순차 선형 2차 프로그래밍

순차 선형 2차 프로그래밍(SLQP)은 객관적 기능과 제약조건이 연속적으로 2배 이상 차이가 나는 비선형 최적화 문제에 대한 반복적인 방법이다.순차 2차 프로그래밍(SQP)과 유사하게, SLQP는 일련의 최적화 하위 문제를 해결함으로써 진행된다.두 접근법의 차이점은 다음과 같다.

SQP에서 각 하위 문제는 2차 프로그램이며, 제약 조건의 선형화에 따라 목표의 2차 모델이 적용된다.
SLQP에서는 각 단계에서 두 가지 하위 문제를 해결하는데, 즉 활성 세트를 결정하는 데 사용되는 선형 프로그램(LP)과 총 단계를 계산하는 데 사용되는 동일 구속 2차 프로그램(EQP)이 그 뒤를 따른다.

이러한 분해는 SLQP를 대규모 최적화 문제에 적합하게 만들며, 효율적인 LP 및 EQP 솔버를 사용할 수 있는 경우, 이러한 문제는 본격적인 2차 프로그램보다 확장이 용이하다.

알고리즘 기본 사항

다음 형식의 비선형 프로그래밍 문제를 고려하십시오.

{\ready}{rl}\min \cHB _{x}&f(x)\\\\mbox{s.t.t.}}}&b(x)\geq 0\\&c(x)=0.\end{array}}

이^[1] 문제의 라그랑지안은

{\mathcal {L}(x,\lambda ,\sigma )=f(x)-\lambda ^{T}b(x)-\sigma ^{T}c(x),

여기서 $\lambda \geq 0$ $\lambda \geq 0$ $\lambda \geq 0$ ${\displaystyle \lambda \geq$ 0 $}$ 및 $\lambda \geq 0$ $\sigma$ $\sigma$ 은 $\sigma$ (는) Lagrange 승수다.

LP상

SLQP의 LP상에서는 다음과 같은 선형 프로그램을 해결한다.

{\read}{rl}\min \fo_{d}&f(x_{k})+\possla f(x_{k}})^{d}T}d\\\mathrm {s.t.} &b(x_{k})+\nabla b(x_{k})^{{}T}d\geq 0\\&c(x_{k})+\nabla c(x_{k})^{{{k}^{{}}T}d=0.\end{array}

${\cal {A}}_{k}$ ${\cal {A}}_{k}$ ${\$ { $A}_{k}}}$ 이(가) 최적의 $d_{\text{LP}}^{*}$ LP $d_{\text{LP}}^{*}$ ${\$ 에서 활성 세트를 나타냄 ${\cal {A}}_{k}$ 이 문제의 $d_{\text{LP}}^{*}$ $LP}^{*}},$ 즉 $d_{\text{LP}}^{*}$ $d_{\text{LP}}^{*}$ zero ${\$ 에서 0과 같은 제약조건 집합. $LP}}^{*}}$ . Denote by $b_{{\cal {A}}_{k}}$ and $c_{{\cal {A}}_{k}}$ the sub-vectors of $b$ and $c$ corresponding to elements of ${\cal {A}}_{k}$ .