프로베니우스 공식

수학에서, 특히 표현 이론에서, G에 의해 소개된 프로베니우스 공식. 프로베니우스는 대칭 그룹 S의_n 불가해한 표현들의 캐릭터를 계산한다.다른 응용 프로그램들 중에서, 이 공식은 후크 길이 공식을 도출하는 데 사용될 수 있다.

성명서

Let ${\displaystyle \chi _{\lambda }}$ be the character of an irreducible representation of the symmetric group ${\displaystyle S_{n}}$ corresponding to a partition ${\displaystyle \lambda }$ of n: ${\displaystyle n=\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{k}}$ and ${\displaystyle {\ell }_j={\lambda }_j+k}$${\displaystyle \ell _{j}=\lambda _{j}+k-j}$. For each partition ${\displaystyle \mu }$ of n, let ${\displaystyle C(\mu )}$ denote the conjugacy class in ${\displaystyle S_{n}}$ corresponding to it (cf. the example below), and let ${\displaystyle i_{j}}$ denote the number of times j appears in$[\displaystyle \mu }($그러므로 $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Sigma \,i_{j}j=n}).$$그러면{\displaystyle }$ 프로베니우스 공식에 따르면 C${\displaystyle }$(${\displaystyle \mu }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle C(\mu$ )에 ${\displaystyle {on}_{}}$${\$의 상수 값이 표시된다$.$

${\displaystyle \chi _{\lambda }(C(\mu )),}$

동종 다항식$$ x 1 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}^{}}$… ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle k_{}^{}}$ ${\displaystyle {{\ell }_{}}_{}^{}}$ k ${\$1}^{1}\$el$ _{1}}^{1$}\monal x_{k}^{\ell _{k}}}}}}$의 계수임

${\displaystyle \prod _{i}(x_{i}-x_{j}\;\prod_{j}{j}(x_{1},\dots ,x_{k})^{i_{j}},}$

여기서 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}{x\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle x_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= x ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {j\mathrm{}}_{}^{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ k ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$$}$$}}^{j}}}$은(는$)$ j {\displaystyle $j}$ -th$$ 번째 전력 합이다.

예:$n{\displaystyle }$ = ${\displaystyle n=4}$ 및${\displaystyle }and$ : ${\displaystyle 4}$= 2${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \lambda :4=2+2}$을(를) 취하십시오$.$If ${\displaystyle \mu :4=1+1+1+1}$, which corresponds to the class of the identity element, then ${\displaystyle \chi _{\lambda }(C(\mu ))}$ is the coefficient of ${\displaystyle x_{1}^{3}x_{2}^{2}}$ in

${\displaystyle (x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})^{4}}$

2개야.마찬가지로, $\mu {\displaystyle }$:${\displaystyle 4}$ =${\displaystyle 3}$ + ${\displaystyle 1}${\$displaystyle \mu :4=3+$1} (3 사이클의 등급이 1 사이클을 곱한 경우) ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle C)}${\$displaystyle$ _${\lambda$}($C(\mu )})}$이(가)에 의해 $주어진다.$

${\displaystyle (x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{3}+x_{2)}^{3}),}$

-1이다.

아날로그

(Ram 1991) harv 오류에서: 대상 없음: CITREFRAM1991 (도움말) 아룬 램은 프로베니우스 공식의 q-아날로그를 제공한다.

참고 항목

• 대칭군 표현 이론

참조

• A. Ram, 헤케 알헤브라의 등장인물에 대한 프로베니우스 공식, 발명품 수학, 106권, 1, 2페이지 461–488, 1991.
• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
• 맥도날드, I. G. 대칭 함수 및 홀 다항식.제2판.옥스퍼드 수학 모노그래프스옥스퍼드 과학 출판사1995년 뉴욕 옥스포드 대학 출판부의 클라렌던 출판사. x+475 pp.ISBN 0-19-853489-2 MR1354144