HNN 확장

수학에서 HNN 연장은 결합 집단 이론의 중요한 구성이다.

1949년 그레이엄 히그만, 베른하르트 노이만, 한나 노이만이 쓴 '그룹을 위한^[1] 이론 임베딩' 논문에서 소개한 이 책은 G의 주어진 이형성 부분군 두 개가 G'에서 결합되는 방식으로 G'의 다른 그룹 G'에 주어진 그룹 G를 내장하고 있다.

건설

$G{\displaystyle }$ =${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle R}$⟩ ${\displaystyle$ G$=\langle$S=\langle S$\$${\displaystyle \mathrm{mid}}$ $R\rangle$ α : H${\displaystyle }$→ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha \colon H\to K}$이($가{\displaystyle }$)가 G의 두 부분군 사이의 이형성이 되도록$$ 한다. S에 포함되지 않은 새로운 기호가 되도록 하고 정의한다.

${\displaystyle G*_{\alpha }=\left\langle S,t\mid R,tht^{-1}=\alpha(h),\forall h\in H\right\angle.}$

$그룹{\displaystyle }$ G${\displaystyle {}_{\alpha }}${\$displaystyle G*_{\alpha }}}$을(를$$) 기준으로 G의 HNN 확장이라고 한다.원래 그룹 G를 구성의 베이스 그룹이라고 하며, 하위 그룹 H와 K는 연관된 하위 그룹이다.새로운 발전기 t는 안정 문자라고 불린다.

주요 속성

Since the presentation for ${\displaystyle G*_{\alpha }}$ contains all the generators and relations from the presentation for G, there is a natural homomorphism, induced by the identification of generators, which takes G to ${\displaystyle G*_{\alpha }}$. Higman, Neumann, and Neumann proved that this morphism is injective, 즉 $G$를${\displaystyle {}_{}}$G ${\displaystyle {\alpha }_{}}${\$displaystyle G$*_${\alpha }}}$에 삽입하는 것$.$ 그 결과 특정 집단의 이형성 부분군 두 개가 항상 어떤 오버그룹에서 결합하게 된다; 이것을 보여주고자 하는 욕구가 원래 건설의 동기였다.

브리튼의 보조정리

HNN 확장의 주요 특성은 브리튼의 보조정리라고 알려진 정상적인 형태의 정리다.^[2]${\$을(를) 위와 같이 하고$$ w를 $G{\displaystyle {}_{}}$α ${\displaystyle {\alpha }_{}}${\$displaystyle G*_{\alpha$의 다음 제품이 되게 한다.

${\displaystyle w=g_{0}t^{\varepsilon_{1}g_{1}t^{2}}\cdots g_{n-1}t^{n}}\varepsilon _{n}}}}{n}}}}}\varepsilon _{i}=pm 1.}}$

그렇다면 브리튼의 리마마는 다음과 같이 진술할 수 있다.

브리튼의 보조정리꾼이야.w = 1 in G∗_α이면

• $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n=0}$ 및$$ g = 1₀ in G
• n> ${\displaystyle n>0}$ 및 일부 i some {1, ..., n-1}의 경우 다음 중 하나가 유지된다.

1. ε_i = 1, ε_i+1 = −1, g_i ∈ H,
2. ε_i = −1, ε_i+1 = 1, g_i ∈ K.

대조적으로 브리튼의 리마사는 다음과 같은 형태를 취한다.

브리튼의 보조정리(대체 형태)w가 그런 것이라면

• $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n=0}$ 및$$ g₀ ≠ 1 ∈ G,
• 또는 > ${\displaystyle n>0}$이며 제품 w는 형식 tht의⁻¹ 하위 문자(여기서 h ∈ H 및 k ∈ K, 형식 tkt의⁻¹ 하위 문자열을 포함하지 않는다.

$그{\displaystyle }$ 다음 G α${\displaystyle {}_{\alpha }}$ ${\$의 w${\displaystyle 1}$ 1$${\$displaystyle w\neq 1$$\}.$

브리튼의 보조정리 결과

HNN 익스텐션의 대부분의 기본 특성은 브리튼의 보조정리함에서 따온 것이다.이러한 결과는 다음과 같은 사실을 포함한다.

• G에서 $G$까지의${\displaystyle {}_{자연}}$ 동형성 α${\$는 주입성이므로$$ G${\$을(를) 부분군으로 포함하는 $것$으로 생각할 수 있다.
• $G{\displaystyle {}_{\alpha }}$ ${\$의 모든 유한 질서의 요소는$$ G의 요소에 결합된다.
• $G{\displaystyle {}_{\alpha }}$ ${\$의 모든 유한 부분군은 G의 유한 부분군에 결합된다$$.
• $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H\neq G}$과 K ${\displaystyle \ne }$ G ${\displaystyle K\neq G}$일 경우 $G$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$은(는) 2등급의 자유 그룹에 대한 부분군 이형성을 포함한다$$.

적용들

대수적 위상에서의 기본 집단의 관점에서, HNN 확장은 지도화 f에 의해 스스로 '뒤로' 된 위상학적 공간 X의 기본 집단을 이해하는 데 필요한 구성이다(예: 참조).원 위로 표면 번들).즉, HNN 확장은 연결된 공통 하위 공간을 따라 공간 X와 Y를 접착하기 위한 Seifert-van Kampen 정리와 관련하여 합병이 있는 자유 제품이 그러하듯이 기본 그룹의 그러한 측면과 관련하여 서 있다.두 구조 사이에 본질적으로 기하학적 접착은 기본 그룹의 관점에서 설명될 수 있다.

HNN 익스텐션은 히그만의 히그만 임베딩 정리에 대한 입증에 핵심적인 역할을 하는데, 히그만 임베딩 정리는 모든 미세하게 생성된 재귀적으로 제시된 집단은 균질하게 제시된 집단에 내장될 수 있다는 것이다.알고리즘적으로 해석할 수 없는 단어 문제가 있는 정밀하게 제시된 집단의 존재에 대한 노비코프-보네 정리의 대부분의 현대적인 증명들 또한 HNN-확장을 실질적으로 사용한다.

HNN-확장과 혼합 프리 제품은 모두 나무에 작용하는 집단의 Bass-Serre 이론의 기본 구성 요소다.^[3]

HNN 연장에 대한 생각은 리 대수 이론을 포함한 추상 대수학의 다른 부분들로 확장되었다.

일반화

HNN 확장은 그룹의 그래프의 기본 그룹의 기본적인 예로서, Bass-Serre 이론에서 중심적으로 중요하다.

참조