홀 평면

수학에서 홀 평면은 마샬 홀 주니어(1943)가 건설한 비 데스투게스식 투영 평면이다.^[1]p > 4를 제공한 모든 prime²ⁿ p와 모든 양의 정수 n에 대해 순서 p의²ⁿ 예가 있다.^[2]

홀 시스템을 통한 대수적 시공

홀 비행기의 원래 구조는 프라임 p를 위해 홀 퀘이필드(홀 시스템이라고도 함), $주문{\displaystyle {}^{}}$ p ${\$의 H를 기반으로 했다.퀘이필드에서 비행기를 만드는 것은 표준 공사에 따른다(자세한 내용은 퀘이필드를 참조).

To build a Hall quasifield, start with a Galois field, ${\displaystyle F=\operatorname {GF} (p^{n})}$ for p a prime and a quadratic irreducible polynomial ${\displaystyle f(x)=x^{2}-rx-s}$ over F.Extend ${\displaystyle H=F\times F}$, a two-dimensional vector space over F, to a quasifield by defining a multiplication on the vectors by ${\displaystyle (a,b)\circ (c,d)=(ac-bd^{-1}f(c),ad-bc+br)}$ when ${\displaystyle d\neq 0}$ and ${\displaystyle (a}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle (\mathrm{c}}$ ${\displaystyle ,}$ 0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$) ${\displaystyle (a,b)\property (c,0)=(ac,bc)}$ 이외의 경우$$.

근거 <1, λ>의 관점에서 H의 요소를 작성하면, 즉 (x,y) x + λy를 x로 식별하고 y는 F에 따라 달라지며, 우리는 F의 요소를 순서쌍(x, 0), 즉 x + λ0으로 식별할 수 있다.오른쪽 벡터 공간 H를 퀘이필드로 바꾸는 정의된 곱셈의 특성은 다음과 같다.

1. F에 포함되지 않은 H의 모든 원소 α는 2차 방정식 f(α) = 0을 만족한다.
2. F는 H의 커널에 있으며(α + β)c = αc + βc, (αβ)c = 모든 α, H의 β, F의 모든 c에 대해 α(βc)를 의미한다.
3. F의 모든 요소는 H의 모든 요소와 (복제적으로) 통근한다.^[3]

파생

홀 비행기를 생산하는 또 다른 구조는 데사게스 비행기에 파생법을 적용함으로써 얻어진다.

새로운 구조가 여전히 투영면이라는 방식으로 투영 평면의 특정 선 세트를 대체하는 T. G. Ostrom 때문에 공정을 파생이라고 한다.우리는 이 과정의 세부사항을 알려준다.^[4]순서 $n{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 투사 평면 ${\displaystyle \pi }$부터 시작하여$$ 무한대로 한 줄 $\ell {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell$}을(를) 라인으로 지정하십시오$$.Let A be the affine plane ${\displaystyle \pi \setminus \ell }$. A set D of ${\displaystyle n+1}$ points of ${\displaystyle \ell }$ is called a derivation set if for every pair of distinct points X and Y of A which determine a line meeting ${\displaystyle \ell }$ in a point of D, there is a Baer subplane conX, Y 및 D 연결(우리는 그러한 Baer 하위 비행기가 ${\displaystyle D}$에 속한다고 말한다) 새 부속 평면 $D{\displaystyle \mathrm{}}$⁡${\displaystyle }$( A )${\displaystyle \operatorname {D} (A)}$을(를) 다음과 같이$$ 정의하십시오.$D{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle \operatorname {D}(A)}$의 지점은 A의 지점이다$$.$D{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle \operatorname {D}(A)$의 선은 D(A로 제한됨)의 점에서 restricted ${\displaystyle \ell }$을(를) 충족하지 않는$$ $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$의 선이며$$, D(A로 제한됨)에 속하는 Baer 하위 평면이다.세트 $D{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle \operatorname {D}(A)}$은 순서 $n{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}의$$아핀 평면이며$$, 그$$ 투영적인 완성을 파생 평면이라고 한다.^[5]

특성.

