대칭군 표현 이론

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수학에서 대칭집단의 대표이론은 유한집단의 대표이론의 특별한 경우로서 구체적이고 상세한 이론을 얻을 수 있다. 이것은 대칭 함수 이론에서부터 다수의 동일한 입자에 대한 양자 역학의 문제까지 잠재적인 응용의 넓은 영역을 가지고 있다.

대칭 그룹 S에는_n n! 순서가 있다. 그것의 결합 클래스는 n의 분할로 분류된다. 따라서 유한집단의 대표이론에 따르면, 복잡한 숫자에 대한 불평등 불분명한 대표들의 수는 n의 칸막이의 수와 같다. 유한집단에 대한 일반적인 상황과 달리, 사실 파라메트리 부류가 결합 클래스를 만드는 동일한 집합에 의해, 즉 n 또는 n 크기의 동등하게 젊은 도표를 분할하여 파라메트리할 수 없는 표현을 파라메트리화하는 자연스러운 방법이 있다.

그러한 각각의 불가해한 표현은 사실 정수(정수 계수가 있는 행렬에 의해 작용하는 모든 순열)를 통해 실현될 수 있다. 이는 영 다이어그램에 의해 생성된 공간에 작용하는 영 대칭성을 계산하여 명시적으로 구성할 수 있다. 영 다이어그램 ${\displaystyle$ $d_{\$$lambda }$에 해당하는 표현의$$ 치수 d ${\displaystyle {\lambda }_{}}${\lambda $}$은 후크 길이 공식으로 주어진다.

각 불가해한 표현에 to 우리는 불가해한 성격인 χ을^ρ 연관시킬 수 있다. π이 순열인 χ^ρ(π)를 계산하려면, 조합 무르난한-나카야마 규칙을 사용할 수 있다. ^[1]conju은^ρ 모든 순열 σ에 대해 π^ρ( =) = σ(σ^ρ) = σ(σ⁻¹)에 대해 일정하다는 점에 유의한다.

다른 분야에서는 상황이 훨씬 더 복잡해질 수 있다. 필드 K가 0과 같거나 maschke의 정리에 의해 n보다 큰 특성을 갖는 경우, 그룹 대수 KS는_n 반실행된다. 이 경우 정수 위에 정의된 수정 불가능한 표현은 전체 수정 불가능한 표현 세트를 제공한다(필요한 경우 특성을 감소시킨 후).

그러나 대칭 집단의 불가해한 표현은 임의의 특성으로는 알려져 있지 않다. 이런 맥락에서 표현보다는 모듈의 언어를 사용하는 것이 더 일반적이다. 계수를 줄임으로써 정수에 걸쳐 정의한 불가해한 표현에서 얻은 표현은 일반적으로 불가해한 것이 아니다. 그렇게 만들어진 모듈들은 Specht modules라고 불리며, 모든 수정 불가능한 모듈들은 그러한 모듈 안에서 발생한다. 현재 더 적은 수의 비확보물들이 있고, 그것들은 분류될 수 있지만 그들은 매우 잘 이해되지 않는다. 예를 들어, 그들의 치수조차 일반적으로 알려져 있지 않다.

임의의 분야에 걸쳐 대칭 그룹에 대한 불가해한 모듈의 결정은 표현 이론에서 가장 중요한 개방적 문제 중 하나로 널리 간주된다.

저차원 표현

대칭군

대칭 집단의 가장 낮은 치수 표현은 (번사이드 1955, 페이지 468)에서와 같이 명시적으로 설명할 수 있다. 이 작업은 (Rasala 1977)에서 가장 작은 k도(특히 k = 4, k = 7)로 확장되었고 (James 1983)에서는 임의의 분야로 확장되었다. 특성 0에서 가장 작은 2도가 여기에 설명되어 있다.

모든 대칭 집단은 사소한 표현이라고 불리는 1차원 표현을 가지고 있는데, 여기서 모든 원소는 하나의 정체성 행렬로 작용한다. n ≥ 2의 경우 부호 표현 또는 교번 문자라고 하는 또 다른 부호 표현법이 있는데, 순열의 기호를 바탕으로 항목 ±1로 행렬을 하나씩 순열하는 것이다. 1차원적 표현은 아벨리안이고, 대칭 그룹의 아벨리안화는 순서 2의 순환집단인₂ C가 되기 때문에 대칭집단의 유일한 1차원 표현이다.

