압력에 대한 구형 고조파의 확장을 시사한다.
p = p ( r ) Y 10 , v = v r ( r ) Y 10 + v ( 1 ) ( r ) Ψ 10 . {\displaystyle {\regated}p&=p(r) Y_{10},\\mathbf {v} &=v^{r}(r)\mathbf {Y} _{10}+v^{1(r)}\mathbf {\PSI } _{10}. \end{정렬}}} Navier의 대체 –스토크 방정식은 계수에 대한 일련의 일반적인 미분 방정식을 생성한다.
적분 관계 여기서 사용되는 정의는 다음과 같다.
Y e m n = cas m φ P n m ( cas θ ) Y o m n = 죄를 짓다 m φ P n m ( cas θ ) {\displaystyle {\reasoned} Y_{emn}&=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \theta )\\\ Y_{omn}&=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \theta )\ended}}} X o e m n ( k k ) = ∇ × ( k Y e o m n ( k k ) ) {\displaystyle \mathbf {X} _{^{e}_{o}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)=\nabla \times \left(\mathbf {k} Y_{^{o}_{e}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)\right)} Z e o m n ( k k ) = i k k × X o e m n ( k k ) {\displaystyle \mathbf {Z} _{^{o}_{e}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)=i{\frac {\mathbf {k} }{k}}\times \mathbf {X} _{^{e}_{o}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)} z n {\ displaystyle z_{n} 구형 베셀 함수 인평면파 확장 의 도움을 받아 다음과 같은 일체적 관계를 얻을 수 있다.[11]
N p m n ( k , r ) = i − n 4 π ∫ Z p m n ( k k ) e i k r d Ω k {\displaystyle \mathbf {N} _{pmn}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{4\pi }}\int \mathbf {Z} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} }d\Omega _{k}} M p m n ( k , r ) = i − n 4 π ∫ X p m n ( k k ) e i k r d Ω k {\displaystyle \mathbf {M} _{pmn}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{4\pi }}\int \mathbf {X} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} }d\Omega _{k}} z n {\ displaystyle z_{n}} [12] [11] 벡터 구형 고조파에서는 다음과 같은 관계를 얻는다.
M p m n ( 3 ) ( k , r ) = i − n 2 π k ∬ − ∞ ∞ d k ‖ e i ( k x x + k y y ± k z z ) k z [ X p m n ( k k ) ] {\displaystyle \mathbf {M} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{-\infty }^{\infty }dk_{\ }{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right)} }}{k_{z}}\왼쪽[\mathbf {X} _{pmn}\왼쪽({\frac {\mathbf {k}{k}\오른쪽)\오른쪽]}}}} N p m n ( 3 ) ( k , r ) = i − n 2 π k ∬ − ∞ ∞ d k ‖ e i ( k x x + k y y ± k z z ) k z [ Z p m n ( k k ) ] {\displaystyle \mathbf {N} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{-\infty }^{\infty }dk_{\ }{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right)} }}{k_{z}}\왼쪽[\mathbf {Z} _{pmn}\왼쪽({\frac {\mathbf {k}{k}\오른쪽)\오른쪽]}}}} 여기서 k z k 2 x 2 y 2 {\ displaystyle k_{z}={\sqrt {k^{2 k_{x}^{2}-k_{y}^{2 ( 3 ){\displaystyle
참고 항목
참조 ^ Barrera, R G; Estevez, G A; Giraldo, J (1985-10-01). "Vector spherical harmonics and their application to magnetostatics". European Journal of Physics . IOP Publishing. 6 (4): 287–294. Bibcode :1985EJPh....6..287B . CiteSeerX 10.1.1.718.2001 doi :10.1088/0143-0807/6/4/014 . ISSN 0143-0807 . ^ Carrascal, B; Estevez, G A; Lee, Peilian; Lorenzo, V (1991-07-01). "Vector spherical harmonics and their application to classical electrodynamics". European Journal of Physics . IOP Publishing. 12 (4): 184–191. Bibcode :1991EJPh...12..184C . doi :10.1088/0143-0807/12/4/007 . ISSN 0143-0807 . ^ Hill, E. L. (1954). "The Theory of Vector Spherical Harmonics" (PDF) . American Journal of Physics . American Association of Physics Teachers (AAPT). 22 (4): 211–214. Bibcode :1954AmJPh..22..211H . doi :10.1119/1.1933682 . ISSN 0002-9505 . S2CID 124182424 . Archived from the original (PDF) on 2020-04-12. ^ Weinberg, Erick J. (1994-01-15). "Monopole vector spherical harmonics". Physical Review D . American Physical Society (APS). 