1. 홀 비행기는 번역기 입니다.
2. 같은 질서의 모든 유한한 홀 평면은 이형성이다.
3. 복도비행기는 자가복용이 아니다.
4. 모든 유한 홀 평면은 순서 2의 하위 평면(Fano 하위 평면)을 포함한다.
5. 모든 유한한 홀 평면은 2와 다른 순서의 하위 평면을 포함한다.
6. 홀 비행기는 안드레 비행기다.

홀의 9번째 비행기

홀 평면 9
주문	9
렌츠발로티 클래스	IVa.3
자동형성	${\displaystyle 2^{8}\message 3^{5}\message 5}$
점 궤도 길이	10, 81
선 궤도 길이	1, 90
특성.	번역면

순서 9의 홀 평면은 가장 작은 홀 평면이며, 이중 및 순서 9의 휴즈 평면과 함께 유한한 비 데스투게스 투영 평면의 세 가지 가장 작은 예 중 하나이다.

건설

보통 다른 홀 비행기들과 같은 방식으로 제작되었지만, 9번 홀 비행기는 1907년 오스왈드 베블렌과 조셉 웨더번에 의해 실제로 발견되었다.^[6]순서 9의 홀 평면을 구성하는 데 사용할 수 있는 순서 9의 4개의 퀘이필드가 있다.Three of these are Hall systems generated by the irreducible polynomials ${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$, ${\displaystyle g(x)=x^{2}-x-1}$ or ${\displaystyle h(x)=x^{2}+x-1}$.^[7]이 중 첫 번째 것은 연관성 있는 퀘이필드,^[8] 즉 근거리장을 생산하는데, 이 비행기가 베블렌과 웨더번에게 발각된 것은 이런 맥락에서였다.이 비행기는 종종 주문 9의 근거리 비행기로 언급된다.

특성.

자동형성 그룹

순서 9의 홀 평면은 유한 또는 무한의 고유한 투영 평면으로, 렌츠-바로티 등급 IVa.3이 있다.^[9]그것의 자동형 집단은 집단이 세트-현상적으로 보존하는 5쌍의 점들을 가지고 있는 그것의 (필요하게 독특한) 번역 선에 충동적으로 작용한다; 자동형 집단은 이들 5쌍에서$$ ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}}$ 5${\$의 역할을 한다.^[10]

단위

Hall plane of order 9는 4개의 불평등 내재된 단위를 인정한다.^[11]이 두 단위는 Buekenhout의 구성에서^[12] 비롯된다: 하나는 포물선이고, 하나는 한 점에서 번역선을 만나는 것이고, 다른 하나는 4점에서 번역선을 만나는 쌍곡선이다.이 두 개의 유닛 중 후자는 그뤼닝에^[13] 의해 이중 홀 평면에도 내장될 수 있는 것으로 보여졌다.또 다른 단위는 바로티와 루나르돈의 건설에서 비롯된다.^[14]넷째는 쿼터니온에 대해 순서가 8 이형인 오토모피즘 그룹을 가지고 있으며, 알려진 무한가족의 일부가 아니다.

메모들

참조

• Dembowski, P. (1968), Finite Geometries, Berlin: Springer-Verlag
• Hall Jr., Marshall (1943), "Projective Planes" (PDF), Transactions of the American Mathematical Society, 54: 229–277, doi:10.2307/1990331, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990331, MR 0008892
• Hughes, D.; Piper, F. (1973). Projective Planes. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90044-6.
• Stevenson, Frederick W. (1972), Projective Planes, San Francisco: W.H. Freeman and Company, ISBN 0-7167-0443-9
• Veblen, Oscar; Wedderburn, Joseph H.M. (1907), "Non-Desarguesian and non-Pascalian geometries" (PDF), Transactions of the American Mathematical Society, 8: 379–388, doi:10.2307/1988781
• Weibel, Charles (2007), "Survey of Non-Desarguesian Planes" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 54 (10): 1294–1303