사토-타테 추측

사토-타테 추측

밭	산술 기하학
에 의해 추측:	사토 미키오 존 테이트
추측:	1960

수학에서, 사토-타이트 추측은 거의 모든 p에 대한 프라임 모듈로 프라임 모듈로 프라임 과정을 통해 p 원소가 있는 유한장 위에 있는 타원곡선 E_p 계열에 대한 통계적 진술이다.N이_p E에_p 대한 점 수를 나타내며 필드 위에 p 요소로 정의되는 경우, 추측에 따르면 N에_p 대한 2차 항의 분포에 대한 답이 나온다.즉, 타원곡선에 대한 하세의 정리에 의해 우리는

${\displaystyle N_{p}/p=1+\mathrm {O}(1/\!{\sqrt {p})\ }$

p → ∞으로, 그리고 추측의 요점은 O항은 어떻게 변하는지 예측하는 것이다.

원래의 추측과 모든 실제 분야에 대한 일반화는 로랑 클루젤, 마이클 해리스, 니콜라스 셰퍼드-바론, 리처드 테일러에 의해 2008년에 가벼운 가정하에 증명되었고, 토마스 바넷-램, 데이비드 게라기, 해리스, 테일러에 의해 2011년에 완성되었다.다른 대수적 품종과 분야에 대한 몇 가지 일반화가 개방되어 있다.

성명서

E는 복잡한 곱셈 없이 합리적인 숫자에 걸쳐 정의되는 타원곡선이 되도록 한다.θ을_p 방정식의 해법으로 정의

${\displaystyle p+1-N_{p}=2{\sqrt{p}}\cos \cos \theta _{p}~(0\leq \theta _{p}\leq \pi).}$

그런 다음, 두 개의 실수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ 및 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$에 대해 < β ${\displaystyleq \alpha \leq$ \leq $\pi ,}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {\#\{p\leq N:\alpha \leq \theta _{p}\leq \beta \}}{\#\{p\leq N\}}}={\frac {2}{\pi }}\int _{\alpha }^{\beta }\sin ^{2}\theta \,d\theta .}$

세부 사항

타원곡선에 대한 하세의 정리, 비율

${\displaystyle {\frac{(p+1)-N_{p}}{2{\sqrt{p}}{p}}}{2}{\sqrt{p}}}}}$

-1과 1사이에 있다.따라서 θ 각도에 대한 cos cos으로 표현할 수 있다. 기하학적 용어로 나머지 부분에 대해 설명하는 두 개의 고유값이 있으며, 주어진 분모는 복잡한 결합이고 절대값 1이다.사토-타테 추측에 의하면 E가 복잡한 곱셈을 가지고 있지 않을 때, ^[1]probability의 확률 측도는 에 비례한다고 한다.

$\displaystyle \sin ^{2}\theta \,d\theta .}$^[2]

이는 사토 미키오와 존 테이트(독립적으로, 그리고 1960년경, 다소 후에 출판) 때문이다.^[3]

증명

2008년, 클로젤, 해리스, 셰퍼드-바론, 테일러는 일련의 세 개의 공동 논문에서 특정 조건을 만족하는 완전한 실제 영역에 대한 타원곡선에 대한 사토-타이트 추측의 증거를 발표했다.^[4][5][6][7]

추가 결과는 아서-셀버그 추적 공식의 개선된 형태에 따라 결정된다.Harris는 그러한 가상의 추적 공식에서 따온 두 개의 타원곡선(등생성이 아님)의 결과에 대한 조건부 증거를 가지고 있다.^[8]2011년, Barnet-Lamb, Geraghty, Harris 및 Taylor는 이전 논문의 잠재적인 모듈화 결과를 개선함으로써 2 이상의 가중치인 임의의 비CM 홀모픽 모듈형 형태의 사토-타이트 추측의 일반화 버전을 입증했다.^[9][10]미량 공식과 관련된 이전 문제는 마이클 해리스와 ^[11]수우신이 해결했다.^[12][13]

2015년 리차드 테일러는 "사토-테이트 추측에 있어서 수많은 획기적인 성과로 수학의 돌파구상"을 받았다.^[14]

일반화

갈루아 집단의 프로베니우스 요소 분포와 관련된 일반론들이 있는데, 갈루아 집단은 에탈레 코호몰리에 관한 갈루아 표현에 관여한다.특히 속 n > 1의 곡선에 대한 추측 이론이 있다.

닉 카츠와 피터 사르낙이 개발한 랜덤 매트릭스 모델 아래,^[15] 콤팩트 리 그룹 USp(2n) = Sp(n)의 프로베니우스 원소들의 (단일화된) 특성 다항식들과 결합성 클래스들 사이에 추측 일치성이 있다.USp(2n)에 대한 Har 측정치는 추측된 분포를 제공하며, 고전적인 경우는 USp(2) = SU(2)이다.

정제

더 정제된 진술도 있다.세르게 랑과 헤일 트로터의 랑-트로터 추측(1976)은 주어진_p a 값을 가진 점증 p의 수,^[16] 공식에 나타나는 프로베니우스의 흔적을 말한다.일반적인 경우(복잡한 곱셈이 없음, trace ≠ 0)의 경우, 그들의 공식은 X까지의 p의 수가 무증상이라고 한다.

${\displaystyle c{\sqrt{X}/\log X\}$

상수 c를 지정하여닐 코블리츠(1988)는 타원 곡선 암호법에 의해 동기 부여된 E의_p 소수 q의 경우에 대해 상세한 추측을 제공했다.^[17]1999년에 찬탈 데이비드와 프란체스코 파팔라르디는 랭-트로터 추측의 평균 버전을 증명했다.^[18]

참조

외부 링크

• Barry Mazur의 컨텍스트 제공 보고서
• Michael Harris가 진술서와 함께 메모(PDF)
• La Suppressure de Sato-Tate [d'apres Clozel, Harris, Shepherd-Barron, Taylor], Henry Carayol (PDF)의 2007년 6월 부르바키 세미나
• Ellimic curve 및 Imperial College London, 2014년(마지막 15분) 사토-타이트 추측과의 관계 소개 비디오