번역면

수학에서 번역면은 일정한 대칭군(아래 설명)을 인정하는 투영면이다.휴즈 비행기, 피게로아 비행기들과 함께, 번역기는 알려진 데스투게스가 아닌 비행기들 중에서 가장 잘 연구된 비행기들 중 하나이며, 대부분의 알려진 데스투게스가 아닌 비행기들은 번역기들 중 하나이거나, 혹은 이중화나/또는 파생의 연속적인 반복을 통해 번역기에서 얻을 수 있다.^[1]

투영 평면에서 P는 점을 나타내고, 나는 선을 나타낸다.중심 P와 축 l를 가진 중심 연선은 L의 모든 점과 P를 통과하는 모든 선을 고정하는 연선이다.P가 l에 있으면 의기양양이라고 하고, 그렇지 않으면 호몰로지라고 한다.중심 P와 축 l가 있는 중심선들은 그룹을 형성한다.^[2]투영면 π의 l 선은 π, π_l( of의 aff)에서 l를 제거하여 획득한 appine 평면의 포인트에서 축 l를 가진 모든 굴곡의 그룹이 전이적으로 작용하는 경우 번역선이다.번역선이 있는 투영면을 번역면이라고 한다.

번역선을 제거하여 얻은 어패인 평면을 어패인 번역면이라고 한다.투영 평면으로 작업하는 것이 종종 더 쉽지만, 이러한 맥락에서 몇몇 저자들은 번역 평면을 붙이는 것을 의미하기 위해 번역 평면이라는 용어를 사용한다.^[3][4]

좌표를 이용한 대수적 시공

모든 투영 평면은 적어도 하나의 평면 테너리 링으로 조정될 수 있다.^[5]번역기의 경우, 항상 퀘이필드와 코디네이션이 가능하다.^[6]그러나 일부 퀘이필드는 추가적인 대수적 특성을 만족하며, 해당 평면 테너리 링은 추가 대칭을 허용하는 변환 평면을 조정한다.이러한 특별 수업의 일부는 다음과 같다.

• 근거리 비행장 - 근거리 비행장에 의해 조정됨.
• 세미필드 평면 - 세미필드에 의해 조정되는 세미필드 평면은 이중도 변환 평면이라는 특성을 가지고 있다.
• 대체분할 링에 의해 조정되는 무방비행기, 무방비행기는 정확히 번역선이 최소 두 개 이상 있는 번역기들이다.유한한 무우팡 비행기는 모두 데사게스, 데사게스 비행기는 모두 무우팡 비행기지만 데사게시안이 아닌 무한 무우팡 비행기(예: 케이리 비행기)가 있다.

연산 +(추가)와 $\cdot {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }($증배)가 있는 퀘이필드가 주어지면 평면 테너리 링을 정의해 번역면의 좌표를 만들 수 있다.$그러나{\displaystyle }$ 점을 쌍$(,{\displaystyle b}$ )${\displaystyle }$${\displaystyle$ a$}$과 b ${\$$displaystyle b}$이(가) 퀘이필드의 요소인$$ 쌍(, b)으로 정의하여 퀘이필드에서 직접 아핀 평면을 생성하는 것이 더 일반적이며, 선은 동일점을 만족하는$$ 점 집합$x,$ $y)$이다.ion of the form ${\displaystyle y=m\cdot x+b}$ , as ${\displaystyle m}$ and ${\displaystyle b}$ vary over the elements of the quasifield, together with the sets of points ${\displaystyle (x,y)}$ satisfying an equation of the form ${\displaystyle x=a}$ , as ${\displaystyle a}$ v퀘이필드의 원소를 둘러싼 ^[7]쌍끌이

스프레드가 있는 기하학적 구조(Bruck/Bose)

번역기는 Bruck-Bose 건설에 의한 홀수차원 투영 공간의 확산과 관련이 있다.^[8]PG(2n+1, K)의 확산으로 여기서 $n{\displaystyle 1}$ 1 ${\displaystyle n\geq$ 1$}$은 정수이고 K a division ring은 공간을 쌍으로 분리된 n차원 서브스페이스로 분할한다.유한한 경우 PG(2n+1, q)의 확산은 qⁿ⁺¹ + 1 n차원 서브스페이스의 집합으로, 두 개의 교차점이 없다.