모든 n에 대해, 자연 순열 표현이라고 불리는 순서의 대칭 그룹 n!의 n차원 표현이 있는데, 이것은 n 좌표를 순열하는 것으로 구성된다. 이것은 좌표가 모두 동일한 벡터로 구성된 사소한 하위 표현을 가지고 있다. 직교보완은 좌표가 0으로 합한 벡터로 구성되며, n 2 2일 때 이 아공간에서의 표현은 표준 표현이라 불리는 (n - 1)차원적 표현이다. 또 다른 (n - 1)차원적 불가역적 표현은 수화 표현으로 강조하여 발견된다. 표준 표현 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 외부 전원 $\lambda {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ k ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$은(는) 0 ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle k}$ n ${\displaystyle -}$1 {\$displaystyle 0\leq$ k\$leq n-1}($Fulton & Harris 2004).

n ≥ 7의 경우, 이것들은 S의_n 가장 낮은 차원 수정 불가능한 표현이다 – 다른 모든 수정 불가능한 표현들은 최소한 n을 가지고 있다. 단, n = 4의 경우, S에서₄₃ S까지의 추출을 통해₄ S는 2차원 불가해한 표현을 상속할 수 있다. n = 6의 경우, S에₅₆ S를 예외적으로 타동적으로 내장하는 것은 또 다른 한 쌍의 5차원 불가해한 표현을 생성한다.

$S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 해석 불가능한 표현	치수	$n{\displaystyle }$ 크기의 젊은 다이어그램$({\displaystyle$n}
사소한 표현	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle (n)}$
부호 표현	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle (1^{n}=(1,1,\filename ,1)}$
$표준{\displaystyle }$ 표현 V ${\displaystyle V}$	${\displaystyle n-1}$	${\displaystyle(n-1,1)}$
외부 전원 ${\displaystyle {\lambda k}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$	${\displaystyle {\binom {n-1}{k}}$	${\displaystyle(n-k,1^{k})}$

교대군

수화는 사라지지만 교대 그룹의 대표론은 비슷하다. n ≥ 7의 경우, 가장 낮은 차원 비확정적 표현은 차원 1에서의 사소한 표현과 순열적 표현 다른 요약에서 나온 (n - 1)차원 표현으로, 다른 모든 비확정적 표현은 더 높은 차원을 가지지만, 더 작은 n에 대해서는 예외가 있다.

n ≥ 5에 대한 교대 그룹은 사소한 표현인 1차원 불가해한 표현 하나만 가지고 있다. n = 3, 4의 경우, 순서 3의 주기적 그룹에 해당하는 2개의 1차원 수정 불가능한 표현이 추가된다: A₃ ≅ C와₃ A → A₄₄/V ≅ C₃.

• n ≥ 7의 경우, n - 1의 수정 불가능한 표현이 1개 있을 뿐이며, 이는 비교 불가능한 표시 중 가장 작은 수준이다.
• n = 3의 경우 (n - 1)차원 표현의 명백한 아날로그는 축소할 수 있다 – 순열 표현은 정규 표현과 일치하므로, A₃ ≅ C는₃ 아벨리안이므로 3개의 1차원 표현으로 구분된다. 주기 그룹의 표현 이론은 이산 푸리에 변환을 참조한다.
• n = 4의 경우, n - 1의 수정 불가능한 표현만 있을 뿐, 차원 1의 수정 불가능한 표현은 예외적으로 존재한다.
• n = 5의 경우, 2차원의 대칭으로서의 작용에 해당하는 3차원의 2개의 2개의 수정 불가능한 표현이 있다.
• n = 6의 경우 A에₅₆ A가 예외적으로 전이적으로 내장되어 있는 것에 해당하는 치수 5의 추가적으로 수정할 수 없는 표현이 있다.

