CR 다지관

수학에서, CR 다지관 또는 Cauchy-Remann 다지관은 복잡한 벡터 공간에서 실제 초지형의 그것 또는 보다 일반적으로 쐐기 가장자리를 모델로 한 기하학적 구조와 함께 다른 다지관이다.^[1]

형식적으로 CR 다지관은 선호되는 복합적 분포 L과 함께 다른 다지관 M이며, 다시 말하면 복합$$ 탄젠트 번들 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ T ${\displaystyle M}$= ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M{}_{}}$= T ${\displaystyle M}$ $=$ ${\displaystyle {T\mathbb{}}_{}}$ M = T M =$TM {C$} $TM$ = $TM$ =$TM\otimes _${\$mathb${R$}\mathb$ {$C}}$의 복잡한 하위 분절이다$.$

• ${\displaystyle [}$ ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \subseteq }$ L ${\displaystyle [L,L]\subseteq L}($L은 공식적으로 통합 가능)
• ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle L\stackrel{\text{'}}{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0\}}$ ${\displaystyle L\cap {\l}=\{0$

서브번들 L은 다지관 M에서 CR 구조라고 불린다.

약칭 CR은 "Cauchy-Riemann" 또는 "Complex-Real"^[1][2]을 의미한다.

소개와 동기부여

CR 구조의 개념은 과급면에 접하는 홀로모르픽 벡터장의 특성을 연구함으로써 복잡한 공간에서 과급면(또는 더 높은 코디멘션의 어떤 실제 하위매니폴드)의 특성을 본질적으로 설명하려고 한다.

예를 들어 M이 ${\displaystyle {}^{}}$으로 주어진$$ $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 2 ${\$의 초외면이라고 가정하자.

${\displaystyle F(z,w):=z ^{2}+ w ^{2}=1,}$

여기서 z와 w는 $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 일반적인 복잡한 좌표다$.$ $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 홀로모르픽 탄젠트 번들은 벡터의 모든 선형 조합으로 구성된다$$.

${\displaystyle {\frac {\frac {\reason z},\frac {\frac {\reason w}.}$

M의 분포 L은 M에 접하는 이러한 벡터의 모든 조합으로 구성된다. 접선 벡터는 M에 대한 정의 방정식을 소멸시켜야 하므로 L은 다음의 복잡한 스칼라 배수로 구성된다.

${\displaystyle {\bar{w}{\frac {\frac}{\frac z}-{\bar {z}{\fract {\bar}{\frac {}{\fract w}}}}}$

특히 L은 F를 섬멸하는 홀로모르프 벡터장으로 구성되어 있다. ∂/∂z 및 ∂/∂/ww는 복잡한 접합자와 선형적으로 독립적이므로 [L] = 0 (L이 1차원이기 때문에) $및{\displaystyle }$ L ${\displaystyle \cap }$ L${\displaystyle \stackrel{}{}}$= {${\style$ L$\cap${\$l}=\{0\}}}$에 대해 L은 M에 CR 구조를 제공한다는 점에 유의하십시오.

보다 일반적으로 ${\displaystyle {}^{}}$이 등식 F(z₁, ..., z_n) = 0을 정의하는$$ $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle \mathb {C}$^{$n}}$에서 실제 과급면이라고 가정하면, CR 구조 L은 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 있는 기본 홀로모르픽 벡터의 선형 결합으로 구성된다.

${\displaystyle {\frac {\frac {\reason }{\presid z_{1}},\ldots, {\frac {\fract }{\fract z_}}}}}}}}}}}$

정의 함수를 섬멸하는 거지 이 경우 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle L}$의${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0\}}$ ${\displaystyle L\cap{\l}=\{0\}}}$ 전과 같은 이유로 나타난다$$. 더욱이 F를 섬멸하는 홀로모르프 벡터장의 정류자로부터 [L,L] ⊂ L은 다시 F를 섬멸하는 홀로모르프 벡터장 섬멸이다.

내장 및 추상 CR 매니폴드

임베디드 CR 다지관(복합 공간 내 웨지 면과 가장자리) 이론과 추상 CR 다지관(복합 분포 L에서 제시된 이론)은 극명한 대조를 이룬다. 많은 형식적인 기하학적 특징들이 비슷하다. 여기에는 다음이 포함된다.