49 (2): 1086–1092. arXiv :hep-th/9308054 Bibcode :1994PhRvD..49.1086W . doi :10.1103/physrevd.49.1086 . ISSN 0556-2821 . PMID 10017069 . S2CID 6429605 . ^ P.M. Morse와 H. Feshbach, 이론 물리학 방법 , 제2부, 뉴욕: McGraw-Hill, 1898-1901 (1953) ^ 보렌, 크레이그 F., 도널드 R. 허프먼, 작은 입자에 의한 빛의 흡수 및 산란, 뉴욕 : 와일리, 1998, 530 p, ISBN 0-471-29340-7 , ISBN 978-0-471-29340-8 (제2판) ^ a b Stratton, J. A. (1941). Electromagnetic Theory ^ D. A. 바르할로비치, A. N. 모스카레프, V. Kersonskii, 각운동량의 양자 이론[러시아어], 나우카, 레닌그라드(1975) ^ H. 장, 이. 한, 구면 벡터파 함수에 대한 추가 정리 및 빔 형태에 대한 적용. J. Opt. Soc. Am. B, 25(2):255-260, 2008년 2월. ^ S. Stein, 구형파 함수에 대한 추가 이론 , 분기별 적용 수학, 19(1:15-24, 1961) ^ a b B. 스타우트, 그라프트에 대한 구면 조화 격자 합. 인: Popov E, 편집자. 팁: 이론 및 숫자 적용. Universite d'Aix-Marseille 6 (2012)의 프레스넬 연구소. ^ R. C. 비트만, 구형파 운영자 및 번역 공식, 안테나 및 전파에 대한 IEEE 거래 36, 1078-1087 (1988) 외부 링크 
(가) 
(와) 복합 진폭의 진동 전류로 인해 발생한다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {N} _{emn}(k,\mathbf {r} )={\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\cos(m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }+}\\{+\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }-\\{-m\sin(m\varphi ){\frac {P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ad38d781b484c1a1b550920518d596c88de2c37)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {N} _{omn}&(k,\mathbf {r} )={\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\sin(m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }+\\&+\sin(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }+\\&+{m\cos(m\varphi ){\frac {P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4528c43603f7c5868f920afcbdae5bec0d6f1af3)
![{\displaystyle {\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}k^{2}\left\{n\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}+(n+1)\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3caf9a3a862e813514a86ae833494cfd4f0f9c8a)
![{\displaystyle {\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{2n+1}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)\left[z_{n}(kr)\right]^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61acd92c5fd19ad05b94d6e9792241b6dc468972)
![{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)\left\{(n+1)\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}+n\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6304776dd0142be5974ab4f30dd4b895cc093fb0)
![{\displaystyle {\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)k\left\{\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}-\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/550cfe2b979c59738bfb9c3213cc844a29dad4dd)
![{\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\mathbf {Y} _{JM}^{(s)}(\theta ,\varphi )=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }[D_{MM'}^{(\ell )}(\alpha ,\beta ,\gamma )]^{*}\mathbf {Y} _{JM'}^{(s)}(\theta ,\varphi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8058dc6bc3db6f74f9347479626e2a3aca7673b)
경우 
![{\displaystyle \mathbf {M} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{-\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right)}}{k_{z}}}\left[\mathbf {X} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916898171326fa77d2c6b525ee23a44893581bdb)
![{\displaystyle \mathbf {N} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{-\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right)}}{k_{z}}}\left[\mathbf {Z} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a6b0db1d3b540dc4324d7fbefc7be994862b50f)