표현 텐서 제품

크로네커 계수

Young $diagraphics{\displaystyle }$ ${\displaystyle ,,}$ ${\displaystyle \mu }$,$$μ, $\displaystyle$ \$lambda ,\mu }$에 해당하는$Sn$ {\$displaystyle$ S_{n$}$의 두 가지 표현에 대한$$ 텐서 제품은 ${\displaystyle {Sn}_{}}$ ${\$의 수정 불가 표현 조합이다$.$

${\displaystyle V_{\lambda }\otimes V_{\\mu }\cong \sum _{\nu }C_{\lambda }\mu }\nu }V_{\nu }}}}}}}$

$\mathb {N}$에서 계수 $C{\displaystyle {}_{}}$ $μ$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ μ ${\displaystyle \mu \mathbb{}}$ μ μ$$μ N${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle$C_{\lambda $\mu \nu \}\$in \mathb {N$}\}\$in \mathb}은 대칭 그룹의 Kronecker 계수라고 한다$$. 그것들은 표현 문자로 계산될 수 있다(Fulton & Harris 2004).

${\displaystyle C_{\lambda ,\mu ,\nu }=\sum _{\rho }{\frac {1}{z_{\rho }}}\chi _{\lambda }(C_{\rho })\chi _{\mu }(C_{\rho })\chi _{\nu }(C_{\rho })}$

합계는 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {classes}_{}}$ ${\$과$($와) n ${\displaystyle n}$의 파티션$${\$displaystyle \rho$}에 해당 결합$$ 클래스를 합한 것이다. 문자 ${\displaystyle {\chi }_{}}$(${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $){\displaystyle \chi$ _${\lambda }(C_{\rho }})$의 값은 프로베니우스 공식을 사용하여 계산할 수 있다$$. 계수 $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) 다음과 같다$$.

${\displaystyle z_{\rho }=\prod _{j=0}^{n^{i_{j}i_{j}i_{j}!={\frac {n!}}{ C_{\rho }}}}$

여기서 $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$${$$j}$는 }} {\$displaystyle \rho$에 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$이(가) 나타나는$$ 횟수여서$$ $\sum {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ =${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sum i_{j}j=n$

영 도표(Hamermesh 1989년)의 관점에서 작성된 몇 가지 예:

${\displaystyle (n-1,1)\otimes (n-1,1)\cong (n)+(n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)}$

${\displaystyle (n-1,1)\otimes (n-2,2){\n>4}{\cong{}}}}}}}}+(n-2,1,2)+(n-2,1,1)+(n-3,3)+(n-3,1)+(n-3,1)+(n-3,1)+(n-3,1)}$

${\displaystyle (n-1,1)\otimes (n-2,1,1)\cong (n-1,1)+(n-2,1,1)+(n-2,1,1)+(n-3,1,1,1)+(n-3,1,1,1)+(n-3,1,1,1)+(n-3,1,1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(n-2,2)\otimes (n-2,2)\cong &(n)+(n-1,1)+2(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,3)\\&+2(n-3,2,1)+(n-3,1,1,1)+(n-4,4)+(n-4,3,1)+(n-4,2,2)\end{aligned}}}$

There is a simple rule for computing ${\displaystyle (n-1,1)\otimes \lambda }$ for any Young diagram ${\displaystyle \lambda }$ (Hamermesh 1989): the result is the sum of all Young diagrams that are obtained from ${\displaystyle \lambda }$ by removing one box and then adding one box, where the coefficients are $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$ 자체를$$ 제외하고, 계수는${\displaystyle \mathrm{}}$#${\displaystyle }${ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$}${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \#\{\disda _{i$}-1$\},$ 즉 다른 행 길이에서 1을 뺀 수입니다.

$V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ V ${\displaystyle {\mu }_{}}${\$displaystyle$V_{\$lambda$}\$otimes$V_{\$mu$}}}}}의$$ 수정 불가능한 성분에 대한 제약은 (James & Kerber 1981)이다.

${\displaystyle C_{\lambda ,\mu ,\nu }0\implies d_{{\lambda }-d_{\nu }\leq d_{\lambda }}{\lambda }{\nu }}}}}.$

여기서 영 다이어그램의$$ $깊이{\displaystyle {}_{}}$ d ${\displaystyle {\lambda }_{}}$= ${\displaystyle n}$ -${\displaystyle {\lambda \mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$}는 첫 번째 행에 속하지 않는 상자의 수입니다.