• 볼록성의 개념(레위 형태에 의해 제공됨)
• Dolbeault 연산자와 유사한 차동 연산자 및 관련 코호몰로지(접선적 Cauchy-Remann 복합체)

내장형 CR 다지관은 몇 가지 추가 구조를 가지고 있다. 즉, Cauchy-Remann 방정식의 Neumann 및 Diriclet 문제.

이 글은 임베디드 CR 다지관의 기하학을 먼저 다루고, 이러한 구조를 본질적으로 정의하는 방법을 보여 준 다음 추상적인 설정으로 일반화한다.

내장 CR 매니폴드

예선

임베디드 CR 다지관은 ${\displaystyle {}^{}}$로 $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ n .${\displaystyle \mathb {C}$^{$n}$의 하위 manifolds로서 복잡한 접선 번들 C${\displaystyle }$⊗ $T{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ T$\mathb {C}$^n}{$n}$을 정의한다.

• ${\displaystyle T^{}}$( ${\displaystyle 1^{}}$,${\displaystyle 0^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$은(는) 항홀로모르픽 함수를 소멸시키는 복합 벡터로 구성된다. 홀로모픽 좌표에서:

${\displaystyle T^{(1,0)}\mathb {C}^{n}=\operatorname {span} \left({\frac {\partial z_{1}}}}}}\dots,{\partial z}{\partial z_{n}}}\오른쪽).}$

• ${\displaystyle T^{}}$( ${\displaystyle 0^{}}$, ${\displaystyle 1^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{\mathbb{}}^{}}$ ${\$ T$^{(0,1)}\mathb {C}^{n}}}}$은(는) 홀로모르픽 함수를 소멸시키는 복잡한 벡터로 구성되어$$ 있다. 좌표:

${\displaystyle T^{0,1)\mathb {C}^{n}=\operatorname {span} \좌측({\frac {\\partial {\z}_{1}}}}{\partial {z}}}},\partial {\partial {\z}}\n}\우측).}$

또한 돌베오 콤플렉스의 특징적인 섬멸자들도 관련이 있다.

• ${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}^{}}$(${\displaystyle 1^{}}$,${\displaystyle 0^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{\mathbb{}}^{}}$=${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle {T{}^{}}^{}}$( ${\displaystyle {{0,}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {1^{}}^{}}$) ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ n${\displaystyle {{}^{}}^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle \Oomega ^{(1,0)}\mathb {C}^{n}=\left(T^{0,1)\mathb {C}^{n}\right}}}}$ 좌표상, 좌표상에는$$ {n,

${\displaystyle \Oomega ^{(1,0)}\mathb {C}^{n}=\operatorname {span}(dz_{1},\dots,dz_{n}).}$

• ${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}^{}}$(${\displaystyle {0,}^{}}$ ${\displaystyle 1^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{\mathbb{}}^{}}$=${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle {{\mathrm{T}}^{}}^{}}$( ${\displaystyle {1{}^{}}^{}}$,${\displaystyle {{}^{}{\mathbb{}}^{}}^{}}$ ) C${\displaystyle {{}^{}{}^{}}^{}}$ ) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \Oomega ^{{0,1$)\$mathb {C}^{n}=\좌측(T^{0)\mathb {C}^{n}\right)^{{{n$}}^{$bot }}}}.$ 좌표상$$:}

${\displaystyle \Oomega ^{(0,1)}\mathb {C}^{n}=\operatorname {span}(d{\bar {{z}_{1},\dots,d{z}_{n}).}$

이러한 외부 제품은 다음과 같은 방법으로 자명한 표기법 Ω과^(p,q) 돌보트 운영자와 복잡한 결합 지도로 표시된다.

${\displaystyle \partial :\Oomega ^{(p,q)}\to \Oomega ^{(p+1,q)}}$

${\displaystyle {\bar {\pair}:\오메가 ^{{(p,q)}\to \오메가 ^{(p,q+1)}}}}}$

또한 $d{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\partial }}$+ ${\displaystyle \partial \stackrel{}{\mathrm{}}}$ ∂ ${$의 {\$displaystyle$d=\$partial$+{\$bar${\$partial }}$을(를) 통해 일반적인 외부 파생 모델이 분해된다$.$

복합공간의 실제 서브매니폴드

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$을(를) 실제 하위 관리자로$$, 매끄러운 실제 가치 함수의 시스템 로커스로 로컬로 정의하도록 한다.