PG(2n +1, K)의 확산 S를 감안하여 Bruck-Bose 구조는 다음과 같은 번역면을 생산한다: PG(2n+1, K)의 하이퍼플레인 $(\displaystyle \Sigma }$로서 PG(2n+2, K)를 내장한다.$\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma }$에 없는 PG(2n+2, K)의 포인트인 "포인트"를 사용하여 발생 구조 A(S)를 정의하고$$, element ${\displaystyle \Sigma }$을(를) 만나는 PG(2n+2, K)의 (n+1) 차원 서브스페이스에 "라인"을 지정한다.그렇다면 A(S)는 붙임성 번역면이다.유한한 경우, 이 절차는 순서 q의ⁿ⁺¹ 번역면을 생성한다.

이 진술의 반대는 거의 항상 사실이다.^[9]퀘이필드가 커널 K보다 유한한 퀘이필드에 의해 조정되는 모든 번역면(K는 반드시 디비전 링이다)은 브룩-보스 구조를 이용한 PG(2n+1, K)의 확산으로부터 생성될 수 있다. 여기서 (n+1)는 퀘이필드의 커널 위에 모듈로 간주되는 퀘이필드의 차원이다.이 결과의 즉각적인 요점은 모든 유한 번역면을 이 구조에서 얻을 수 있다는 것이다.

스프레드를 사용한 대수적 구조(André)

안드레는^[10] 브루크/보스와 근본적으로 같은 (아핀) 번역기의 초기 대수적 표현을 했다.V를 필드 F 위에 있는 2n차원 벡터 공간이 되게 하라.V의 확산은 V의 0이 아닌 벡터를 분할하는 V의 n차원 서브스페이스의 집합 S이다.S의 멤버를 스프레드의 구성 요소라고 하며, V와_ij V가 구별되는 구성_i 요소라면_j V = V = V. A가 V의 벡터이고 구성 요소의 코세츠인 발생 구조 즉, v가 V의 벡터이고 U가 스프레드 S의 구성 요소인 v + U의 집합이 되도록 한다.다음:^[11]

A는 아핀 평면이며 V에서 w에 대한 번역 x → x + w의 그룹은 이 평면의 지점에 규칙적으로 작용하는 자동형성 그룹이다.

유한 케이스

Let F = GF(q) = F_q, 유한 순서 Q와 V의 필드 F에 대한 2n 차원 벡터 공간은 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle V=\{(x,y)\colon x,y\in F^{n}\}.}$

M_0i, M₁, ..., M을_{qⁿ - 1} F에 걸쳐 n × n 행렬로 하고, M – M은_j ≠ j마다 비정형이라는 특성을 가진다.i = 0, 1, ...,qⁿ – 1의 정의에 대해,

${\displaystyle V_{i}=\{(x,xM_{i})\colon x\in F^{n}\}}$

일반적으로 하위 영역 "y = xM_i"이라고 한다.또한 다음을 정의하십시오.

${\displaystyle V_{q^{n}}=\{(0,y)\colon y\in F^{n}\}}$

하위 공간 "x = 0"

{V₀, V₁, ..., V_qⁿ} 세트는 V의 확산이다.

이 구조에 사용되는 행렬 M의_i 집합을 스프레드 세트라고 하며$,$ 이 행렬 세트를 투사 공간 P ${\displaystyle G(\mathrm{2n}}$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle q}$ $displaystyle PG(2n-1,q)}$에 직접 사용하여 기하학적 의미에서의 스프레드를 만들 수 있다$$.

레귤리 및 일반 스프레드

$\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma }$을(를) n${\displaystyle 1}$ 1$${\$displaystyle n\geq 1$$}$ 정수 및 K a division ring에 대한 투영 공간 PG(2n+1, K)가 되게 한다.$\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma}$의 레귤러^[12] R은 다음 속성을 가진 쌍으로 분리된 n차원 하위 공간의 모음입니다$$.