크로네커 계수 감소

$\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$의 경우 영 $다이어그램$과 n ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle {\lambda \mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$ n$\\geq _{1},$${\displaystyle \lambda }$[${\displaystyle ]}$ =${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ -${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle )}$ )$${\$displaysty \lambda [n]=(n-$$\lambda$$$,\$lambda )})})$의 영 다이어그램이다$.$ 그$$ $다음{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle {[}_{}}$ $[$ ${\displaystyle {n]}_{}}$ , ${\displaystyle {\mu }_{}}$[ ${\displaystyle {n]}_{}}$ , ${\displaystyle {[}_{}}$ $[$ ${\displaystyle {]}_{}}$ {\$displaystyle$ $C_{\lambda [n],\mu [n],\nu$[$n]}}$의 경계$,$ 비감소함수 및

${\displaystyle{\c}_{\lambda ,\mu ,\nu }=\lim _{n\n\c_{\lambda [n],\mu [n]}}}$

감소된 크로네커 계수^[2] 또는 안정 크로네커 계수라고 불린다.^[3] $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 값에는 C ${\displaystyle {\lambda }_{}}$[ $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {]}_{}}$ ,${\displaystyle {\mu }_{}}$[ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {]}_{}}$ ,${\displaystyle {\nu }_{}}$[ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {],}_{}}$ ν $[\$이 한계에 도달하는 것으로 알려진$$ 한계가$$ 있다.^[2] 감소된 Kronecker 계수는 ${\displaystyle N}$이${\displaystyle }$n인 $S{\displaystyle {}_{}}$-${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$ -$\mathb {N}$인 Deligne 범주의 구조물 상수다$.$^[4]

크론커 계수와 대조적으로, 감소된 크론커 계수는 반드시 같은 크기가 아닌 영 다이어그램의 세 개에 대해 정의된다. 만약 ν)λ+μ{\displaystyle \nu)\lambda+\mu}, C¯ λ, μ,({\displaystyle{\bar{C}}_{\lambda ,\mu ,\nu}}은 Littlewood-Richardson 계수 cλ,μ ν{\displaystyle c_{\lambda)}^{\nu}}과 일치하는 .[5] 크로네커 계수 선형인 것으로 작성할 수 있다. co대칭함수의 공간의 기초변화를 통한 리틀우드-리처드슨 계수의 mbinations는 명백하게 긍정적이지는 않지만 명백하게 통합된 표현을 만들어낸다.^[3] 감소된 크론커 계수는 또한 리틀우드의 공식을^[6][7] 통해$$ 크로네커와 리틀우드-리처드슨 ${\displaystyle {계수}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{c\alpha }}_{}^{}}$ β ${\displaystyle {\gamma }_{}^{}}$ γ λ$$ {\$displaystyle$ c_${\\alpha \beta \gamma }^{\lambda }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }=\sum _{\lambda ',\mu ',\nu ',\alpha ,\beta ,\gamma }C_{\lambda ',\mu ',\nu '}c_{\lambda '\beta \gamma }^{\lambda }c_{\mu '\alpha \gamma }^{\mu }c_{\nu '\alpha \beta }^{\nu }}$

반대로, 감소된 크로네커 계수의 선형 결합으로 크로네커 계수를 복구할 수 있다.^[2]

감소된 크로네커 계수는 컴퓨터 대수 시스템 SageMath에서 구현된다.^[8][9]

참고 항목

• 교번다항식
• 대칭 다항식
• 슈르 펑터
• 로빈슨-스헨스테드 통신
• 슈르-와일 이중성
• 주키스-머피 원소

메모들

참조

• Burnside, William (1955), Theory of groups of finite order, New York: Dover Publications, MR 0069818
• Fulton, William; Harris, Joe (2004). "Representation Theory". Graduate Texts in Mathematics. New York, NY: Springer New York. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-3-540-00539-1. ISSN 0072-5285.
• Hamermesh, M (1989). Group theory and its application to physical problems. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-66181-4. OCLC 20218471.
• James, Gordon; Kerber, Adalbert (1981), The representation theory of the symmetric group, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 16, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass., ISBN 978-0-201-13515-2, MR 0644144
• James, G. D. (1983), "On the minimal dimensions of irreducible representations of symmetric groups", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 94 (3): 417–424, Bibcode:1983MPCPS..94..417J, doi:10.1017/S0305004100000803, ISSN 0305-0041, MR 0720791
• Rasala, Richard (1977), "On the minimal degrees of characters of Sn", Journal of Algebra, 45 (1): 132–181, doi:10.1016/0021-8693(77)90366-0, ISSN 0021-8693, MR 0427445