${\displaystyle F_{1}=0,F_{2}=0,\ldots,F_{k}=0.}$

이 계통 차이의 복잡선형 부분이 다음과 같은 독립 조건을 만족한다는 의미에서 최대 순위를 갖는다고 가정하자.

$\displaystyle \partial F_{1}\wedge \dots \partial F_{k}\not =0.}$

이 조건은 암묵적 함수 정리를 적용하는 데 필요한 것보다 엄격히 강하다는 점에 유의하십시오. 특히 M은 실제 치수 2 $n{\displaystyle \mathrm{}}$ -${\displaystyle k.}$ ${\displaystyle 2n-k.}$ 우리는$$ M이 CR 코디멘션 k의 일반적인 내장 CR 하위 관리본이라고 말한다. 형용사 제네릭은$$접선 공간 $T{\displaystyle }$ $M$ ${\$의 접선 공간에 복잡한$$ 숫자에$$ 걸쳐 있음을 나타낸다. 대부분의 용도에서 k = 1이며, 이 경우 다지관은 초경면형이라고 한다.

Let ${\displaystyle L\subset T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n} _{M}}$ be the subbundle of vectors annihilating all of the defining functions ${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{k}.}$ Note that, by the usual considerations for integrable distributions on hypersurfaces, L is involutive. 더욱이 독립조건은 L이 일정한 등급의 n - k의 묶음임을 암시한다.

따라서 달리 명시되지 않은 한 k = 1(따라서 CR 매니폴드가 초urface 유형이라고 함)이라고 가정한다.

레위 폼

M을 단일 정의 함수 F = 0인 초대면 유형의 CR 매니폴드로 두십시오. Eugenio Elia Levi의 이름을 딴 M의 Levi 형식은 은둔자 2형식이다.^[3]

${\displaystyle h=i\,\partial {\bar {\partial}F _{L\wedge {\bar {L}}.}$

이로써 L. M에 대한 측정기준은 h가 양정확정(또는 h가 양의 반정결핵인 경우 유사정결핵)이면 엄격히 유사정결핵(F<0측으로부터)이라고 한다. CR 다지관 이론의 분석적 존재와 고유성의 상당수는 유사성에 의존한다.

이 명명법은 유사점막영역의 연구로부터 유래한다: ${\displaystyle {}^{}}$은 (강력한) $Cn{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}${\$displaystyle \mathb{C} ^$n}}에 있는 (강력한) 유사점막영역의 경계인 경우에만$$ 해당 영역의 측면에서 CR다지관으로 한다. (풀리수반 함수와 스타인 매니폴드를 참조하십시오.)

추상 CR 구조

실제 치수 n의 실제 다지관 M에 있는 추상적인 CR 구조는 그것의 복잡한 결합체와 0 교차점을 갖는 [L,L] ⊂ L이라는 의미에서 정식으로 통합할 수 있는 복잡한 탄젠트 번들의 복잡한 하위 분절 L로 구성된다. CR 구조의 CR 코디네이션은 $k{\displaystyle }$= n${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \dim }$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle k=n-2\dim$ L$,}$이며 여기서$$ dim L은 복합 치수다. 케이스 k = 1의 경우, CR 구조는 초대면 타입이라고 한다. 추상적인 CR 구조의 대부분의 예는 초면형이다.

Levi 형태와 유사성

M이 초대면 유형의 CR 다지관이라고 가정합시다. Levi 폼은 L에 정의된 벡터 값 2-폼으로, 라인 번들에 값이 있다.

${\displaystyle V={\frac {TM\otimes \mathb {C}{L\oplus {\overline {L}}}}$

에 의해 주어지는.

${\displaystyle h(v,w)={\frac {1}{1}{2}}:[v,{\overline {w}]\mod L\oplus {\overline {L},\quad v,w\in L.}$

h는 통합성 조건에 의해 L의 섹션으로 v와 w가 확장되는 방법에 따라 달라지지 않기 때문에 L에 sesquilinar 형식을 정의한다. 이 양식은 같은 표현으로$$ $L{\displaystyle }$의 {\$displaystyle L\$oplus {\$overline{L}}$ 묶음의 은둔자 형태로 확장된다. 확장된 형태는 때때로 Levi 형태라고도 한다.

Levi 형식은 대체적으로 이중성의 관점에서 특징지어질 수 있다. V를 소멸시키는 복잡한 코탄젠트 번들의 선 하위 번들을 고려하십시오.

