플립(수학)

대수 기하학에서 플립과 플립은 상대적인 표준 링을 따라 폭파함으로써 주어지는 최소 모델 프로그램에서 발생하는 코디멘션-2 수술이다.치수에서 3 플립은 최소 모델을 구성하기 위해 사용되며, 2개의 비합리적으로 동등한 최소 모델은 일련의 플립으로 연결된다.더 높은 차원에서도 마찬가지일 것으로 추측된다.

미니멀 모델 프로그램

The minimal model program can be summarised very briefly as follows: given a variety ${\displaystyle X}$, we construct a sequence of contractions ${\displaystyle X=X_{1}\rightarrow X_{2}\rightarrow \cdots \rightarrow X_{n}}$, each of which contracts some curves on which the canonical divisor ${\displaystyle K_{}}$${\displaystyle {X_{}}_{}}$ ${\displaystyle {i_{}}_{}}$ ${\$은(는) 음수임$$.결국 $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {X{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {n_{}}_{}}$ ${\$은(적어도 음이 아닌 고다이라 치수의 경우) nef가 되어야 하는데$$, 이는 원하는 결과물이다.The major technical problem is that, at some stage, the variety ${\displaystyle X_{i}}$ may become 'too singular', in the sense that the canonical divisor ${\displaystyle K_{X_{i}}}$ is no longer a Cartier divisor, so the intersection number ${\displaystyle K_{X_{i}}\cdot C}$ with a curve $$${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$은(는) 정의되지도 않았다.

이 문제에 대한 (주관적) 해결책은 뒤집기다.Given a problematic ${\displaystyle X_{i}}$ as above, the flip of ${\displaystyle X_{i}}$ is a birational map (in fact an isomorphism in codimension 1) ${\displaystyle f\colon X_{i}\rightarrow X_{i}^{+}}$ to a variety whose singularities are 'better' than those of ${\displays$$Tyle$ ${\displaystyle {X\_}_{}}$${i$ 그러면 ${\displaystyle {\mathrm{X}}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}}$= X ${\displaystyle i_{}^{}}$+ ${\$을$($를) 넣고 계속 진행하면 된다.^[1]

플립과 관련된 두 가지 주요 문제는 플립이 존재한다는 것을 보여주는 것과 무한히 일련의 플립을 가질 수 없다는 것을 보여주는 것이다.이 두 가지 문제를 모두 해결할 수 있다면 미니멀한 모델 프로그램을 진행할 수 있다.3배 플립의 존재는 모리(1988)에 의해 증명되었다.보다 일반적인 종류의 플립인 로그 플립의 존재는 치수 3과 4에서 쇼쿠로프(1993, 2003)에 의해 증명되었다. 쇼쿠로프는 더 높은 차원의 로그 플립의 존재와 다른 문제들의 해결의 기초가 되는 작업을 했다.더 높은 차원의 로그 플립의 존재는 (Caucher Birkar, Paolo Cascini, Christopher D)에 의해 해결되었다.Hacon 등 2010).반면에, 종료의 문제(무한한 플립의 순서가 있을 수 없다는 것을 증명하는)는 여전히 3보다 큰 치수로 열려 있다.

정의

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$이(가) 형태론이고, K가 X의 표준다발이라면 f의 상대적 표준반지는

${\displaystyle \bigoplus _{m}f_{*}({\mathcal {O}_{X}(mK))}$

그리고 Y에 ${\displaystyle {대한}_{}}$ 정규 함수의$$ $Sheaf{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ O Y ${\${\$mathcal{O}_{Y}$ 위에 있는 등급이 매겨진 알헤브라의 껍질이다.더 블로우업

${\displaystyle f^{+}\colon X^}=\operatorname {Proj} {\big(}\bigoplus _{m}f_{*}({\mathcal {O}_{X})(mK){\big )}\\to Y}$

상대 표준 링을 따라 Y의 형태론은 Y에 대한 형태론이다.상대적 표준 링이 미세하게 생성되는 경우(${\displaystyle {OY}_{}}$ ${\$에 대한 대수로서$)$ $형태론{\displaystyle {}^{}}$ f${\displaystyle {}^{}}$+ ${\$ f$^{+}$가 상대적으로 ${\displaystyle \mathrm{충분한}}$ 경우$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $f}$의 플립이라고 하며$$$,{\displaystyle }$ K가 rela일 경우$$ f ${\displaystysty f}$의 플롭이라고 한다.순전히 하찮은($X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 $X{\displaystyle {}^{}}$+ ${\$ X$^{+}}$까지 유도된 쌍생형 형태론을$$ 플립 또는 플롭이라고 부르기도 한다.)