1. R에는 최소 3개의 요소가 포함되어 있다.
2. 횡단이라 불리는 R의 세 요소를 만나는 모든 선은 R의 모든 요소를 만난다.
3. 횡단보도에서 R까지의 모든 점은 R의 어떤 요소에 있다.

$\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma }$의 세 쌍으로 분리된 n차원 서브스페이스는 독특한 규율 속에 놓여$$ 있다.^[13]$\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma }$의 스프레드 S가 규칙적인$$ 경우, S의 3개의 뚜렷한 n차원 서브스페이스에 대해, 그들이 결정한 고유한 레귤러 구성원이 모두 S에 포함되어 있는 경우.2개 이상의 요소를 가진 모든 디비전 링 K의 경우, PG(2n+1, K)의 스프레드 S(2n+1, K)가 규칙적인 경우, 안드레/브루크-보스 구문을 통해 확산되어 생성된 번역면은 무우팡 평면이다.약간 약한 역은 다음과 같다: 만약 번역기가 파피안이라면, 그것은 정기적인 스프레드에서 안드레/브룩-보스 건설을 통해 생성될 수 있다.^[14]

의 한정된 경우 주문 q의, K가 되어야 한다 필드는 2{\displaystyle q>2}, 그리고 Moufang,Desarguesian과Pappian 비행기의 이 수업은 전부, 이 정리에, 크다면 번역해 비행기 그 확산에 의해André/Bruck-Bose 건설을 통해 만들PG(2n+1, q)의 넓이는 S정기적이며 정제될 수 있동일하다. Desarg우에스기의

K가 필드 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$( ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle GF(2)}$인 경우, 규정에는 세 개의 요소만 포함되기 때문에 PG(2n+1, 2)의 모든 스프레드는 사소한 규칙이다$.$순서 8의 유일한 번역면은 데스바게시언이지만, 모든 $정수{\displaystyle }$ e${\displaystyle 4}$ 4$[\displaystyle e\geq$4}에 대해 순서 2의^e 비 데스바게시언 번역면이 있는 것으로 알려져 있다$.$^[15]

데스투게스어가 아닌 번역기 패밀리

• 홀 평면 - 규칙적으로 ${\displaystyle \mathrm{퍼진}}$ P G${\displaystyle (}$3 ,${\displaystyle q}$ $){\displaystyle PG$(3,$q)}$에서 Bruck/Bose를 통해 생성되며, 여기서$$ 하나의 레귤러가 해당 레귤러로 교차 라인 세트로 대체되었다(반향 레귤러라고 함).
• 하위 정규 평면 - $P{\displaystyle }$ G${\displaystyle (3}$ ,${\displaystyle q}$) ${\displaystyle PG(3,q)}$의 정규 스프레드에서 Bruck/Bose를 통해 생성되며, 여기서$$ 쌍으로 된 불연속 규정 세트가 반대 규정으로 대체되었다.
• 안드레 비행기
• 니어필드 비행기
• 세미필드 비행기

순서가 작은 유한 번역면

순서가 8 이하인 투사형 비행기는 데사게스식밖에 없다는 것은 잘 알려져 있으며, 데사게스식이 아닌 비데사게스식 비행기는 없다.^[16]유한 번역 평면은 기본 동력 질서를 가져야 한다.순서 9의 투영 평면은 4개가 있는데, 그 중 두 개는 번역 평면, 즉 데스구게스 평면과 홀 평면이다.다음 표에는 지식의 현재 상태가 자세히 나와 있다.

주문	비 데스투게이언 수 변환 평면
9	1
16	7[17][18]
25	20[19][20][21]
27	6[22][23]
32	≥8[24]
49	1346[25][26]
64	≥2833[27]

메모들

참조

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추가 읽기

• Mauro Biliotti, Vikram Jha, Norman L. Johnson(2001) Foundation of Translation Planes, Marcel Dekker ISBN 0-8247-0609-9.

외부 링크

• 투영지오메트리에 관한 강의 노트
• 키스 멜링거의 출판물