${\displaystyle H_{0}M=V^{*}=(L\oplus {\overline {L})^{\perp }\subset T^{*}M\otimes \mathb {C}}}}}$

각 국부 섹션 α ∈ γ(HM)에 대해 다음과 같이 한다.₀

${\displaystyle h_{\alpha }(v,w)=d\alpha(v,{\overline {w})=-\alpha([v,\overline {w}]),\quad v,w\in L\oplus {\overline {L}.}$

h형식은_α α와 연관된 복합적 가치의 은둔자형이다.

Levi 폼의 일반화는 다지관이 초대면 타입이 아닐 때 존재하며, 이 경우 형태는 더 이상 라인 번들 내의 값을 가정하지 않고 벡터 번들 안에 있는 값을 가정한다. 그 다음에 레위 형태가 아니라, 레위 양식의 집합으로 그 구조를 말할 수 있다. 그 구조물을 위한 레위 양식의 집합체를 말할 수 있다.

강한 의사-콘벡스 유형의 추상 CR 다지관에서 Levi 형식은 의사-헤르미티아 계량법을 발생시킨다. 측정기준은 홀모형 탄젠트 벡터에 대해서만 정의되므로 퇴보한다. 그런 다음 이 측정기준을 사용하여 Ricci 곡률 및 스칼라 곡률과 같은 연결부 및 비틀림 및 관련 곡률 텐셔너를 정의할 수 있다. 이것은 데이비드 제리슨과 존 리에 의해 처음 연구된 유사한 CR 야마베 문제를 야기한다. CR 다지관과 관련된 연결은 처음에 시드니 M에 의해 정의되고 연구되었다. 웹스터는 동등성 문제에 대한 연구에 관한 논문에서 다나카에 의해 독립적으로 정의되고 연구되었다.^[4] 이러한 개념에 대한 설명은 기사에서 찾을 수 있다.^[5][6]

CR 지오메트리의 기본적인 질문 중 하나는 추상적인 CR 구조를 가진 매끄러운 다지관이 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 내장된 다지관으로 실현될 수 있는지 묻는 것이다$.$ 따라서 우리는 다지관을 내장하고 있을 뿐만 아니라, 추상 다지관을 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n}$에 내장한 지도가 (${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle \mathb {C} ^{n$에 위치하여 임베디드 매니폴드의 유도 CR 구조를 다시 당겨야 한다고 요구한다$$.e 풀백 CR 구조는 추상 CR 구조와 정확히 일치한다. 따라서 글로벌 임베딩은 두 가지 조건이다. 여기서 그 문제는 둘로 갈라진다. 현지 임베디빌리티나 글로벌 임베디빌리티를 요구할 수 있다.

글로벌 임베디빌리티는 강력한 유사성인 추상적으로 정의되고 컴팩트한 CR 구조물에 대해 항상 사실이며, 즉, Levi 형태는 긍정적인 확정성이며, 이는 Louis Boutet de Monvel의 결과로 다지관의 실제 치수가 5 이상일 때이다.^[7]

차원 3에서는 글로벌 임베디빌리티에 대한 장애물이 있다. 세 개의 구체 ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$, {\$displaystyle S^{3}$에 표준 CR 구조의 작은 동요를 만들면 결과적으로 하나의$$ 추상 CR 구조가 전체적으로 내장되지 않는다$.$ 이것을 로시 예라고 부르기도 한다.^[8] 실제로 그 예는 한스 그라워트로 거슬러 올라가 알도 안드레오티와 염통 시우의 논문에도 등장한다.^[9]

Joseph J. Kohn의 결과에서는 글로벌 임베디빌리티는 Kohn Laplacian이 사거리를 폐쇄한 조건과 동등하다고 말한다.^[10] 이 폐쇄 범위의 조건은 CR 불변 조건이 아니다.