애플리케이션에서 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) 극단 광선의 작은 수축이며, 이는 다음과 같은 몇 가지 추가 특성을 의미한다.

• 두 지도 $모두{\displaystyle }$ 예외적으로 f ${\displaystyle f}$과($와{\displaystyle {}^{)}}$f + {\$displaystyle$ f$^{+}$가 최소한 2개 이상 코드화 되어 있다$$.
• ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ 및$$ $X{\displaystyle {}^{}}$+ ${\$ X$^{+}}$은(는) 단자 특이점과 같은 가벼운 특이점만$$ 가진다.
• ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$과($와{\displaystyle {}^{)}}$f + {\$displaystyle$ f$^{+}}$는 Y에 대한 생리적 형태론이며$$, 이는 정상적이고 투영적이다.
• $f{\displaystyle }$$$ ${\displaystyle f}$ 및$$ $f{\displaystyle {}^{}}$+ ${\$ 섬유 내 모든 곡선은 수적으로 비례한다.

예

'아티야 플롭(Atiyah flop)'으로 알려진 플롭의 첫 번째 예가 (Atiyah 1958년)에서 발견되었다.${\displaystyle Y}$를 A ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 $x{\displaystyle }$ y${\displaystyle }$= z ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle xy=zw}$의 0으로 하고 V를 원래 위치에서 Y의 0으로 한다.The exceptional locus of this blowup is isomorphic to ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$, and can be blown down to ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ in two different ways, giving varieties ${\displaystyle X_{1}}$ and ${\displaystyle X_{2}}$.$X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}에서$$ $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}까지의 자연 분생 지도가 아티야 플롭이다$$.

$리드(1983)$는 Y를 x ${\displaystyle y}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ $k$)${\displaystyle }$($z$- ${\displaystyle w^{}}$)의 0으로 대체한 아티야의 플롭을 일반화한 리드의 $탑을 소개$했다$.$

참조

• Atiyah, Michael Francis (1958), "On analytic surfaces with double points", Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 247 (1249): 237–244, Bibcode:1958RSPSA.247..237A, doi:10.1098/rspa.1958.0181, MR 0095974
• Birkar, Caucher; Cascini, Paolo; Hacon, Christopher D.; McKernan, James (2010), "Existence of minimal models for varieties of log general type", Journal of the American Mathematical Society, 23 (2): 405–468, arXiv:math.AG/0610203, Bibcode:2010JAMS...23..405B, doi:10.1090/S0894-0347-09-00649-3, ISSN 0894-0347, MR 2601039
• Corti, Alessio (December 2004), "What Is...a Flip?" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 51 (11): 1350–1351, retrieved 2008-01-17
• Kollár, János (1991), "Flip and flop", Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I, II (Kyoto, 1990), Tokyo: Math. Soc. Japan, pp. 709–714, MR 1159257
• Kollár, János (1991), "Flips, flops, minimal models, etc", Surveys in differential geometry (Cambridge, MA, 1990), Bethlehem, PA: Lehigh Univ., pp. 113–199, MR 1144527
• Kollár, János; Mori, Shigefumi (1998), Birational Geometry of Algebraic Varieties, Cambridge University Press, ISBN 0-521-63277-3
• Matsuki, Kenji (2002), Introduction to the Mori program, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98465-0, MR 1875410
• Mori, Shigefumi (1988), "Flip theorem and the existence of minimal models for 3-folds", Journal of the American Mathematical Society, 1 (1): 117–253, doi:10.1090/s0894-0347-1988-0924704-x, JSTOR 1990969, MR 0924704
• Morrison, David (2005), Flops, flips, and matrix factorization (PDF), Algebraic Geometry and Beyond, RIMS, Kyoto University
• Reid, Miles (1983), "Minimal models of canonical $3$-folds", Algebraic varieties and analytic varieties (Tokyo, 1981), Adv. Stud. Pure Math., vol. 1, Amsterdam: North-Holland, pp. 131–180, MR 0715649
• Shokurov, Vyacheslav V. (1993), Three-dimensional log flips. With an appendix in English by Yujiro Kawamata, vol. 1, Russian Acad. Sci. Izv. Math. 40, pp. 95–202.
• Shokurov, Vyacheslav V. (2003), Prelimiting flips, Proc. Steklov Inst. Math. 240, pp. 75–213.