차원 3에서는 CR 불변 조건인 비침습적 조건 집합이 사군 차닐로, 헝린 치우, 폴 C에 의해 발견되었다. 콤팩트 매니폴드에 정의된 강한 의사-콘벡스 CR 구조의 글로벌 임베디빌리티를 보장하는 Yang^[11]. CR 파니츠 오퍼레이터가 음성이 아니며 CR 야마베 상수가 양수라는 가설 아래 글로벌 임베딩이 있다. 두 번째 조건은 추상 다지관의 웹스터 곡률을 양의 상수로 아래 경계로 요구하여 비 CR 불변조건으로 약화시킬 수 있다. 그것은 작가들이 쿤의 라플라시안의 첫 번째 양성유전적 가치에 대해 급격한 하한을 얻을 수 있게 한다. 하한은 리만 기하학에서 콤팩트 다지관용 라플라스-벨트라미 연산자의 첫 번째 양의 고유값을 위해 바인딩된 안드레 리히네로위츠의 CR 기하학에서 아날로그를 말한다.^[12] 치수 3에서 CR 파니츠 연산자의 비부정성은 실제 치수 3의 CR 다지관에서 CR 파니츠 연산자의 정합 공변량 속성에 의해 다음과 같은 CR 불변 조건이며, 이는 Kengo Hirachi가 처음 관측한 것이다.^[13] 파니츠 오퍼레이터의 CR 버전, 이른바 CR 파니츠 오퍼레이터가 C의 작품에 처음 등장한다. 로빈 그레이엄과 존 리. 운영자는 실제 치수 5 이상에서는 정합 공변량이 아닌 실제 치수 3에만 있는 것으로 알려져 있다. 실제 차원 5 이상에서는 항상 음이 아닌 연산자다.^[14]

$C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 콤팩트하게 내장된 모든 CR 매니폴드에 음성이 아닌 Paniz 연산자가 있는지$$ 물어볼 수 있다. 이것은 위에서 논의된 내재적 이론에 대한 일종의 대화 질문이다. 이 방향에서 제프리 케이스, 사군 차닐로, 폴 C. 양용은은 안정 정리를 증명했다. 즉, C ${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle \mathb {C} ^2}$에 내장된 컴팩트 CR 다지관 패밀리에서 시작하여$$ $J{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$ 패밀리의 CR 구조가 파라미터 $t{\displaystyle }$, ${\displaystyty t}$에 대해 실제 분석적인 방식으로 변경되고$$$$ 다지관 패밀리의 CR 야마베 상수가 된다. 아래에는 양수 상수가 균일하게 경계한 다음, CR Paninitz 운영자는 전체 가족에 대해 음수가 아닌 상태로 유지된다. 단, 가족 구성원 중 한 명이 CR Paninitz 운영자가 음수가 아닌 경우.^[15] 역술문제는 다케우치 유야에 의해 마침내 해결되었다. 그는 엄격히 유사 콘벡스인 내장형 소형 CR-3 매니폴드의 경우, 이 내장형 매니폴드와 연관된 CR Paninitz 운영자가 음성이 아님을 증명했다.^[16]

다니엘 번즈와 찰스 엡스타인 때문에 3차원 영역의 표준 CR 구조의 작은 동요에 대한 글로벌 임베딩 결과도 있다. 이러한 결과는 섭동 항의 푸리에 계수에 대한 가정을 가정한다.^[17]

일부 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에서 추상 CR 다지관을 매끄러운 다지관으로 실현하면 일반적으로 특이점이 있을 수 있는 복합 품종이 결합된다$$. F가 기사에서 연구한 콤플렉스 고원 문제의 내용이다. 리즈 하비와 H. 블레인 로슨.^[18] 스테판 S.T. 야우의 콤플렉스 고원 문제에 대한 추가 연구도 있다.^[19]

추상적인 CR 구조의 국부적 내장은 루이 니렌베르크의 예 때문에 실제 차원 3에서는 사실이 아니다(아래에 언급된 첸과 메이치 쇼의 책에도 니렌베르크의 증명서가 실려 있다).^[20] L. 니렌베르크의 예는 한스 르위의 해결 불가능한 복합 벡터 필드의 매끄러운 섭동이라고 볼 수 있다. Haisenberg 그룹에 제공된$$ 반고형 벡터 필드 $'{\$부터 시작할 수 있다.

${\displaystyle {\overline {L}}={\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}-\imath z{\frac {\partial }{\partial t}},\qquad (z,t)\in \mathbb {C} \times \mathbb {R} ,\imath ={\sqrt {-1}}.}$

위에서 정의한 벡터 장은 두 개의 선형적으로 독립적인 첫 번째 통합체를 가지고 있다. 그것은 동질 방정식에 대한 두 가지 해법이 있다는 것이다.

${\displaystyle {\verline{L}Z_{i}=0,i=1,2,\qquad Z_{1}=z,Z_{2}=t+\imath z ^{2},dZ_{1},wedge dZ_{2}, not=0.}$

우리는 실제 차원 3에 있기 때문에 공식적인 통합 조건은 단순하다.

${\displaystyle \left[{\overline {L},{\overline {L}\right]=0}$

자동이야. Levi 양식은 단순한 계산이 주는 것처럼 엄격히 긍정적이다.

${\displaystyle \left[{\overline {L},L\right]=2i{\frac {\partial t},}$

여기서 Holomorphic 벡터 필드 L은

${\displaystyle L={\frac {\partial }{\partial z}+\imath {\overline {z}{\partial t}}.}$

선형적으로 독립된 첫 번째 통합을 통해 CR 구조를 C ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}의$$ 그래프로 실현할 수 있다.

${\displaystyle(z,t)\to(z,t+\imath z ^{2})}$

그러면 CR 구조는 C ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}의 복잡한 구조를 그래프에$$ 제한한 것에 지나지 않는 것으로 보인다. 니렌버그는 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle R\mathbb{}.}$ ${\displaystyle \mathb {C} \time \mathb {R}.}$에 정의된$$ 단일 비반사 복합 벡터 필드 $P{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ $Pho$$=$$0}$을(를) 구성하고 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$ = $,$$u{\displaystyle }$ ${\displaystystyley u}$을(으)로$$ 표시한다. 따라서 벡터 필드 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$에는 첫 번째 통합이 없다$$. 벡터 필드 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$은(는) 아래 표시된 것처럼$$ 부드러운 복합 값 함수 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi}$에 의해 위에 표시된 하이젠베르크 그룹의 반홀형 벡터 필드에서 생성된다$$.

${\displaystyle P={\overline {L}+\phi(z, {\overline {z},t){\frac {\partial t}}}$

따라서 이 새로운 벡터 필드 P는 상수 이외의 첫 번째 통합이 없으므로 어떤 C ${\displaystyle {}^{}}$ .${\displaystyle \mathb {C} ^{n}}$의 그래프로서도 이 동요된 CR 구조를 실현할 수 없다.$$ L. 니렌베르크의 작품은 하워드 자코보위츠와 프랑수아 트리에브스의 일반적인 결과로 확장되었다.^[21] 실제 치수 9 이상에서는, 추상적인 엄밀한 사이비 콘벡스 CR 구조의 국소 내장에는 쿠라니시 마사타케의 작품이, 실제^[22] 치수 7에서는 쿠라니시의 증거에 대한 단순화된 제시가 웹스터에 기인한다.^[23]

국부 임베딩 문제는 실제 차원 5에서 여전히 열려 있다.

특성 이상

접선 카우치-리만 복합체(Kohn Laplacian, Kohn-Rosi 복합체)

우선 복합다지관의 경계로 발생하는 CR다지관의 경우$,$ 이 운영자를 내부로부터$$ 경계까지 ${\displaystyle \stackrel{}{{as}_{}}}$${\$의 제한으로 볼 수 있다${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$ 첨자 b는 우리가 경계선상에 있다는 것을 상기시켜주는 것이다. 공동 경계 연산자는 (0,p) 형태를 (0,p+1) 형태로 취한다. 복잡한 품종의 경계가 아니더라도 추상 CR 다지관에 대한 공동 경계 연산자를 정의할 수도 있다. 이 작업은 웹스터 연결을 사용하여 수행할 수 있다.^[24] 공동 경계 운영자 $\partial {\displaystyle \stackrel{}{{\mathrm{}}_{}}}$ ${\$${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$은(는) 콤플렉스를 형성하며$$, ${\displaystyle \stackrel{}{{that}_{}}\stackrel{}{{\mathrm{}}_{}}}$b${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$=${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\partial _{b}}\partial _{b}}=0$ 이 단지를 Tangential Cauchy-Riemann 복합체 또는 Kohn-Rosi 복합체라고 부른다. 이 단지에 대한 조사와 이 단지의 코호몰로지 집단에 대한 연구는 조셉 J. 콘과 휴고 로시의 기초 논문에서 이루어졌다.^[25]

Tangential CR 복합체와 연관된 CR 기하학 및 여러 복합 변수의 기본 개체인 Kohn Laplacian이다. 이는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \Box _{b}={\overline {\partial _{b}}{b}}}{b}^{b}}+{\partial _{b}}}}}}}}}}{\partline {\partial _{b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}partline$

Here ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}^{\star }}$ denotes the formal adjoint of ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$ with respect to ${\displaystyle L^{2}(M)}$ where the volume form may be derived from a contact form which is associated to the CR structure. 예를 들어 J.M의 논문을 참조하십시오. 미국 J.의 Lee는 아래를 언급했다. Kohn Laplacian은 (0,p) 형태를 (0,p) 형태로 취한다는 점에 유의하십시오. 콘 라플라시안에 의해 전멸되는 기능을 CR기능이라고 한다. 그것들은 홀로모르프 함수의 경계 유사점이다. CR 기능의 실제 부분을 CR plurihmonic functions라고 한다. 쿤 라플라시안${\displaystyle {}_b}$ b$${\$displaystyle \Box$ _${b}}$은(는) 음성이 아닌 정식으로 자칭한 연산자다. 퇴보하고 기호가 사라지는 특성 세트를 가지고 있다. 콤팩트하고 강한 사이비 콘벡스 추상 CR 다지관에서는 무한대로 가고 0에 가까워지는 이산형 양의 고유값을 갖는다. 커널은 CR 함수로 구성되며 무한 차원이다. 콘 라플라시안의 양의 고유값이 양의 상수에 의해 아래쪽으로 경계를 이루면, 콘 라플라시안은 범위를 닫은 것이고 반대로도 마찬가지다. 따라서 위에서 언급한 콘의 결과를 이용한 임베디드 CR 구조물의 경우, 콘 라플라시안(Kohn Laplacian)이 양의 상수에 의해 아래에 경계되는 양의 고유값을 갖는 경우에만 강력한 유사성 CR 구조가 내장된다고 결론짓는다. Kohn Laplacian은 CR 기능에 해당하는 고유값 0을 항상 가지고 있다.

$◻{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 및$$ $`{\${\$partial _{b}}}}$에 대한 추정치는 다양한 설정의 다양한 기능 공간에서 얻었다$$. 이러한 추정치는 다지관이 강력한 유사점일 때 도출하기 가장 쉬운데, 그 이유는 다지관이 하이젠베르크 그룹과 충분히 높은 순서로 오식함으로써 대체할 수 있기 때문이다. 그런 다음 하이젠베르크 그룹의 그룹 속성과 수반되는 콘볼루션 구조를 사용하여 $◻{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\$에 역/변수 또는 상대 파라메트릭을 기록할 수 있다$.$^[26]

하이젠베르크 그룹에서는 $\partial {\displaystyle \stackrel{}{{\mathrm{}}_{}}}$ $'{\$ 연산자의$$ 구체적인 예를 제공할 수 있다. 일반 하이젠베르크 $그룹{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$× ${\displaystyle R\mathbb{}}${\$displaystyle \mathb {C}$^{$n}\times \mathb {R}}$을(를) 고려하고$$ 그룹 왼쪽 불변인 반홀로픽 벡터 필드를 고려하십시오.

${\displaystyle {\overline {L}}_{j}={\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{j}}}}}-\imath z_{j}{\frac {\partial }{\partial t}},j=1,2,\ldots ,n,(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n},t\in \mathbb {R} .}$

그러면 함수 $u$의 경우 (0,1)$Ω$ {\displaystyle $\omega }$이(가) 있다.

${\displaystyle \omega ={\overline {\partial _{b}u=\sum _{j=1}^{n}{\overline {L_{j}u\d\\overline {z_{j}}}}}.}$

$\partial {\displaystyle {\stackrel{}{{\mathrm{}}_{}}}^{}}$ $'⋆{\${\$partial _{b}^{\star}}}}}}}}$기능이$$ 소멸되기 때문에 하이젠베르크 그룹의 기능에 대해서는 콘 라플라시안에게 다음과 같은 공식도 있다.

${\displaystyle \Box _{b}=-\sum _{j=1}^{n_{j}{\overline{L_{j}}}}}}}}}}}}$

, where

${\displaystyle L_{j}={\frac {\partial z_{j}}+\imath {\overline {z_{j}}}{\frac {}{\partial t},}$

하이젠베르크 그룹의 좌불변, 홀로모르픽 벡터 필드 그룹이다. 위의 콘 라플라시안 표현은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다. 먼저 는 것을 쉽게 확인할 수 있다.

${\displaystyle [L_{j},{\overline {L_{j}}]=-2\imath T,T={\frac {\partial t},j=1,2,\ldots,n}$

따라서 우리는 기본적인 계산을 통해 다음과 같이 할 수 있다.

${\displaystyle \B}=-{\frac {1}{1}:{2}}\sum _{j=1}^{n}(L_{j}{j}}}+{\overline {L_}{{j}}}}+{L_{j}}}}+{\overline {L_{j}+\imath nT}$

오른쪽의 첫 번째 연산자는 실제 연산자인데, 사실 그것은 콘 라플라시안(Kohn Laplacian)의 실제 부분이다. 그것은 하위 라플라시안이라고 불린다. 이것은 Hörmander의 제곱합 연산자라고 불리는 것의 일차적인 예다.^[27][28] 부품별 통합을 통해 알 수 있듯이 분명히 부정적이지 않다. 일부 저자들은 반대 기호를 가진 하위 라플라시안을 정의한다. 당사의 경우, 구체적으로 다음과 같은 사항을 설명하십시오.

${\displaystyle \Delta _{b}=-{\frac {1}:{2}}\sum _{j=1}^{n}(L_{j}}{\overline {L_{j}}}+{\overline {L_{j}}}L_}L_{j}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 기호 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\$는 하위 Laplacian의 전통적인 기호다$$. 그러므로,

${\displaystyle \Box _{b}=\Delta _{b}+\imath nT}$

예

컴팩트 CR 다지관의 표준적인 예는 ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$의 하위 관리형인 $실제{\displaystyle \mathrm{}}$ $2n$+ ${\displaystyle 1}$ ${\$^{$n+1$}$$구체다$.$ 위에서 설명한$$ 번들 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$은(는) 다음에 의해 제공됨

${\displaystyle L=\mathb {C}TS^{2n+1}\cap T^{1,0}\mathb {C}^{n+1}$

여기서 $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle 0^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{C}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ 1 ${\$^{$n+1}$는 홀로모르픽 벡터의 묶음이다. The real form of this is given by ${\displaystyle P=\Re (L\oplus {\bar {L}})}$, the bundle given at a point ${\displaystyle p\in S^{2n+1}}$ concretely in terms of the complex structure, ${\displaystyle I}$, on ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$ by

${\displaystyle P_{p}=\{X\in T_{p}S^{2n+1}:IX\in T_{p}S^{2n+1}\subset T_{p}\mathb {C}^{n+1}\}}$

$P{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ P$}$의 거의 복잡한 구조는 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$의 제한에 불과하다$$$.$ 구면은 일정한 양의 웹스터 곡률과 제로 웹스터 비틀림을 가진 CR 다지관의 예다. 하이젠베르크 그룹은 웹스터 비틀림 0과 웹스터 곡률 0을 가진 비 컴팩트 CR 다지관의 예다. 1개 이상의 속성이 있는 콤팩트한 리만 표면 위에 유닛 서클 번들 또한 강력한 유사성 및 0개의 웹스터 비틀림과 일정한 음의 웹스터 곡률을 가진 CR 다지관의 예를 제공한다. 이 공간들은 리만 기하학의 H.E. Rauch 비교 정리와 유사한 웹스터 토션 0이 있는 CR 다지관의 지질학 및 볼륨 비교 이론 연구에 비교 공간으로 사용될 수 있다.^[29]

최근에는 하이젠베르크 그룹의 최소 표면, 하이젠베르크 그룹의 번스타인 문제, 곡률 흐름 등 하이젠베르크 그룹에 대한 분석의 다른 측면도 연구되고 있다.^[30]

참고 항목

• 외제니오 엘리아 레비
• 의사회성

메모들

참조

• Levi, Eugenio Elia (1910), "Studii sui punti singolari essenziali delle funzioni analitiche di due o più variabili complesse", Annali di Matematica Pura ed Applicata, s. III (in Italian), XVII (1): 61–87, doi:10.1007/BF02419336, JFM 41.0487.01, S2CID 122678686. 몇 가지 복잡한 변수의 함수 이론의 중요한 논문. 제목을 영어로 번역하면 다음과 같다: "두 개 이상의 복잡한 변수의 분석 기능의 필수적인 단수점에 관한 연구"
• Boggess, Albert (1991). CR Manifolds and the Tangential Cauchy Riemann Complex. CRC Press.
• Hill, D.; Nacinovich, M. (1995). "Duality and distribution cohomology of CR manifolds". Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. 22 (2): 315–339. Archived from the original on 2011-06-05. Retrieved 2007-06-03.
• Chern S. S.; Moser, J.K. (1974). "Real hypersurfaces in complex manifolds". Acta Math. 133: 219–271. doi:10.1007/BF02392146. S2CID 119515799.